Teorema de Pitágoras explicado: como achar qualquer lado do triângulo retângulo

Um pedreiro que vai levantar uma parede marca 60 cm numa linha, 80 cm na outra e confere se a diagonal entre as duas marcas dá exatamente 1 m. Se der, o canto está no esquadro. Essa conferência é o teorema de Pitágoras em ação, e a mesma regra mostra ao seu filho do 9º ano como achar a hipotenusa ou o lado que falta na lição de casa de hoje.

O que diz o teorema de Pitágoras?

O teorema de Pitágoras diz que, num triângulo retângulo, os dois lados menores elevados ao quadrado somam o lado maior elevado ao quadrado. O OpenStax Prealgebra 2e, seção 9.3 escreve assim: "em qualquer triângulo retângulo ΔABC, a² + b² = c²", em que c é a hipotenusa e a e b são os catetos.

O 2 pequeno no alto quer dizer "ao quadrado", um número multiplicado por ele mesmo: 3² = 3 × 3 = 9. O guia de potenciação explica essa notação se faz tempo que você não a vê. Um triângulo retângulo de catetos 3 e 4 e lado maior 5 segue a regra, porque 9 + 16 = 25.

O desenho mostra por que a regra fala de quadrados. O quadrado construído sobre o lado 3 tem 9 quadradinhos, o quadrado sobre o lado 4 tem 16 e o quadrado sobre o lado maior tem 25. Os dois quadrados menores juntos preenchem exatamente o grande.

Qual lado é a hipotenusa?

A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto e é sempre o maior lado. O OpenStax define do mesmo jeito: "o lado do triângulo oposto ao ângulo de 90° se chama hipotenusa, e os outros dois lados se chamam catetos".

Ache primeiro a marquinha quadrada do ângulo reto e depois olhe para o lado que ela não toca. Esse lado é c. Os catetos podem ser chamados de a e b em qualquer ordem, porque a² + b² dá a mesma soma nos dois sentidos, e o texto sobre tipos de triângulos e ângulos mostra como reconhecer um ângulo reto sem transferidor.

Como calcular a hipotenusa, passo a passo

Calcular a hipotenusa leva quatro operações: quadrado, quadrado, soma, raiz quadrada. Pegue um triângulo retângulo de catetos 9 cm e 12 cm.

1. Dê nome aos lados. Ache o ângulo reto, marque o lado oposto a ele como c e chame os outros dois de a e b. Aqui a = 9, b = 12 e c é desconhecido.
2. Eleve cada cateto ao quadrado. Multiplique cada cateto por ele mesmo: 9 × 9 = 81 e 12 × 12 = 144.
3. Some os quadrados. 81 + 144 = 225. Essa soma é c², a área do quadrado sobre a hipotenusa.
4. Tire a raiz quadrada. Pergunte qual número vezes ele mesmo dá 225. A resposta é 15, então c = 15 cm.
5. Confira o tamanho. A hipotenusa tem de ser maior que cada cateto e menor que os dois catetos somados. 15 é mais que 12 e menos que 9 + 12 = 21, então a resposta faz sentido.

O passo 4 é o que os adultos mais esquecem. O guia de raiz quadrada explica como achar uma à mão, e saber os quadrados perfeitos até 15 × 15 = 225 deixa a maioria dos exercícios rápida.

Jogue grátis no navegadorNúmeros ao quadrado4.º–6.º ano

Onde quase todo mundo erra: somar os lados

A resposta errada mais comum soma os lados em vez dos quadrados. O aluno que escreve 3 + 4 = 7 para a hipotenusa do triângulo 3-4-5 somou comprimentos, e um lado inclinado nunca é tão comprido quanto os dois catetos postos um atrás do outro.

O segundo erro para no passo 3. Catetos 3 e 4 dão c² = 25, e 25 é a área do quadrado sobre a hipotenusa, então o lado mesmo mede 5. Repita em voz alta "quadrado, soma, depois raiz" até a ordem ficar automática.

