Pytagoras forklart: finn hver side i en rettvinklet trekant

En snekker som bygger en terrasse, måler 3 meter langs det ene bordet og 4 meter langs det andre, og sjekker at diagonalen mellom de to merkene er nøyaktig 5 meter. Stemmer det, er hjørnet rett. Den sjekken er Pytagoras' setning i bruk, og den samme regelen viser barnet ditt på 9. trinn hvordan det finner hypotenusen eller en ukjent side i kveldens lekse.

Hva sier Pytagoras' setning?

Pytagoras' setning sier at i en rettvinklet trekant er summen av kvadratene av de to korteste sidene lik kvadratet av den lengste siden. OpenStax Prealgebra 2e, avsnitt 9.3 skriver det som «i hver rettvinklet trekant ΔABC er a² + b² = c²», der c er hypotenusen og a og b er katetene.

Det lille hevede 2-tallet betyr «i andre», et tall ganget med seg selv: 3² = 3 × 3 = 9. Guiden om potenser forklarer skrivemåten hvis det er en stund siden sist. En rettvinklet trekant med katetene 3 og 4 og en lang side på 5 passer med regelen, fordi 9 + 16 = 25.

Tegningen viser hvorfor regelen handler om kvadrater. Et kvadrat bygd på siden med lengde 3 rommer 9 småruter, kvadratet på siden med lengde 4 rommer 16, og kvadratet på den lange siden rommer 25. De to minste kvadratene fyller til sammen nøyaktig det store.

Hvilken side er hypotenusen?

Hypotenusen er siden rett overfor den rette vinkelen, og den er alltid den lengste siden. OpenStax definerer den på samme måte: «Siden i trekanten som ligger overfor vinkelen på 90°, kalles hypotenusen, og de to andre sidene kalles kateter.»

Finn det lille firkantmerket i hjørnet først, og se så over trekanten til siden som ikke rører det. Den siden er c. Katetene kan hete a og b i hvilken som helst rekkefølge, fordi a² + b² gir den samme summen begge veier, og innlegget om typer trekanter og vinkler viser hvordan du ser en rett vinkel uten gradskive.

Slik finner du hypotenusen, steg for steg

Å finne hypotenusen tar fire regneoperasjoner: kvadrere, kvadrere, legge sammen, ta kvadratroten. Ta en rettvinklet trekant med katetene 9 cm og 12 cm.

1. Gi sidene navn. Finn den rette vinkelen, merk siden rett overfor den som c, og kall de to andre a og b. Her er a = 9, b = 12, og c er ukjent.
2. Kvadrer hver katet. Gang hver katet med seg selv: 9 × 9 = 81 og 12 × 12 = 144.
3. Legg sammen kvadratene. 81 + 144 = 225. Denne summen er c², arealet av kvadratet på hypotenusen.
4. Ta kvadratroten. Spør hvilket tall ganget med seg selv som gir 225. Svaret er 15, så c = 15 cm.
5. Kontroller størrelsen. Hypotenusen må være lengre enn hver katet og kortere enn de to katetene lagt sammen. 15 er mer enn 12 og mindre enn 9 + 12 = 21, så svaret er rimelig.

Steg 4 er steget voksne oftest glemmer. Guiden om kvadratrot forklarer hvordan du finner en for hånd, og når du kan kvadrattallene opp til 15 × 15 = 225, går de fleste lekseoppgaver raskt.

Spill gratis i nettleserenKvadrattall4.–6. trinn

Delen mange gjør feil: å legge sammen sidene

Det vanligste gale svaret legger sammen sidene i stedet for kvadratene. En elev som skriver 3 + 4 = 7 som hypotenusen i en 3-4-5-trekant, har lagt sammen lengder, og en skrå side kan aldri være like lang som de to katetene lagt etter hverandre.

Den andre feilen stopper ved steg 3. Katetene 3 og 4 gir c² = 25, og 25 er arealet av kvadratet på hypotenusen, så selve siden er 5. Si «kvadrer, legg sammen, ta kvadratroten» høyt til rekkefølgen sitter av seg selv.

