Pisagor bağıntısı nedir: dik üçgenin her kenarını bulmak

Bir usta bir duvarın temelini çizerken bir ip boyunca 3 metre, öbür ip boyunca 4 metre ölçüyor ve iki işaret arasındaki köşegenin tam 5 metre olup olmadığına bakıyor. Öyleyse köşe tam diktir. Bu kontrol iş başındaki Pisagor teoremidir ve aynı kural 8. sınıftaki çocuğunuza bu akşamki ödevde hipotenüsü ya da eksik kenarı nasıl bulacağını gösterir.

Pisagor teoremi ne söyler?

Pisagor teoremi, bir dik üçgende iki kısa kenarın kareleri toplamının en uzun kenarın karesine eşit olduğunu söyler. OpenStax Prealgebra 2e, bölüm 9.3 bunu "Her ABC dik üçgeninde a² + b² = c²" diye yazar; burada c hipotenüs, a ve b dik kenarlardır.

Küçük, yukarıda yazılan 2 "karesi" demektir, yani bir sayının kendisiyle çarpımı: 3² = 3 × 3 = 9. Bu gösterim unutulduysa üslü sayılar rehberi onu anlatır. Dik kenarları 3 ve 4, uzun kenarı 5 olan bir dik üçgen kurala uyar, çünkü 9 + 16 = 25'tir.

Resim, kuralın neden karelerle ilgili olduğunu gösterir. 3 uzunluğundaki kenarın üzerine kurulan kare 9 birim kare, 4 uzunluğundaki kenarın üzerindeki kare 16 birim kare, uzun kenarın üzerindeki kare 25 birim kare içerir. İki küçük kare birlikte büyük kareyi tam olarak doldurur.

Hangi kenar hipotenüstür?

Hipotenüs dik açının karşısındaki kenardır ve her zaman en uzun kenardır. OpenStax da aynı tanımı verir: üçgenin 90°'lik açısının karşısındaki kenara hipotenüs, diğer iki kenara dik kenar denir.

Önce küçük kare köşe işaretini bulun, sonra üçgenin karşı tarafında o köşeye değmeyen kenara bakın. O kenar c'dir. Dik kenarlara herhangi bir sırayla a ve b denebilir, çünkü a² + b² iki şekilde de aynı toplamı verir; dik açıyı açıölçer olmadan nasıl tanıyacağınızı üçgen çeşitleri ve açı çeşitleri yazısı gösterir.

Hipotenüs adım adım nasıl bulunur?

Hipotenüsü bulmak dört işlem ister: kare, kare, topla, karekök. Dik kenarları 9 cm ve 12 cm olan bir dik üçgen alalım.

1. Kenarları adlandırın. Dik açıyı bulun, karşısındaki kenarı c diye işaretleyin, diğer ikisine a ve b deyin. Burada a = 9, b = 12 ve c bilinmiyor.
2. Her dik kenarın karesini alın. Her dik kenarı kendisiyle çarpın: 9 × 9 = 81 ve 12 × 12 = 144.
3. Kareleri toplayın. 81 + 144 = 225. Bu toplam c²'dir, yani hipotenüsün üzerindeki karenin alanı.
4. Karekök alın. Hangi sayının kendisiyle çarpımının 225 ettiğini sorun. Cevap 15'tir, yani c = 15 cm.
5. Büyüklüğü kontrol edin. Hipotenüs her dik kenardan uzun, iki dik kenarın toplamından kısa olmalıdır. 15, 12'den büyük ve 9 + 12 = 21'den küçüktür; cevap mantıklıdır.

1. adım, yetişkinlerin en sık unuttuğu adımdır. Karekök rehberi karekökün elle nasıl bulunacağını anlatır; 15 × 15 = 225'e kadar tam kareleri bilmek de çoğu ödev sorusunu hızlandırır.

Tarayıcıda ücretsiz oynayınKare Sayılar4–6. sınıf

En çok karıştırılan nokta: kenarları toplamak

En sık yapılan yanlış, kareler yerine kenarları toplamaktır. 3-4-5 üçgeninin hipotenüsü için 3 + 4 = 7 yazan öğrenci uzunlukları toplamıştır; oysa eğik bir kenar hiçbir zaman uç uca konmuş iki dik kenar kadar uzun olamaz.

İkinci hata 3. adımda durmaktır. Dik kenarları 3 ve 4 olan üçgende c² = 25 bulunur; 25 hipotenüsün üzerindeki karenin alanıdır, kenarın kendisi 5'tir. Sıra kendiliğinden gelene kadar yüksek sesle "kare al, topla, sonra karekök al" deyin.

Eksik dik kenar nasıl bulunur?