Como calcular o cateto que falta

Calcular o cateto que falta inverte um passo: você subtrai em vez de somar. A hipotenusa tem o maior quadrado, então um cateto ao quadrado é igual a c² − b².

Pegue a escada de 13 m de um caminhão de bombeiros com o pé a 5 m da parede de um prédio. A escada é a hipotenusa, então 13² = 169 e 5² = 25. Depois, 169 − 25 = 144, e a raiz quadrada de 144 é 12, então a escada alcança 12 m de altura na parede.

O mesmo problema pode virar uma equação com uma incógnita. O OpenStax resolve como 25 + b² = 169, e achar b usa os movimentos do guia de como resolver equações: subtraia 25 dos dois lados e depois tire a raiz quadrada.

Jogue grátis no navegadorEncontrar o x6.º ano e +

Ternos pitagóricos que vale a pena saber

Ternos pitagóricos são grupos de três números inteiros que cabem exatamente em a² + b² = c². Cinco deles cobrem a maior parte das listas de exercícios e das obras.

Todo múltiplo inteiro de um terno também é um terno. Multiplicar 3, 4 e 5 por 2 dá 6, 8 e 10, e multiplicar por 3 dá 9, 12 e 15, o triângulo da lista de passos. Reconhecer um terno poupa a raiz quadrada.

Usos reais: telas, escadas e cantos no esquadro

O teorema de Pitágoras aparece sempre que dois comprimentos se encontram num ângulo reto e você precisa da distância inclinada entre as pontas. O padrão 8.G.B.7 do Common Core pede que alunos americanos "apliquem o teorema de Pitágoras para determinar medidas desconhecidas de lados de triângulos retângulos em problemas do mundo real e da matemática, em duas e três dimensões". No Brasil, a BNCC pede no 9º ano "resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras" (EF09MA14), depois de "demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras" (EF09MA13).

• Diagonal da tela: O tamanho de TVs e monitores é medido de canto a canto, em polegadas. Uma tela de 48 polegadas de largura e 36 de altura tem diagonal de 60 polegadas, porque 2.304 + 1.296 = 3.600 e a raiz quadrada de 3.600 é 60.
• Escada encostada na parede: A parede e o chão formam o ângulo reto, e a escada é a hipotenusa. Com o pé a 6 m da parede e o topo a 8 m de altura, a escada precisa ter 10 m.
• Distância num quadriculado: O padrão 8.G.B.8 pede "aplicar o teorema de Pitágoras para achar a distância entre dois pontos num sistema de coordenadas". Andar 3 quarteirões para o leste e 4 para o norte deixa você a 5 quarteirões do ponto de partida em linha reta.

A regra do 3-4-5 para conferir o esquadro

A regra do 3-4-5 prova que um canto é um ângulo reto usando só uma trena. Marque 3 m a partir do canto ao longo de uma borda e 4 m ao longo da outra, depois meça entre as duas marcas. Uma distância de exatamente 5 m quer dizer que o canto está no esquadro.

A conferência usa a recíproca do teorema: se a² + b² = c², o triângulo tem um ângulo reto. O padrão 8.G.B.6 pede que o aluno "explique uma demonstração do teorema de Pitágoras e de sua recíproca". Uma diagonal maior que 5 m quer dizer que o canto está mais aberto que 90°, e uma menor, mais fechado. Num cômodo pequeno, use 60 cm, 80 cm e 1 m; numa obra grande, use 6-8-10 m, porque um triângulo maior mostra melhor os erros pequenos.

Como acompanhar o progresso com o teorema de Pitágoras

Cinco perguntas curtas mostram se alguém entende o teorema ou só copia uma fórmula.

