Pythagoras sats förklarad: räkna ut varje sida i en rätvinklig triangel

En snickare som bygger en altan mäter 3 m längs den ena regeln, 4 m längs den andra och kontrollerar att diagonalen mellan de två markeringarna är exakt 5 m. Stämmer det är hörnet rätvinkligt. Den kontrollen är Pythagoras sats i arbete, och samma regel visar ditt barn i årskurs 8 hur man räknar ut hypotenusan eller en saknad sida i kvällens läxa.

Vad säger Pythagoras sats?

Pythagoras sats säger att i en rätvinklig triangel blir de två kortare sidorna i kvadrat tillsammans lika med den längsta sidan i kvadrat. OpenStax Prealgebra 2e, avsnitt 9.3 skriver den som a² + b² = c² i varje rätvinklig triangel ABC, där c är hypotenusan och a och b är kateterna.

Den lilla upphöjda tvåan betyder ”i kvadrat”, ett tal gånger sig självt: 3² = 3 × 3 = 9. Guiden om potenser går igenom skrivsättet om det var länge sedan. En rätvinklig triangel med kateterna 3 och 4 och den långa sidan 5 följer regeln, eftersom 9 + 16 = 25.

Bilden visar varför regeln handlar om kvadrater. En kvadrat byggd på sidan med längden 3 rymmer 9 rutor, kvadraten på sidan med längden 4 rymmer 16, och kvadraten på den långa sidan rymmer 25. De två mindre kvadraterna fyller tillsammans exakt den stora.

Vilken sida är hypotenusan?

Hypotenusan är sidan mitt emot den räta vinkeln, och den är alltid den längsta sidan. OpenStax definierar den på samma sätt: sidan mitt emot vinkeln på 90° kallas hypotenusa, och de två andra sidorna kallas kateter.

Leta först upp den lilla fyrkantiga hörnmarkeringen och titta sedan tvärs över triangeln till den sida som den inte rör. Den sidan är c. Kateterna kan kallas a och b i vilken ordning som helst, eftersom a² + b² ger samma summa åt båda hållen, och inlägget om olika trianglar och vinklar visar hur du ser en rät vinkel utan gradskiva.

Så räknar du ut hypotenusan, steg för steg

Att räkna ut hypotenusan tar fyra räknesteg: kvadrera, kvadrera, addera, dra roten ur. Ta en rätvinklig triangel med kateterna 9 cm och 12 cm.

1. Namnge sidorna. Hitta den räta vinkeln, markera sidan mitt emot den som c och kalla de två andra a och b. Här är a = 9, b = 12 och c okänd.
2. Kvadrera varje katet. Multiplicera varje katet med sig själv: 9 × 9 = 81 och 12 × 12 = 144.
3. Addera kvadraterna. 81 + 144 = 225. Den summan är c², arean av kvadraten på hypotenusan.
4. Dra roten ur. Fråga vilket tal gånger sig självt som blir 225. Svaret är 15, så c = 15 cm.
5. Kontrollera storleken. Hypotenusan måste vara längre än varje katet och kortare än de två kateterna tillsammans. 15 är mer än 12 och mindre än 9 + 12 = 21, så svaret är rimligt.

Steg 4 är det steg vuxna oftast glömmer. Guiden om kvadratrötter förklarar hur du räknar ut en för hand, och den som kan kvadrattalen upp till 15 × 15 = 225 klarar de flesta läxuppgifter snabbt.

Spela gratis i webbläsarenKvadrattalÅk 4–6

Där det oftast går fel: att addera sidorna

Det vanligaste felsvaret adderar sidorna i stället för kvadraterna. En elev som skriver 3 + 4 = 7 som hypotenusa i en 3-4-5-triangel har adderat längder, och en sned sida kan aldrig vara lika lång som de två kateterna lagda efter varandra.

Det andra felet stannar vid steg 3. Kateterna 3 och 4 ger c² = 25, och 25 är arean av kvadraten på hypotenusan, så själva sidan är 5. Säg ”kvadrera, addera, dra roten ur” högt tills ordningen sitter.

