Twierdzenie Pitagorasa wyjaśnione: jak obliczyć każdy bok trójkąta prostokątnego

Budowlaniec stawiający taras odmierza 3 m wzdłuż jednej belki, 4 m wzdłuż drugiej i sprawdza, czy odległość między dwoma znakami wynosi dokładnie 5 m. Jeśli tak, narożnik ma kąt prosty. To sprawdzenie to twierdzenie Pitagorasa w działaniu, a ta sama zasada pokaże twojemu ósmoklasiście, jak obliczyć przeciwprostokątną albo brakujący bok w dzisiejszym zadaniu domowym.

Co mówi twierdzenie Pitagorasa?

Twierdzenie Pitagorasa mówi, że w trójkącie prostokątnym kwadraty dwóch krótszych boków dają razem kwadrat najdłuższego boku. Podręcznik OpenStax Prealgebra 2e, rozdział 9.3 zapisuje to tak: w każdym trójkącie prostokątnym ABC a² + b² = c², gdzie c to przeciwprostokątna, a a i b to przyprostokątne.

Mała podniesiona dwójka znaczy „do kwadratu”, czyli liczba pomnożona przez siebie: 3² = 3 × 3 = 9. Poradnik o potęgach przypomina ten zapis, jeśli minęło trochę czasu. Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 3 i 4 i najdłuższym boku 5 spełnia tę zasadę, bo 9 + 16 = 25.

Rysunek pokazuje, dlaczego zasada mówi o kwadratach. Kwadrat zbudowany na boku długości 3 mieści 9 kratek jednostkowych, kwadrat na boku długości 4 mieści 16, a kwadrat na najdłuższym boku 25. Dwa mniejsze kwadraty razem wypełniają dokładnie ten duży.

Który bok jest przeciwprostokątną?

Przeciwprostokątna to bok leżący naprzeciw kąta prostego i zawsze jest najdłuższym bokiem. OpenStax definiuje ją tak samo: bok trójkąta naprzeciw kąta 90° to przeciwprostokątna, a dwa pozostałe boki to przyprostokątne.

Najpierw znajdź mały kwadracik w rogu, który oznacza kąt prosty, potem spójrz na drugą stronę trójkąta, na bok, którego ten róg nie dotyka. To jest c. Przyprostokątne możesz nazwać a i b w dowolnej kolejności, bo a² + b² daje tę samą sumę w obie strony, a wpis o rodzajach trójkątów i kątów pokazuje, jak rozpoznać kąt prosty bez kątomierza.

Jak obliczyć przeciwprostokątną krok po kroku

Obliczenie przeciwprostokątnej to cztery działania: kwadrat, kwadrat, dodawanie, pierwiastek. Weź trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 9 cm i 12 cm.

1. Nazwij boki. Znajdź kąt prosty, oznacz bok naprzeciw niego jako c, a dwa pozostałe jako a i b. Tutaj a = 9, b = 12, a c nie znamy.
2. Podnieś każdą przyprostokątną do kwadratu. Pomnóż każdą przez siebie: 9 × 9 = 81 i 12 × 12 = 144.
3. Dodaj kwadraty. 81 + 144 = 225. Ta suma to c², czyli pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej.
4. Wyciągnij pierwiastek. Zapytaj, jaka liczba pomnożona przez siebie daje 225. Odpowiedź to 15, więc c = 15 cm.
5. Sprawdź wielkość. Przeciwprostokątna musi być dłuższa od każdej przyprostokątnej i krótsza od ich sumy. 15 to więcej niż 12 i mniej niż 9 + 12 = 21, więc wynik ma sens.

Krok 4 dorośli zapominają najczęściej. Poradnik o pierwiastkach kwadratowych pokazuje, jak wyciągnąć pierwiastek na papierze, a znajomość kwadratów liczb do 15 × 15 = 225 przyspiesza większość zadań domowych.

Zagraj za darmo w przeglądarceKwadraty liczbKlasa 4–6

Gdzie pojawia się błąd: dodawanie boków

Najczęstsza zła odpowiedź dodaje boki zamiast kwadratów. Uczeń, który pisze 3 + 4 = 7 jako przeciwprostokątną trójkąta 3-4-5, dodał długości, a ukośny bok nigdy nie jest tak długi jak dwie przyprostokątne ułożone jedna za drugą.

Drugi błąd zatrzymuje się na kroku 3. Przyprostokątne 3 i 4 dają c² = 25, a 25 to pole kwadratu na przeciwprostokątnej, więc sam bok ma 5. Mów na głos „kwadraty, dodaj, potem pierwiastek”, aż kolejność stanie się automatyczna.

