De stelling van Pythagoras uitgelegd: elke zijde van een rechthoekige driehoek berekenen

Een timmerman die een vlonder bouwt, meet 3 meter langs de ene plank, 4 meter langs de andere en controleert of de schuine afstand tussen de twee streepjes precies 5 meter is. Klopt dat, dan is de hoek haaks. Die controle is de stelling van Pythagoras aan het werk, en dezelfde regel laat je kind in de tweede klas van de middelbare school zien hoe je de schuine zijde of een ontbrekende zijde berekent bij het huiswerk van vanavond.

Wat zegt de stelling van Pythagoras?

De stelling van Pythagoras zegt dat in een rechthoekige driehoek de kwadraten van de twee korte zijden samen het kwadraat van de langste zijde zijn. OpenStax Prealgebra 2e, paragraaf 9.3 schrijft het als "In elke rechthoekige driehoek ΔABC geldt a² + b² = c²", waarbij c de schuine zijde is en a en b de rechthoekszijden.

Het kleine, hoger geplaatste 2'tje betekent "kwadraat", een getal keer zichzelf: 3² = 3 × 3 = 9. De gids over machten legt die schrijfwijze uit als het een tijd geleden is. Een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden 3 en 4 en een lange zijde van 5 past bij de regel, want 9 + 16 = 25.

De tekening laat zien waarom de regel over vierkanten gaat. Een vierkant op de zijde van 3 bevat 9 vierkantjes, het vierkant op de zijde van 4 bevat er 16 en het vierkant op de lange zijde bevat er 25. De twee kleine vierkanten vullen samen precies het grote.

Welke zijde is de schuine zijde?

De schuine zijde is de zijde tegenover de rechte hoek, en het is altijd de langste zijde. OpenStax omschrijft het net zo: "De zijde van de driehoek tegenover de hoek van 90° heet de hypotenusa, en de andere twee zijden heten de rechthoekszijden." In Nederlandse lesboeken zie je de stelling ook als rhz² + rhz² = sz².

Zoek eerst het kleine vierkantje in de hoek en kijk dan dwars over de driehoek naar de zijde die die hoek niet raakt. Dat is c. De rechthoekszijden mag je a en b noemen in elke volgorde, omdat a² + b² beide kanten op dezelfde som geeft, en het stuk over soorten driehoeken en hoeken laat zien hoe je een rechte hoek herkent zonder geodriehoek.

Zo bereken je de schuine zijde, stap voor stap

De schuine zijde berekenen kost vier bewerkingen: kwadrateren, kwadrateren, optellen, worteltrekken. Neem een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van 9 cm en 12 cm.

1. Benoem de zijden. Zoek de rechte hoek, noem de zijde ertegenover c en noem de andere twee a en b. Hier is a = 9, b = 12 en c is onbekend.
2. Kwadrateer elke rechthoekszijde. Vermenigvuldig elke zijde met zichzelf: 9 × 9 = 81 en 12 × 12 = 144.
3. Tel de kwadraten op. 81 + 144 = 225. Deze som is c², de oppervlakte van het vierkant op de schuine zijde.
4. Trek de wortel. Vraag welk getal keer zichzelf 225 is. Het antwoord is 15, dus c = 15 cm.
5. Controleer de grootte. De schuine zijde moet langer zijn dan elke rechthoekszijde en korter dan de twee rechthoekszijden samen. 15 is meer dan 12 en minder dan 9 + 12 = 21, dus het antwoord klopt.

Stap 4 vergeten volwassenen het vaakst. De gids over worteltrekken legt uit hoe je een wortel uit je hoofd vindt, en wie de kwadraten tot 15 × 15 = 225 kent, maakt de meeste huiswerksommen snel.

Gratis spelen in je browserKwadratenGroep 6–8

Waar het misgaat: de zijden optellen

Het vaakste foute antwoord telt de zijden op in plaats van de kwadraten. Een leerling die 3 + 4 = 7 schrijft voor de schuine zijde van een 3-4-5-driehoek, heeft lengtes opgeteld, en een schuine zijde kan nooit zo lang zijn als de twee rechthoekszijden achter elkaar gelegd.

De tweede fout stopt na stap 3. Rechthoekszijden van 3 en 4 geven c² = 25, en 25 is de oppervlakte van het vierkant op de schuine zijde, dus de zijde zelf is 5. Zeg "kwadrateren, optellen, dan worteltrekken" hardop tot de volgorde vanzelf gaat.