Så räknar du ut en saknad katet

Att räkna ut en saknad katet vänder på ett steg: du subtraherar i stället för att addera. Hypotenusan har den största kvadraten, så en katet i kvadrat är c² − b².

Ta en brandstege som är 13 m lång och vars fot står 5 m från husväggen. Stegen är hypotenusan, så 13² = 169 och 5² = 25. Sedan är 169 − 25 = 144, och kvadratroten ur 144 är 12, så stegen når 12 m upp på väggen.

Samma uppgift kan skrivas som en ekvation med en obekant. OpenStax ställer upp den som 25 + b² = 169, och för att lösa ut b använder du stegen i guiden om hur man löser ut x: dra bort 25 från båda leden och dra sedan roten ur.

Spela gratis i webbläsarenLös ut xÅk 6+

Pythagoreiska tripplar som är värda att kunna

Pythagoreiska tripplar är grupper av tre heltal som passar exakt i a² + b² = c². Fem av dem räcker till de flesta arbetsblad och byggjobb.

Varje heltalsmultipel av en trippel är också en trippel. Multiplicerar du 3, 4 och 5 med 2 får du 6, 8 och 10, och multiplicerar du med 3 får du 9, 12 och 15, triangeln från steglistan. Känner du igen en trippel kan du hoppa över kvadratroten.

Verklig användning: skärmar, stegar och räta hörn

Pythagoras sats dyker upp överallt där två längder möts i rät vinkel och du behöver det sneda avståndet mellan deras ändar. Common Core-standarden 8.G.B.7 kräver att amerikanska elever använder satsen för att räkna ut okända sidor i rätvinkliga trianglar i vardagliga och matematiska problem i två och tre dimensioner. I Sverige hör geometriska satser och formler till Lgr22:s centrala innehåll för årskurs 7–9, och där möter eleverna Pythagoras sats.

• Skärmens diagonal: Storleken på tv-apparater och skärmar mäts i tum från hörn till hörn, även i Sverige. En skärm som är 48 tum bred och 36 tum hög har diagonalen 60 tum, eftersom 2 304 + 1 296 = 3 600 och kvadratroten ur 3 600 är 60.
• Stegar mot en vägg: Väggen och marken bildar den räta vinkeln, och stegen är hypotenusan. En fot 6 m ut och en topp 8 m upp kräver en stege som är 10 m lång.
• Avstånd i ett rutnät: Standard 8.G.B.8 kräver att eleverna använder satsen för att räkna ut avståndet mellan två punkter i ett koordinatsystem. Går du 3 kvarter österut och 4 kvarter norrut är du 5 kvarter från startpunkten fågelvägen.

Kontrollen 3-4-5 av ett hörn

Kontrollen 3-4-5 visar att ett hörn är rätvinkligt med bara ett måttband. Markera 3 dm från hörnet längs den ena kanten och 4 dm längs den andra, och mät sedan mellan de två markeringarna. Ett avstånd på exakt 5 dm betyder att hörnet är rätvinkligt.

Kontrollen använder den omvända satsen: om a² + b² = c² har triangeln en rät vinkel. Standard 8.G.B.6 kräver att eleverna kan förklara ett bevis för satsen och dess omvändning. En diagonal som är längre än 5 dm betyder att hörnet är större än 90°, och en kortare betyder att det är mindre. För en stor ram använder du 6-8-10 eller 9-12-15 dm, eller samma tal i meter, eftersom en större triangel visar små fel tydligare.

Så kontrollerar du framstegen med Pythagoras sats

Fem korta frågor visar om någon förstår satsen eller bara skriver av en formel.