Slik finner du en ukjent katet

Å finne en ukjent katet snur ett steg: du trekker fra i stedet for å legge sammen. Hypotenusen har det største kvadratet, så en katet i andre er lik c² − b².

Ta en stige som er 6,5 m lang, med foten 2,5 m fra veggen. Stigen er hypotenusen, så 6,5² = 42,25 og 2,5² = 6,25. Da er 42,25 − 6,25 = 36, og kvadratroten av 36 er 6, så stigen når 6 m opp på veggen.

Den samme oppgaven kan skrives som en likning med én ukjent. OpenStax regner et tilsvarende eksempel, med en katet på 5 og hypotenusen 13, som 25 + b² = 169, og å løse for b bruker grepene fra guiden om hvordan du løser likninger: trekk fra 25 på begge sider, og ta så kvadratroten.

Spill gratis i nettleserenLøs for x6. trinn+

Pytagoreiske tripler som er verdt å kunne

Pytagoreiske tripler er sett av tre hele tall som passer nøyaktig i a² + b² = c². Fem av dem dekker de fleste oppgaveark og byggejobber.

Hvert helt multiplum av en trippel er også en trippel. Ganger du 3, 4 og 5 med 2, får du 6, 8 og 10, og ganger du med 3, får du 9, 12 og 15, trekanten fra steglista. Kjenner du igjen en trippel, slipper du kvadratroten.

Praktisk bruk: skjermer, stiger og rette hjørner

Pytagoras' setning dukker opp overalt der to lengder møtes i en rett vinkel og du trenger den skrå avstanden mellom endene deres. I Norge skal eleven etter 9. trinn kunne «bruke formlikhet og Pytagoras’ læresetning til utforsking av praktiske situasjoner», ifølge kompetansemålene etter 9. trinn i LK20. I USA ber Common Core-standarden 8.G.B.7 elevene «bruke Pytagoras' setning til å finne ukjente sidelengder i rettvinklede trekanter i praktiske og matematiske problemer i to og tre dimensjoner».

• Skjermdiagonaler: Størrelsen på TV-er og skjermer måles i tommer fra hjørne til hjørne. En skjerm som er 48 tommer bred og 36 tommer høy, har en diagonal på 60 tommer, fordi 2 304 + 1 296 = 3 600 og kvadratroten av 3 600 er 60.
• Stiger mot en vegg: Veggen og bakken danner den rette vinkelen, og stigen er hypotenusen. En fot 6 m ut fra veggen og en topp 8 m oppe krever en stige på 10 m.
• Avstand i et rutenett: Standarden 8.G.B.8 ber elevene «bruke Pytagoras' setning til å finne avstanden mellom to punkter i et koordinatsystem». Går du 3 kvartaler østover og 4 kvartaler nordover, er du 5 kvartaler fra start i luftlinje.

3-4-5-sjekken av et hjørne

3-4-5-sjekken viser at et hjørne er rett, med bare et målebånd. Merk av 3 m fra hjørnet langs den ene kanten og 4 m langs den andre, og mål så mellom de to merkene. En avstand på nøyaktig 5 m betyr at hjørnet er rett.

Sjekken bruker den omvendte setningen: hvis a² + b² = c², har trekanten en rett vinkel. Standarden 8.G.B.6 ber elevene «forklare et bevis for Pytagoras' setning og den omvendte setningen». En diagonal som er lengre enn 5 m, betyr at hjørnet er større enn 90°, og en kortere betyr at det er mindre. Bruk 6-8-10 eller 9-12-15 m for en stor ramme, fordi en større trekant viser små feil tydeligere.

Slik sjekker du framgangen med Pytagoras' setning

Fem korte spørsmål viser om noen forstår setningen eller bare skriver av en formel.