Zo bereken je een ontbrekende rechthoekszijde

Een ontbrekende rechthoekszijde bereken je door één stap om te draaien: je trekt af in plaats van op te tellen. De schuine zijde heeft het grootste kwadraat, dus een rechthoekszijde in het kwadraat is c² − b².

Neem een brandweerladder van 13 meter waarvan de voet 5 meter van een muur staat. De ladder is de schuine zijde, dus 13² = 169 en 5² = 25. Dan is 169 − 25 = 144, en de wortel uit 144 is 12, dus de ladder komt 12 meter hoog tegen de muur.

Hetzelfde probleem kun je schrijven als een vergelijking met één onbekende. OpenStax rekent het uit als 25 + b² = 169, en b oplossen gebruikt de stappen uit de gids over vergelijkingen oplossen: trek aan beide kanten 25 af en trek dan de wortel.

Gratis spelen in je browserx berekenenGroep 8+

Pythagoreïsche drietallen die je moet kennen

Pythagoreïsche drietallen zijn groepjes van drie hele getallen die precies in a² + b² = c² passen. Vijf ervan dekken de meeste werkbladen en klussen.

Elk heel veelvoud van een drietal is ook een drietal. 3, 4 en 5 keer 2 geeft 6, 8 en 10, en keer 3 geeft 9, 12 en 15, de driehoek uit het stappenplan. Wie een drietal herkent, kan het worteltrekken overslaan.

Echte toepassingen: schermen, ladders en haakse hoeken

De stelling van Pythagoras duikt op overal waar twee lengtes haaks op elkaar staan en je de schuine afstand tussen hun uiteinden nodig hebt. In Nederland noemt de syllabus wiskunde vmbo van het College voor Toetsen en Examens "de stelling van Pythagoras" bij de meetkundige eigenschappen die leerlingen moeten gebruiken bij het "redeneren, tekenen en berekenen van hoeken, afstanden en patronen". In de VS vraagt Common Core-standaard 8.G.B.7 leerlingen om "de stelling van Pythagoras toe te passen om onbekende zijden van rechthoekige driehoeken te bepalen in praktische en wiskundige problemen in twee en drie dimensies".

• Schermdiagonalen: Tv's en monitoren worden van hoek tot hoek gemeten, in inch. Een scherm van 48 inch breed en 36 inch hoog heeft een diagonaal van 60 inch, want 2.304 + 1.296 = 3.600 en de wortel uit 3.600 is 60.
• Ladders tegen een muur: De muur en de grond maken de rechte hoek en de ladder is de schuine zijde. Een voet 6 meter van de muur en een top 8 meter hoog vragen een ladder van 10 meter.
• Afstand in een rooster: Standaard 8.G.B.8 vraagt leerlingen om "de stelling van Pythagoras toe te passen om de afstand tussen twee punten in een assenstelsel te vinden". Wie 3 straten naar het oosten en 4 straten naar het noorden loopt, staat in een rechte lijn 5 straten van het begin.

De 3-4-5-methode voor een haakse hoek

De 3-4-5-methode bewijst met alleen een rolmaat dat een hoek recht is. Zet 3 meter vanaf de hoek een streepje langs de ene kant en 4 meter langs de andere, en meet dan tussen de twee streepjes. Is dat precies 5 meter, dan is de hoek haaks.

De controle gebruikt de omgekeerde stelling: als a² + b² = c², heeft de driehoek een rechte hoek. Standaard 8.G.B.6 vraagt leerlingen om "een bewijs van de stelling van Pythagoras en de omgekeerde stelling uit te leggen". Een diagonaal langer dan 5 meter betekent dat de hoek groter is dan 90°, en een kortere betekent dat hij kleiner is. Gebruik voor een groot frame 6-8-10 of 9-12-15 meter, omdat een grotere driehoek kleine fouten duidelijker laat zien.

Zo controleer je de vooruitgang met de stelling van Pythagoras

Vijf korte vragen laten zien of iemand de stelling begrijpt of een formule overschrijft.