Eksik bir dik kenarı bulmak tek bir adımı tersine çevirir: toplamak yerine çıkarırsınız. En büyük kare hipotenüsündür, dolayısıyla bir dik kenarın karesi c² − b²'dir.

13 metrelik bir itfaiye merdiveni alın; ayağı duvardan 5 metre uzakta duruyor. Merdiven hipotenüstür, dolayısıyla 13² = 169 ve 5² = 25'tir. Sonra 169 − 25 = 144 eder ve 144'ün karekökü 12'dir; merdiven duvarda 12 metre yükseğe ulaşır.

Aynı problem tek bilinmeyenli bir denklem olarak da yazılabilir. OpenStax onu 25 + b² = 169 diye çözer; b'yi bulmak x nasıl bulunur rehberindeki hamleleri kullanır: iki taraftan 25 çıkarın, sonra karekök alın.

Tarayıcıda ücretsiz oynayınX'i Bul6. sınıf+

Bilinmeye değer Pisagor üçlüleri

Pisagor üçlüleri, a² + b² = c² bağıntısına tam olarak uyan üç doğal sayıdan oluşan gruplardır. Beşi, çoğu ödev kâğıdını ve inşaat işini karşılar.

Bir üçlünün her doğal sayı katı da bir üçlüdür. 3, 4 ve 5'i 2 ile çarpmak 6, 8 ve 10'u, 3 ile çarpmak da adımlardaki üçgen olan 9, 12 ve 15'i verir. Bir üçlüyü tanımak karekök almayı gereksiz kılar.

Gerçek kullanımlar: ekranlar, merdivenler ve dik köşeler

Pisagor teoremi, iki uzunluğun dik açıyla buluştuğu ve uçları arasındaki eğik mesafenin gerektiği her yerde karşınıza çıkar. Common Core 8.G.B.7 standardı ABD'de öğrencilerden Pisagor teoremini iki ve üç boyutlu gerçek hayat ve matematik problemlerinde dik üçgenlerin bilinmeyen kenarlarını bulmak için kullanmalarını ister. Türkiye'de MEB'in 2018 Matematik Dersi Öğretim Programı bağıntıyı 8. sınıfa koyar (M.8.3.1.5, "Pisagor bağıntısını oluşturur, ilgili problemleri çözer") ve gerçek hayat uygulamalarına yer verilmesini ister.

• Ekran köşegenleri: Televizyon ve monitör boyutları köşeden köşeye inç olarak ölçülür (1 inç = 2,54 cm). 48 inç genişliğinde ve 36 inç yüksekliğindeki bir ekranın köşegeni 60 inçtir, çünkü 2.304 + 1.296 = 3.600 ve 3.600'ün karekökü 60'tır.
• Duvara dayalı merdivenler: Duvar ile zemin dik açıyı yapar, merdiven de hipotenüstür. Ayağı 6 metre dışarıda, tepesi 8 metre yukarıda olan bir merdivenin boyu 10 metre olmalıdır.
• Kareli düzlemde uzaklık: Common Core 8.G.B.8 ve MEB programı Pisagor bağıntısıyla koordinat düzleminde iki nokta arasındaki uzaklığı buldurur; MEB uzaklık formülünü vermez. 3 sokak doğuya, 4 sokak kuzeye yürüyen biri, başladığı yerden düz bir çizgiyle 5 sokak uzaktadır.

3-4-5 köşe kontrolü

3-4-5 köşe kontrolü, bir köşenin dik olduğunu yalnızca bir şerit metreyle kanıtlar. Köşeden bir kenar boyunca 3 metre, öbür kenar boyunca 4 metre işaretleyin, sonra iki işaret arasını ölçün. Tam 5 metrelik bir mesafe köşenin dik olduğu anlamına gelir.

Kontrol teoremin tersini kullanır: a² + b² = c² ise üçgenin bir dik açısı vardır. Common Core 8.G.B.6 standardı öğrencilerden Pisagor teoreminin ve tersinin bir ispatını açıklamalarını ister; MEB programı da kenar uzunlukları verilen bir üçgenin dik üçgen olup olmadığına Pisagor bağıntısıyla karar verme çalışmaları yaptırır. 5 metreden uzun bir köşegen köşenin 90°'den geniş, kısa bir köşegen dar olduğunu gösterir. Büyük bir çerçeve için 6-8-10 ya da 9-12-15 metre kullanın, çünkü büyük bir üçgen küçük hataları daha açık gösterir.

Pisagor teoreminde ilerleme nasıl kontrol edilir?

Beş kısa soru, birinin teoremi anlayıp anlamadığını ya da bir formülü kopyalayıp kopyalamadığını gösterir.

