Der Satz des Pythagoras einfach erklärt: jede Seite im rechtwinkligen Dreieck berechnen

Ein Handwerker, der eine Terrasse baut, misst 3 m an einem Balken entlang, 4 m am anderen und prüft, ob die Strecke zwischen den beiden Markierungen genau 5 m beträgt. Stimmt das, ist die Ecke rechtwinklig. Diese Probe ist der Satz des Pythagoras in Aktion, und dieselbe Regel zeigt Ihrem Kind in der 8. oder 9. Klasse, wie man in der heutigen Hausaufgabe die Hypotenuse oder eine fehlende Seite berechnet.

Was besagt der Satz des Pythagoras?

Der Satz des Pythagoras besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Quadrate der beiden kürzeren Seiten zusammen das Quadrat der längsten Seite ergeben. OpenStax Prealgebra 2e, Abschnitt 9.3 formuliert ihn so: „In jedem rechtwinkligen Dreieck ΔABC gilt a² + b² = c²“, wobei c die Hypotenuse ist und a und b die Katheten sind.

Die kleine hochgestellte 2 bedeutet „hoch zwei“ oder „zum Quadrat“, also eine Zahl mal sich selbst: 3² = 3 · 3 = 9. Der Leitfaden zu Potenzen erklärt diese Schreibweise, falls sie eine Weile her ist. Ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 3 und 4 und der langen Seite 5 erfüllt die Regel, denn 9 + 16 = 25.

Das Bild zeigt, warum es in der Regel um Quadrate geht. Ein Quadrat über der Seite mit der Länge 3 enthält 9 Einheitsquadrate, das Quadrat über der Seite mit der Länge 4 enthält 16, und das Quadrat über der langen Seite enthält 25. Die beiden kleineren Quadrate füllen zusammen genau das große.

Welche Seite ist die Hypotenuse?

Die Hypotenuse ist die Seite gegenüber dem rechten Winkel, und sie ist immer die längste Seite. OpenStax definiert sie genauso: „Die Seite des Dreiecks gegenüber dem 90°-Winkel heißt Hypotenuse, die beiden anderen Seiten heißen Katheten.“

Suchen Sie zuerst das kleine Zeichen für den rechten Winkel und schauen Sie dann quer durch das Dreieck zu der Seite, die es nicht berührt. Diese Seite ist c. Die Katheten dürfen in beliebiger Reihenfolge a und b heißen, weil a² + b² in beiden Richtungen dieselbe Summe ergibt, und der Beitrag über Dreiecksarten und Winkel zeigt, wie man einen rechten Winkel ohne Geodreieck erkennt.

Die Hypotenuse berechnen, Schritt für Schritt

Die Hypotenuse berechnet man mit vier Rechenschritten: quadrieren, quadrieren, addieren, Wurzel ziehen. Nehmen Sie ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 9 cm und 12 cm.

1. Die Seiten benennen. Den rechten Winkel suchen, die gegenüberliegende Seite als c markieren und die beiden anderen a und b nennen. Hier ist a = 9, b = 12, und c ist gesucht.
2. Jede Kathete quadrieren. Jede Kathete mit sich selbst multiplizieren: 9 · 9 = 81 und 12 · 12 = 144.
3. Die Quadrate addieren. 81 + 144 = 225. Diese Summe ist c², der Flächeninhalt des Quadrats über der Hypotenuse.
4. Die Wurzel ziehen. Fragen Sie, welche Zahl mal sich selbst 225 ergibt. Die Antwort ist 15, also ist c = 15 cm.
5. Die Größe prüfen. Die Hypotenuse muss länger als jede Kathete und kürzer als beide Katheten zusammen sein. 15 ist mehr als 12 und weniger als 9 + 12 = 21, also ist das Ergebnis plausibel.

Schritt 4 vergessen Erwachsene am häufigsten. Der Leitfaden zu Quadratwurzeln erklärt, wie man eine Wurzel von Hand findet, und wer die Quadratzahlen bis 15 · 15 = 225 kennt, löst die meisten Hausaufgaben schnell.

Gratis im Browser spielenQuadratzahlenKlasse 4–6

Der typische Fehler: die Seiten addieren

Die häufigste falsche Antwort addiert die Seiten statt der Quadrate. Wer für die Hypotenuse eines 3-4-5-Dreiecks 3 + 4 = 7 schreibt, hat Längen addiert, und eine schräge Seite kann nie so lang sein wie beide Katheten hintereinandergelegt.

Der zweite Fehler hört nach Schritt 3 auf. Katheten von 3 und 4 ergeben c² = 25, und 25 ist der Flächeninhalt des Quadrats über der Hypotenuse, die Seite selbst ist also 5. Sagen Sie „quadrieren, addieren, dann Wurzel ziehen“ laut, bis die Reihenfolge sitzt.