• Hitta hypotenusan: Visa en rätvinklig triangel som ligger på sidan. Den som övar ska peka på sidan mitt emot den räta vinkeln innan någon räkning börjar.
• Räkna ut en hypotenusa: Kateterna 6 och 8. Svaret är 10, med 36 + 64 = 100 utskrivet.
• Räkna ut en katet: Hypotenusan 17 och kateten 8. Svaret är 15, eftersom 289 − 64 = 225.
• Använd den omvända satsen: Bildar sidorna 5, 12 och 13 en rätvinklig triangel? Ja, eftersom 25 + 144 = 169.
• Avvisa en triangel som inte är rätvinklig: Bildar sidorna 4, 5 och 6 en rätvinklig triangel? Nej, eftersom 16 + 25 = 41 och 6² = 36.

Ett test på fem minuter

Ett test på fem minuter blandar en hypotenusa, en saknad katet och en fråga om den omvända satsen, med kvadraterna utskrivna. Den som ställer upp a² + b² = c² rätt men fastnar på 12 × 12 eller kvadratroten ur 169 behöver kvadrattalen mer än geometrin.

Vuxna som bygger upp sin matte igen märker ofta att det är just där luckan finns. Guiden om hur du blir bättre på matte som vuxen visar hur du bygger upp de fakta i korta dagliga pass, och sidan med mattespel för vuxna visar den sortens snabba övning som hjälper.

Vanliga fel och gränsfall med Pythagoras sats

Fyra fel orsakar de flesta felsvaren, och vart och ett har en snabb lösning.

• Att använda satsen på en triangel som inte är rätvinklig: Regeln gäller bara när en vinkel är 90°. Leta efter hörnmarkeringen, eller testa sidorna med den omvända satsen först.
• Att sätta fel sida som c: Att addera hypotenusan i kvadrat till en katet i kvadrat ger ett för stort tal. Hypotenusan står alltid ensam på ena sidan av likhetstecknet.
• Att addera när du ska subtrahera: En saknad katet kräver c² − b². Blir din ”katet” längre än hypotenusan har du adderat.
• Att avrunda för tidigt: Avrunda bara det slutliga svaret. Att avrunda en kvadratrot halvvägs och sedan kvadrera den igen flyttar resultatet.

Gränsfall: svar som inte är heltal

Många rätvinkliga trianglar har en hypotenusa som inte är ett heltal. En kvadrat med sidan 1 har diagonalen √2, eftersom 1² + 1² = 2, och √2 är ungefär 1,41. Kateterna 2 och 3 ger 4 + 9 = 13, så hypotenusan är √13, ungefär 3,61.

Låt svaret stå som √13 när uppgiften ber om ett exakt värde, och skriv ”ungefär 3,61” när den ber om ett mått. Kontrollera ett avrundat svar genom att kvadrera det: 3,61 × 3,61 ligger nära 13.

Satsen är också mycket gammal. Pythagoras levde omkring 500 f.Kr. enligt OpenStax, men MacTutors historik om babylonisk matematik beskriver lertavlan Plimpton 322, daterad till mellan 1800 och 1650 f.Kr., som en lista med pythagoreiska heltalstripplar och drar slutsatsen att babylonierna kände till Pythagoras sats.

Din checklista för Pythagoras sats och nästa steg

• Rät vinkel först: kontrollera att en vinkel är 90° innan du använder regeln.
• Hitta c: markera sidan mitt emot den räta vinkeln som hypotenusan.
• Hypotenusa: kvadrera båda kateterna, addera och dra sedan roten ur.
• Saknad katet: kvadrera hypotenusan, dra bort den kända kateten i kvadrat och dra sedan roten ur.
• Tripplar: leta efter 3-4-5, 5-12-13 och 8-15-17 och deras multiplar innan du räknar.
• Rimlighetskontroll: hypotenusan är längre än varje katet och kortare än de två kateterna tillsammans.

MathIt är en gratis app för iOS och Android med ungefär 90 speltyper, anpassad svårighetsgrad och en kort daglig övning som håller kvadrattalen och huvudräkningen med multiplikation skarpa, de fakta som varje uppgift med Pythagoras sats vilar på. Du kan också utmana 1 till 4 vänner eller familjemedlemmar i matteduell i realtid, på något av 33 språk.