• Hipotenüsü bulun: Yan yatırılmış bir dik üçgen gösterin. Öğrenci herhangi bir hesaptan önce dik açının karşısındaki kenarı göstermelidir.
• Bir hipotenüs hesaplayın: Dik kenarlar 6 ve 8. Cevap 10'dur; 36 + 64 = 100 açıkça yazılmalıdır.
• Bir dik kenar hesaplayın: Hipotenüs 17, bir dik kenar 8. Cevap 15'tir, çünkü 289 − 64 = 225.
• Tersini kullanın: Kenarları 5, 12 ve 13 olan üçgen dik üçgen midir? Evet, çünkü 25 + 144 = 169.
• Dik olmayan üçgeni ayırın: Kenarları 4, 5 ve 6 olan üçgen dik üçgen midir? Hayır, çünkü 16 + 25 = 41 ve 6² = 36.

Beş dakikalık bir test

Beş dakikalık bir test, kareleri açıkça yazılmış bir hipotenüs, bir eksik dik kenar ve bir ters teorem sorusunu karıştırır. a² + b² = c²'yi doğru kuran ama 12 × 12'de ya da 169'un karekökünde takılan öğrencinin geometriden çok kare sayılara ihtiyacı vardır.

Matematiği yeniden kuran yetişkinler de çoğu zaman asıl açığın bu olduğunu görür. Yetişkin olarak matematikte daha iyi olmak rehberi bu bilgileri kısa günlük oturumlarla yeniden kurmayı anlatır; yetişkinler için matematik oyunu sayfası da işe yarayan hızlı alıştırma türünü gösterir.

Pisagor teoreminde sık yapılan hatalar ve sınır durumlar

Yanlış cevapların çoğunu dört hata doğurur ve her birinin kısa bir çözümü vardır.

• Dik olmayan üçgende kullanmak: Kural yalnızca bir açı 90° olduğunda geçerlidir. Kare köşe işaretine bakın ya da önce kenarları ters teoremle test edin.
• c'ye yanlış kenarı koymak: Hipotenüsün karesini bir dik kenarın karesine eklemek çok büyük bir sayı verir. Hipotenüs eşittir işaretinin bir tarafında her zaman tek başına durur.
• Çıkarmanız gerekirken toplamak: Eksik bir dik kenar c² − b² ister. "Dik kenarınız" hipotenüsten uzun çıktıysa toplamışsınızdır.
• Erken yuvarlamak: Yalnızca son cevabı yuvarlayın. Bir karekökü yolun ortasında yuvarlayıp sonra yeniden karesini almak sonucu kaydırır.

Sınır durum: tam sayı olmayan cevaplar

Birçok dik üçgenin hipotenüsü tam sayı değildir. Kenarı 1 olan bir karenin köşegeni √2'dir, çünkü 1² + 1² = 2'dir ve √2 yaklaşık 1,41'dir. Dik kenarları 2 ve 3 olan üçgende 4 + 9 = 13 eder; hipotenüs √13, yaklaşık 3,61'dir.

Soru kesin değer istiyorsa cevabı √13 olarak bırakın, bir ölçü istiyorsa "yaklaşık 3,61" yazın. Yuvarlanmış bir cevabı karesini alarak kontrol edin: 3,61 × 3,61, 13'e yakındır.

Teorem çok da eskidir. OpenStax'e göre Pisagor MÖ 500 civarında yaşadı, ama MacTutor'un Babil matematiği tarihi MÖ 1800 ile 1650 arasına tarihlenen Plimpton 322 kil tabletini "Pisagor tam sayı üçlülerinin bir listesi" diye anlatır ve "Babillilerin Pisagor teoremini bildiği" sonucuna varır.

Pisagor teoremi kontrol listeniz ve sonraki adımlar

• Önce dik açı: kuralı kullanmadan önce bir açının 90° olduğundan emin olun.
• c'yi bulun: dik açının karşısındaki kenarı hipotenüs olarak işaretleyin.
• Hipotenüs: iki dik kenarın karesini alın, toplayın, sonra karekök alın.
• Eksik dik kenar: hipotenüsün karesini alın, bilinen dik kenarın karesini çıkarın, sonra karekök alın.
• Üçlüler: hesaplamadan önce 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 ve katlarını arayın.
• Mantık kontrolü: hipotenüs her dik kenardan uzun, iki dik kenarın toplamından kısadır.

MathIt, yaklaşık 90 oyun türü, uyarlanabilir zorluk ve her Pisagor probleminin dayandığı kare sayıları ve zihinden çarpmayı keskin tutan kısa bir günlük alıştırma sunan ücretsiz bir iOS ve Android uygulamasıdır. Çocuklar 33 dilin herhangi birinde, 1 ila 4 arkadaşı ya da aile üyesiyle gerçek zamanlı matematik düellolarına da girebilir.