• Wijs de schuine zijde aan: Laat een rechthoekige driehoek zien die op zijn kant ligt. De leerling wijst de zijde tegenover de rechte hoek aan voordat er gerekend wordt.
• Bereken een schuine zijde: Rechthoekszijden van 6 en 8. Het antwoord is 10, met 36 + 64 = 100 uitgeschreven.
• Bereken een rechthoekszijde: Een schuine zijde van 17 en een rechthoekszijde van 8. Het antwoord is 15, want 289 − 64 = 225.
• Gebruik de omgekeerde stelling: Vormen zijden van 5, 12 en 13 een rechthoekige driehoek? Ja, want 25 + 144 = 169.
• Wijs een niet-rechthoekige driehoek af: Vormen zijden van 4, 5 en 6 een rechthoekige driehoek? Nee, want 16 + 25 = 41 en 6² = 36.

Een toets van vijf minuten

Een toets van vijf minuten mengt één schuine zijde, één ontbrekende rechthoekszijde en één vraag over de omgekeerde stelling, met de kwadraten uitgeschreven. Een leerling die a² + b² = c² goed opschrijft maar vastloopt op 12 × 12 of de wortel uit 169, heeft de kwadraten harder nodig dan de meetkunde.

Volwassenen die hun rekenwerk opnieuw opbouwen, merken vaak dat dit het echte gat is. De gids over beter worden in rekenen als volwassene laat zien hoe je die feiten in korte dagelijkse sessies terughaalt, en het rekenspel voor volwassenen toont het soort snelle oefening dat helpt.

Veelgemaakte fouten en randgevallen bij de stelling van Pythagoras

Vier fouten veroorzaken de meeste foute antwoorden, en elke fout heeft een korte oplossing.

• De stelling gebruiken bij een niet-rechthoekige driehoek: De regel geldt alleen als één hoek 90° is. Zoek het vierkantje in de hoek, of test de zijden eerst met de omgekeerde stelling.
• De verkeerde zijde als c nemen: De schuine zijde in het kwadraat optellen bij een rechthoekszijde in het kwadraat geeft een te groot getal. De schuine zijde staat altijd alleen aan één kant van het isgelijkteken.
• Optellen waar je moet aftrekken: Een ontbrekende rechthoekszijde vraagt c² − b². Komt je "rechthoekszijde" langer uit dan de schuine zijde, dan heb je opgeteld.
• Te vroeg afronden: Rond alleen het eindantwoord af. Een wortel halverwege afronden en daarna weer kwadrateren duwt de uitkomst scheef.

Randgeval: antwoorden die geen heel getal zijn

Veel rechthoekige driehoeken hebben een schuine zijde die geen heel getal is. Een vierkant met zijden van 1 heeft een diagonaal van √2, want 1² + 1² = 2, en √2 is ongeveer 1,41. Rechthoekszijden van 2 en 3 geven 4 + 9 = 13, dus de schuine zijde is √13, ongeveer 3,61.

Laat het antwoord staan als √13 als de vraag om een exacte waarde vraagt, en schrijf "ongeveer 3,61" als het om een meting gaat. Controleer een afgerond antwoord door het te kwadrateren: 3,61 × 3,61 ligt dicht bij 13.

De stelling is ook heel oud. Pythagoras leefde volgens OpenStax rond 500 voor Christus, maar MacTutor over Babylonische wiskunde beschrijft het kleitablet Plimpton 322, van tussen 1800 en 1650 voor Christus, als "een lijst van Pythagoreïsche drietallen van hele getallen" en concludeert dat "de Babyloniërs de stelling van Pythagoras kenden".

Je checklist voor de stelling van Pythagoras en de volgende stappen

• Eerst de rechte hoek: controleer dat één hoek 90° is voordat je de regel gebruikt.
• Vind c: noem de zijde tegenover de rechte hoek de schuine zijde.
• Schuine zijde: kwadrateer beide rechthoekszijden, tel op en trek de wortel.
• Ontbrekende rechthoekszijde: kwadrateer de schuine zijde, trek het kwadraat van de bekende zijde af en trek de wortel.
• Drietallen: zoek naar 3-4-5, 5-12-13 en 8-15-17 en hun veelvouden voordat je gaat rekenen.
• Controle: de schuine zijde is langer dan elke rechthoekszijde en korter dan de twee rechthoekszijden samen.

MathIt is een gratis app voor iOS en Android met ongeveer 90 speltypen, een moeilijkheid die zich aanpast en een korte dagelijkse oefening die de kwadraten en het vermenigvuldigen uit je hoofd scherp houdt, de feiten waar elke Pythagorassom op leunt. Je kunt ook 1 tot 4 vrienden of gezinsleden uitdagen in rekenduels in realtime, in een van 33 talen.