Jak obliczyć brakującą przyprostokątną

Obliczenie brakującej przyprostokątnej odwraca jeden krok: odejmujesz zamiast dodawać. Przeciwprostokątna ma największy kwadrat, więc kwadrat przyprostokątnej równa się c² − b².

Weź drabinę strażacką o długości 13 m, której podstawa stoi 5 m od ściany. Drabina to przeciwprostokątna, więc 13² = 169, a 5² = 25. Dalej 169 − 25 = 144, a pierwiastek ze 144 to 12, więc drabina sięga 12 m w górę ściany.

To samo zadanie można zapisać jako równanie z jedną niewiadomą. OpenStax rozwiązuje je jako 25 + b² = 169, a rozwiązanie korzysta z ruchów z poradnika o tym, jak rozwiązywać równania: odejmij 25 od obu stron, potem wyciągnij pierwiastek.

Zagraj za darmo w przeglądarceRozwiąż równanieKlasa 6+

Trójki pitagorejskie, które warto znać

Trójki pitagorejskie to zestawy trzech liczb naturalnych, które dokładnie spełniają a² + b² = c². Pięć z nich wystarcza do większości kart pracy i prac budowlanych.

Każda wielokrotność trójki pitagorejskiej przez liczbę naturalną też jest trójką. Pomnożenie 3, 4 i 5 przez 2 daje 6, 8 i 10, a przez 3 daje 9, 12 i 15, czyli trójkąt z listy kroków. Gdy rozpoznasz trójkę, możesz pominąć pierwiastek.

Zastosowania w życiu: ekrany, drabiny i kąty proste

Twierdzenie Pitagorasa pojawia się wszędzie, gdzie dwie długości spotykają się pod kątem prostym, a ty potrzebujesz ukośnej odległości między ich końcami. W Polsce podstawa programowa matematyki dla szkoły podstawowej umieszcza je w klasach VII–VIII: uczeń „zna i stosuje w sytuacjach praktycznych twierdzenie Pitagorasa (bez twierdzenia odwrotnego)”. Standard Common Core 8.G.B.7 prosi amerykańskich uczniów o stosowanie twierdzenia do znajdowania nieznanych boków trójkątów prostokątnych w zadaniach z życia i z matematyki, na płaszczyźnie i w przestrzeni.

• Przekątne ekranów: Wielkość telewizora i monitora podaje się od rogu do rogu, także w Polsce w calach. Ekran o szerokości 48 cali i wysokości 36 cali ma przekątną 60 cali, bo 2304 + 1296 = 3600, a pierwiastek z 3600 to 60.
• Drabina przy ścianie: Ściana i ziemia tworzą kąt prosty, a drabina jest przeciwprostokątną. Podstawa 6 m od ściany i szczyt 8 m w górze wymagają drabiny o długości 10 m.
• Odległość w układzie współrzędnych: Standard 8.G.B.8 prosi o użycie twierdzenia do obliczenia odległości między dwoma punktami w układzie współrzędnych. Trzy przecznice na wschód i cztery na północ stawiają cię 5 przecznic od startu w linii prostej.

Sprawdzanie kąta prostego metodą 3-4-5

Metoda 3-4-5 pozwala sprawdzić, czy narożnik ma kąt prosty, przy użyciu samej miarki. Odmierz od narożnika 30 cm wzdłuż jednej krawędzi i 40 cm wzdłuż drugiej, potem zmierz odległość między dwoma znakami. Dokładnie 50 cm znaczy, że kąt jest prosty.

Ta metoda korzysta z twierdzenia odwrotnego: jeśli a² + b² = c², trójkąt ma kąt prosty. W USA standard 8.G.B.6 prosi uczniów o wyjaśnienie dowodu twierdzenia i twierdzenia odwrotnego; polska podstawa dla szkoły podstawowej odwrotne twierdzenie pomija. Przekątna dłuższa niż 50 cm znaczy, że kąt jest większy niż 90°, a krótsza, że jest mniejszy. Przy dużej ramie użyj 60-80-100 cm albo 3-4-5 m, bo większy trójkąt wyraźniej pokazuje małe błędy.

Jak sprawdzić postępy z twierdzeniem Pitagorasa

Pięć krótkich pytań pokazuje, czy ktoś rozumie twierdzenie, czy przepisuje wzór.

• Wskaż przeciwprostokątną: Pokaż trójkąt prostokątny obrócony na bok. Uczący się powinien wskazać bok naprzeciw kąta prostego przed jakimkolwiek liczeniem.
• Oblicz przeciwprostokątną: Przyprostokątne 6 i 8. Odpowiedź to 10, z zapisanym 36 + 64 = 100.
• Oblicz przyprostokątną: Przeciwprostokątna 17 i przyprostokątna 8. Odpowiedź to 15, bo 289 − 64 = 225.
• Użyj twierdzenia odwrotnego: Czy boki 5, 12 i 13 tworzą trójkąt prostokątny? Tak, bo 25 + 144 = 169.
• Odrzuć trójkąt nieprostokątny: Czy boki 4, 5 i 6 tworzą trójkąt prostokątny? Nie, bo 16 + 25 = 41, a 6² = 36.