Eine fehlende Kathete berechnen

Eine fehlende Kathete berechnet man, indem man einen Schritt umkehrt: subtrahieren statt addieren. Die Hypotenuse hat das größte Quadrat, also ist das Quadrat einer Kathete gleich c² − b².

Nehmen Sie eine 13 m lange Feuerwehrleiter, deren Fuß 5 m von einer Hauswand entfernt steht. Die Leiter ist die Hypotenuse, also 13² = 169 und 5² = 25. Dann ist 169 − 25 = 144, und die Wurzel aus 144 ist 12, also reicht die Leiter 12 m hoch an die Wand.

Dieselbe Aufgabe lässt sich als Gleichung mit einer Unbekannten schreiben. OpenStax rechnet sie als 25 + b² = 169, und das Auflösen nach b nutzt die Schritte aus dem Leitfaden Gleichungen nach x auflösen: auf beiden Seiten 25 abziehen, dann die Wurzel ziehen.

Gratis im Browser spielenNach x auflösenKlasse 6+

Pythagoreische Tripel, die man kennen sollte

Pythagoreische Tripel sind drei ganze Zahlen, die a² + b² = c² genau erfüllen. Fünf davon decken die meisten Arbeitsblätter und Baustellen ab.

Jedes ganzzahlige Vielfache eines Tripels ist wieder ein Tripel. 3, 4 und 5 mal 2 ergibt 6, 8 und 10, und mal 3 ergibt 9, 12 und 15, das Dreieck aus der Schrittliste. Wer ein Tripel erkennt, spart sich die Wurzel.

Satz des Pythagoras im Alltag: Bildschirme, Leitern und rechte Winkel

Der Satz des Pythagoras taucht überall auf, wo zwei Längen in einem rechten Winkel aufeinandertreffen und man die schräge Strecke zwischen ihren Enden braucht. Der Bildungsplan Mathematik in Baden-Württemberg für die Klassen 7 bis 9 verlangt, „im Zusammenhang mit dem Satz des Pythagoras Streckenlängen berechnen und Orthogonalität untersuchen“ zu können. In den USA verlangt der Common-Core-Standard 8.G.B.7, den Satz anzuwenden, um unbekannte Seitenlängen in rechtwinkligen Dreiecken in Sach- und Mathematikaufgaben in zwei und drei Dimensionen zu bestimmen.

• Bildschirmdiagonalen: Fernseher und Monitore werden von Ecke zu Ecke in Zoll gemessen. Ein Bildschirm, der 48 Zoll breit und 36 Zoll hoch ist, hat eine Diagonale von 60 Zoll, denn 2.304 + 1.296 = 3.600, und die Wurzel aus 3.600 ist 60.
• Leitern an der Wand: Wand und Boden bilden den rechten Winkel, die Leiter ist die Hypotenuse. Steht der Fuß 6 m von der Wand entfernt und lehnt die Spitze 8 m hoch, braucht man eine 10 m lange Leiter.
• Abstand im Koordinatensystem: Standard 8.G.B.8 verlangt, mit dem Satz des Pythagoras den Abstand zwischen zwei Punkten in einem Koordinatensystem zu berechnen. Wer 3 Häuserblocks nach Osten und 4 nach Norden geht, ist in Luftlinie 5 Blocks vom Start entfernt.

Die 3-4-5-Probe für den rechten Winkel

Die 3-4-5-Probe beweist mit einem Maßband, dass eine Ecke rechtwinklig ist. Markieren Sie 3 m von der Ecke entlang einer Kante und 4 m entlang der anderen und messen Sie dann zwischen den beiden Markierungen. Genau 5 m bedeuten, dass die Ecke rechtwinklig ist.

Die Probe nutzt die Umkehrung des Satzes: Gilt a² + b² = c², hat das Dreieck einen rechten Winkel. Der Standard 8.G.B.6 verlangt, einen Beweis des Satzes des Pythagoras und seiner Umkehrung zu erklären. Eine Diagonale über 5 m bedeutet, dass die Ecke weiter als 90° ist, eine kürzere, dass sie enger ist. Für einen großen Rahmen nehmen Sie 6-8-10 oder 9-12-15 m, weil ein größeres Dreieck kleine Fehler deutlicher zeigt.

So prüfen Sie den Lernstand beim Satz des Pythagoras

Fünf kurze Fragen zeigen, ob jemand den Satz versteht oder eine Formel abschreibt.