• Ache a hipotenusa no desenho: Mostre um triângulo retângulo deitado de lado. O aluno deve apontar o lado oposto ao ângulo reto antes de qualquer conta.
• Calcule uma hipotenusa: Catetos 6 e 8. A resposta é 10, com 36 + 64 = 100 escrito.
• Calcule um cateto: Hipotenusa 17 e cateto 8. A resposta é 15, porque 289 − 64 = 225.
• Use a recíproca: Os lados 5, 12 e 13 formam um triângulo retângulo? Sim, porque 25 + 144 = 169.
• Descarte um triângulo que não é retângulo: Os lados 4, 5 e 6 formam um triângulo retângulo? Não, porque 16 + 25 = 41 e 6² = 36.

Um teste de cinco minutos

Um teste de cinco minutos mistura uma hipotenusa, um cateto e uma pergunta de recíproca, com os quadrados escritos. Quem monta a² + b² = c² direitinho mas trava em 12 × 12 ou na raiz quadrada de 169 precisa mais dos quadrados perfeitos do que da geometria.

Adultos que estão reaprendendo matemática muitas vezes descobrem que a lacuna de verdade é essa. O guia de como melhorar em matemática depois de adulto mostra como reconstruir esses fatos em sessões diárias curtas, e a página do jogo de matemática para adultos mostra o tipo de prática rápida que ajuda.

Erros comuns com o teorema de Pitágoras e casos especiais

Quatro erros causam a maioria das respostas erradas, e cada um tem uma correção curta.

• Usar num triângulo que não é retângulo: A regra vale só quando um ângulo mede 90°. Procure a marquinha do ângulo reto ou teste os lados com a recíproca primeiro.
• Pôr o lado errado no c: Somar o quadrado da hipotenusa ao quadrado de um cateto dá um número grande demais. A hipotenusa fica sempre sozinha de um lado do sinal de igual.
• Somar quando é para subtrair: Um cateto que falta pede c² − b². Se o seu "cateto" deu maior que a hipotenusa, você somou.
• Arredondar cedo demais: Arredonde só a resposta final. Arredondar uma raiz quadrada no meio da conta e depois elevar ao quadrado de novo desvia o resultado.

Caso especial: respostas que não são números inteiros

Muitos triângulos retângulos têm hipotenusa que não é um número inteiro. Um quadrado de lado 1 tem diagonal √2, porque 1² + 1² = 2, e √2 vale cerca de 1,41. Catetos 2 e 3 dão 4 + 9 = 13, então a hipotenusa é √13, cerca de 3,61.

Deixe a resposta como √13 quando a questão pedir o valor exato, e escreva "cerca de 3,61" quando ela pedir uma medida. Confira uma resposta arredondada elevando-a ao quadrado: 3,61 × 3,61 dá perto de 13.

O teorema também é muito antigo. Pitágoras viveu por volta de 500 a.C., segundo o OpenStax, mas a história da matemática babilônica do MacTutor descreve a tábua de argila Plimpton 322, datada de entre 1800 e 1650 a.C., como "uma lista de ternos pitagóricos de números inteiros" e conclui que "os babilônios conheciam o teorema de Pitágoras".

Sua lista de verificação do teorema de Pitágoras e próximos passos

• Ângulo reto primeiro: confirme que um ângulo mede 90° antes de usar a regra.
• Ache o c: marque o lado oposto ao ângulo reto como a hipotenusa.
• Hipotenusa: eleve os dois catetos ao quadrado, some e tire a raiz quadrada.
• Cateto que falta: eleve a hipotenusa ao quadrado, subtraia o quadrado do cateto conhecido e tire a raiz quadrada.
• Ternos: procure 3-4-5, 5-12-13 e 8-15-17 e os múltiplos deles antes de calcular.
• Conferência: a hipotenusa é maior que cada cateto e menor que os dois catetos somados.

O MathIt é um app gratuito para iOS e Android com cerca de 90 tipos de jogos, dificuldade adaptativa e uma prática diária curta que mantém afiados os quadrados perfeitos e a multiplicação de cabeça, os fatos em que todo problema de Pitágoras se apoia. Você também pode desafiar de 1 a 4 amigos ou familiares em batalhas de matemática em tempo real, em qualquer um dos 33 idiomas.