Pięciominutowy test

Pięciominutowy test łączy jedną przeciwprostokątną, jedną brakującą przyprostokątną i jedno pytanie o twierdzenie odwrotne, z wypisanymi kwadratami. Uczący się, który poprawnie zapisuje a² + b² = c², ale zacina się na 12 × 12 albo na pierwiastku ze 169, potrzebuje kwadratów liczb bardziej niż geometrii.

Dorośli, którzy odbudowują swoją matematykę, często odkrywają, że to jest prawdziwa luka. Poradnik o tym, jak poprawić matematykę jako dorosły, opisuje odbudowę tych faktów w krótkich codziennych sesjach, a strona gra matematyczna dla dorosłych pokazuje szybkie ćwiczenia, które w tym pomagają.

Typowe błędy z twierdzeniem Pitagorasa i przypadki szczególne

Cztery błędy odpowiadają za większość złych odpowiedzi, a każdy ma krótkie rozwiązanie.

• Użycie w trójkącie nieprostokątnym: Zasada działa tylko wtedy, gdy jeden kąt ma 90°. Poszukaj kwadracika w rogu albo najpierw sprawdź boki twierdzeniem odwrotnym.
• Wstawienie złego boku jako c: Dodanie kwadratu przeciwprostokątnej do kwadratu przyprostokątnej daje za dużą liczbę. Przeciwprostokątna zawsze stoi sama po jednej stronie znaku równości.
• Dodawanie zamiast odejmowania: Brakująca przyprostokątna wymaga c² − b². Jeśli twoja „przyprostokątna” wychodzi dłuższa od przeciwprostokątnej, dodałeś.
• Za wczesne zaokrąglanie: Zaokrąglaj tylko wynik końcowy. Zaokrąglenie pierwiastka w połowie drogi i ponowne podniesienie go do kwadratu przesuwa wynik.

Przypadek szczególny: wyniki, które nie są liczbami całkowitymi

Wiele trójkątów prostokątnych ma przeciwprostokątną, która nie jest liczbą całkowitą. Kwadrat o boku 1 ma przekątną √2, bo 1² + 1² = 2, a √2 to około 1,41. Przyprostokątne 2 i 3 dają 4 + 9 = 13, więc przeciwprostokątna to √13, około 3,61.

Zostaw wynik jako √13, gdy zadanie pyta o dokładną wartość, a pisz „około 3,61”, gdy pyta o pomiar. Sprawdź zaokrąglony wynik, podnosząc go do kwadratu: 3,61 × 3,61 to blisko 13.

Twierdzenie jest też bardzo stare. Według OpenStax Pitagoras żył około 500 roku p.n.e., ale historia matematyki babilońskiej w serwisie MacTutor opisuje glinianą tabliczkę Plimpton 322, datowaną na lata 1800–1650 p.n.e., jako listę trójek pitagorejskich i wnioskuje, że Babilończycy znali twierdzenie Pitagorasa.

Twoja lista kontrolna twierdzenia Pitagorasa i następne kroki

• Najpierw kąt prosty: upewnij się, że jeden kąt ma 90°, zanim użyjesz zasady.
• Znajdź c: oznacz bok naprzeciw kąta prostego jako przeciwprostokątną.
• Przeciwprostokątna: podnieś obie przyprostokątne do kwadratu, dodaj, potem wyciągnij pierwiastek.
• Brakująca przyprostokątna: podnieś przeciwprostokątną do kwadratu, odejmij kwadrat znanej przyprostokątnej, potem wyciągnij pierwiastek.
• Trójki: przed liczeniem szukaj 3-4-5, 5-12-13 i 8-15-17 oraz ich wielokrotności.
• Sprawdzenie sensu: przeciwprostokątna jest dłuższa od każdej przyprostokątnej i krótsza od ich sumy.

MathIt to darmowa aplikacja na iOS i Android z około 90 rodzajami gier, adaptacyjnym poziomem trudności i krótkimi codziennymi ćwiczeniami, dzięki którym kwadraty liczb i mnożenie w pamięci, na których opiera się każde zadanie z twierdzeniem Pitagorasa, zostają szybkie. Możesz też wyzwać od 1 do 4 przyjaciół albo członków rodziny na matematyczne pojedynki na żywo, w dowolnym z 33 języków.