• Die Hypotenuse finden: Zeigen Sie ein gekipptes rechtwinkliges Dreieck. Vor jeder Rechnung sollte auf die Seite gegenüber dem rechten Winkel gezeigt werden.
• Eine Hypotenuse berechnen: Katheten 6 und 8. Die Antwort ist 10, mit 36 + 64 = 100 ausgeschrieben.
• Eine Kathete berechnen: Hypotenuse 17 und Kathete 8. Die Antwort ist 15, denn 289 − 64 = 225.
• Die Umkehrung nutzen: Bilden die Seiten 5, 12 und 13 ein rechtwinkliges Dreieck? Ja, denn 25 + 144 = 169.
• Ein nicht rechtwinkliges Dreieck erkennen: Bilden die Seiten 4, 5 und 6 ein rechtwinkliges Dreieck? Nein, denn 16 + 25 = 41 und 6² = 36.

Ein Test in fünf Minuten

Ein Test in fünf Minuten mischt eine Hypotenuse, eine fehlende Kathete und eine Frage zur Umkehrung, mit ausgeschriebenen Quadraten. Wer a² + b² = c² richtig aufstellt, aber bei 12 · 12 oder der Wurzel aus 169 hängen bleibt, braucht mehr Übung bei den Quadratzahlen als in Geometrie.

Erwachsene, die ihre Mathekenntnisse wieder aufbauen, finden oft genau hier die echte Lücke. Der Leitfaden, wie man als Erwachsener besser in Mathe wird, zeigt, wie man diese Grundlagen in kurzen täglichen Einheiten auffrischt, und die Seite Mathespiel für Erwachsene zeigt die Art von schnellem Training, das dabei hilft.

Typische Fehler und Sonderfälle beim Satz des Pythagoras

Vier Fehler verursachen die meisten falschen Antworten, und jeder hat eine kurze Lösung.

• Ihn auf ein nicht rechtwinkliges Dreieck anwenden: Die Regel gilt nur, wenn ein Winkel 90° hat. Achten Sie auf das Zeichen für den rechten Winkel oder prüfen Sie die Seiten zuerst mit der Umkehrung.
• Die falsche Seite als c nehmen: Wer das Quadrat der Hypotenuse zum Quadrat einer Kathete addiert, bekommt eine zu große Zahl. Die Hypotenuse steht immer allein auf einer Seite des Gleichheitszeichens.
• Addieren statt subtrahieren: Eine fehlende Kathete braucht c² − b². Ist die „Kathete“ länger als die Hypotenuse, wurde addiert.
• Zu früh runden: Nur das Endergebnis runden. Wer eine Wurzel mitten in der Rechnung rundet und sie dann wieder quadriert, verschiebt das Ergebnis.

Sonderfall: Ergebnisse, die keine ganzen Zahlen sind

Viele rechtwinklige Dreiecke haben eine Hypotenuse, die keine ganze Zahl ist. Ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 hat die Diagonale √2, denn 1² + 1² = 2, und √2 ist ungefähr 1,41. Katheten von 2 und 3 ergeben 4 + 9 = 13, also ist die Hypotenuse √13, ungefähr 3,61.

Lassen Sie das Ergebnis als √13 stehen, wenn die Aufgabe einen exakten Wert verlangt, und schreiben Sie „ungefähr 3,61“, wenn nach einer Messung gefragt ist. Ein gerundetes Ergebnis prüft man durch Quadrieren: 3,61 · 3,61 liegt nah an 13.

Der Satz ist außerdem sehr alt. Pythagoras lebte laut OpenStax um 500 v. Chr., doch MacTutors Geschichte der babylonischen Mathematik beschreibt die Tontafel Plimpton 322, datiert zwischen 1800 und 1650 v. Chr., als „eine Liste pythagoreischer ganzzahliger Tripel“ und folgert, dass „die Babylonier mit dem Satz des Pythagoras vertraut waren“.

Ihre Checkliste zum Satz des Pythagoras und die nächsten Schritte

• Zuerst der rechte Winkel: Prüfen, dass ein Winkel 90° hat, bevor man die Regel nutzt.
• c finden: Die Seite gegenüber dem rechten Winkel als Hypotenuse markieren.
• Hypotenuse: Beide Katheten quadrieren, addieren, dann die Wurzel ziehen.
• Fehlende Kathete: Die Hypotenuse quadrieren, das Quadrat der bekannten Kathete abziehen, dann die Wurzel ziehen.
• Tripel: Vor dem Rechnen nach 3-4-5, 5-12-13 und 8-15-17 und ihren Vielfachen suchen.
• Plausibilität: Die Hypotenuse ist länger als jede Kathete und kürzer als beide Katheten zusammen.

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