• Finn hypotenusen: Vis en rettvinklet trekant som ligger på siden. Eleven skal peke på siden rett overfor den rette vinkelen før noen utregning.
• Regn ut en hypotenus: Katetene 6 og 8. Svaret er 10, med 36 + 64 = 100 skrevet ut.
• Regn ut en katet: Hypotenusen 17 og en katet på 8. Svaret er 15, fordi 289 − 64 = 225.
• Bruk den omvendte setningen: Danner sidene 5, 12 og 13 en rettvinklet trekant? Ja, fordi 25 + 144 = 169.
• Avvis en trekant som ikke er rettvinklet: Danner sidene 4, 5 og 6 en rettvinklet trekant? Nei, fordi 16 + 25 = 41 og 6² = 36.

En test på fem minutter

En test på fem minutter blander én hypotenus, én ukjent katet og ett spørsmål om den omvendte setningen, med kvadratene skrevet ut. En elev som setter opp a² + b² = c² riktig, men stopper opp ved 12 × 12 eller kvadratroten av 169, trenger kvadrattallene mer enn geometrien.

Voksne som bygger opp matten sin igjen, oppdager ofte at det er her hullet er. Guiden om hvordan du blir bedre i matte som voksen viser hvordan du bygger opp de faktaene i korte daglige økter, og siden om mattespillet for voksne viser den raske øvingen som hjelper.

Vanlige feil og spesialtilfeller med Pytagoras' setning

Fire feil står bak de fleste gale svarene, og hver av dem har en kort løsning.

• Å bruke den på en trekant som ikke er rettvinklet: Regelen gjelder bare når én vinkel er 90°. Se etter firkantmerket i hjørnet, eller test sidene med den omvendte setningen først.
• Å sette feil side som c: Legger du hypotenusen i andre til en katet i andre, blir tallet for stort. Hypotenusen står alltid alene på den ene siden av likhetstegnet.
• Å legge sammen når du skal trekke fra: En ukjent katet trenger c² − b². Blir «kateten» din lengre enn hypotenusen, har du lagt sammen.
• Å runde av for tidlig: Rund bare av det endelige svaret. Runder du av en kvadratrot halvveis og kvadrerer den igjen, blir resultatet skjevt.

Spesialtilfelle: svar som ikke er hele tall

Mange rettvinklede trekanter har en hypotenus som ikke er et helt tall. Et kvadrat med sider på 1 har en diagonal på √2, fordi 1² + 1² = 2, og √2 er omtrent 1,41. Katetene 2 og 3 gir 4 + 9 = 13, så hypotenusen er √13, omtrent 3,61.

La svaret stå som √13 når oppgaven ber om en eksakt verdi, og skriv «omtrent 3,61» når den ber om et mål. Kontroller et avrundet svar ved å kvadrere det: 3,61 × 3,61 er nær 13.

Setningen er også svært gammel. Pytagoras levde rundt 500 f.Kr., ifølge OpenStax, men MacTutors historie om babylonsk matematikk beskriver leirtavla Plimpton 322, datert til mellom 1800 og 1650 f.Kr., som «en liste over pytagoreiske heltallstripler» og konkluderer med at «babylonerne kjente Pytagoras' setning».

Sjekklisten din for Pytagoras' setning og neste steg

• Rett vinkel først: kontroller at én vinkel er 90° før du bruker regelen.
• Finn c: merk siden rett overfor den rette vinkelen som hypotenusen.
• Hypotenus: kvadrer begge katetene, legg sammen, og ta så kvadratroten.
• Ukjent katet: kvadrer hypotenusen, trekk fra kvadratet av den kjente kateten, og ta så kvadratroten.
• Tripler: se etter 3-4-5, 5-12-13 og 8-15-17 og multiplene deres før du regner.
• Rimelighetssjekk: hypotenusen er lengre enn hver katet og kortere enn de to katetene lagt sammen.

MathIt er en gratis app for iOS og Android med rundt 90 spilltyper, adaptiv vanskegrad og en kort daglig øving som holder kvadrattallene og hoderegningen i gangestykker skarpe, faktaene hver Pytagoras-oppgave bygger på. Du kan også utfordre 1 til 4 venner eller familiemedlemmer i sanntidsdueller i matte, på hvilket som helst av 33 språk.