勾股定理讲解：直角三角形的任意一条边怎么求

工人搭木平台时，沿一块木板量 3 米，沿另一块木板量 4 米，再量两个记号之间的斜线是不是正好 5 米。是的话，这个角就是直角。这一量，用的就是勾股定理，同一条规则也能帮八年级的孩子在今晚的作业里求出斜边或者缺的那条边。

勾股定理说的是什么？

勾股定理说的是：在直角三角形中，两条较短边的平方加起来，等于最长边的平方。OpenStax《Prealgebra 2e》第 9.3 节的写法是：“在任何直角三角形 ΔABC 中，a² + b² = c²”，其中 c 是斜边，a 和 b 是直角边。

右上角的小 2 表示“平方”，就是一个数乘它自己：3² = 3 × 3 = 9。如果记不清这种写法，可以看乘方讲解。直角边是 3 和 4、斜边是 5 的直角三角形满足这条规则，因为 9 + 16 = 25。

这幅图说明了这条规则为什么和正方形有关。边长 3 的边上拼出的正方形有 9 个小方格，边长 4 的有 16 个，最长边上的有 25 个。两个小正方形合起来，正好铺满那个大正方形。

国内在八年级下册学勾股定理。教育部印发的《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》自 2022 年秋季学期起执行，数学课程标准要求第四学段（七至九年级）的学生探索勾股定理及其逆定理，并能用它们解决一些简单的实际问题。

哪条边是斜边？

斜边是直角所对的边，它总是最长的一条。OpenStax 也是这样定义的：“三角形中 90° 角对面的边叫作斜边，另外两条边叫作直角边。”

先找到那个小方框形的直角记号，再看三角形里它碰不到的那条边，那就是 c。两条直角边叫 a 还是 b 都可以，因为 a² + b² 两种顺序的和一样。三角形和角的分类这篇讲了不用量角器怎样认出直角。

斜边怎么求：一步一步来

求斜边要做四种运算：平方、平方、相加、开平方。以直角边分别是 9 厘米和 12 厘米的直角三角形为例。

1. 标出三条边。 找到直角，把它对面的边标为 c，另外两条叫 a 和 b。这里 a = 9，b = 12，c 未知。
2. 两条直角边分别平方。 每条直角边乘它自己：9 × 9 = 81，12 × 12 = 144。
3. 把平方相加。 81 + 144 = 225。这个和就是 c²，也就是斜边上那个正方形的面积。
4. 开平方。 问自己：哪个数乘它自己等于 225？答案是 15，所以 c = 15 厘米。
5. 检查大小。 斜边要比每条直角边长，又要比两条直角边的和短。15 比 12 大，比 9 + 12 = 21 小，答案合理。

第 4 步是大人最常忘的一步。平方根讲解讲了怎样用笔求平方根；把 15 × 15 = 225 以内的平方数背熟，大多数作业题都能很快算完。

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最容易错的地方：把边长直接相加

最常见的错答是把边长相加，而不是把平方相加。把 3、4、5 三角形的斜边写成 3 + 4 = 7 的学生，加的是长度，可斜边永远不可能和两条直角边首尾相接一样长。

第二种错误是停在第 3 步。直角边 3 和 4 得到 c² = 25，25 是斜边上正方形的面积，斜边本身是 5。把“平方、相加、开平方”大声说几遍，直到顺序变成习惯。

直角边怎么求

求直角边只要把一步反过来：用减法代替加法。斜边的平方最大，所以一条直角边的平方等于 c² − b²。

一架长 13 米的消防梯斜靠在墙上，梯脚离墙 5 米。梯子是斜边，13² = 169，5² = 25。169 − 25 = 144，144 的算术平方根是 12，所以梯子顶端离地面 12 米。

同一道题也可以写成含一个未知数的方程。OpenStax 列的是 25 + b² = 169，解 b 的方法见怎样解方程求 x：两边同时减去 25，再开平方。

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值得记住的勾股数

勾股数是正好满足 a² + b² = c² 的三个正整数。下面五组就能覆盖大多数作业题和施工场合。

一组勾股数的任意正整数倍也是勾股数。3、4、5 乘 2 得到 6、8、10，乘 3 得到 9、12、15，就是上面步骤里的那个三角形。认出勾股数，就可以省掉开平方这一步。

实际用途：屏幕、梯子和直角

只要两条长度相交成直角，又要求两端之间的斜线距离，就用得上勾股定理。美国共同核心标准 8.G.B.7 要求学生在现实问题和数学问题中，用勾股定理求二维和三维直角三角形的未知边长。

• 屏幕对角线： 电视和显示器的尺寸量的是对角线，单位是英寸。宽 48 英寸、高 36 英寸的屏幕，对角线是 60 英寸，因为 2304 + 1296 = 3600，3600 的算术平方根是 60。
• 靠墙的梯子： 墙和地面构成直角，梯子是斜边。梯脚离墙 6 米、顶端高 8 米，需要一架 10 米长的梯子。
• 网格上的距离： 美国标准 8.G.B.8 要求学生用勾股定理求坐标系中两点之间的距离。向东走 3 个街区、再向北走 4 个街区，离出发点的直线距离是 5 个街区。

用“勾三股四弦五”检查直角

用“勾三股四弦五”检查直角，只要一把卷尺就够了。从角的顶点沿一条边量 3 米做记号，沿另一条边量 4 米做记号，再量两个记号之间的距离。正好 5 米，这个角就是直角。

这个检查用的是勾股定理的逆定理：如果 a² + b² = c²，这个三角形就有一个直角。美国标准 8.G.B.6 要求学生解释勾股定理及其逆定理的证明。斜线比 5 米长，说明这个角大于 90°；比 5 米短，说明小于 90°。框架比较大时，用 6、8、10 米或 9、12、15 米，三角形越大，小误差越明显。

怎么检查有没有学会勾股定理

五个小问题就能看出是真懂勾股定理，还是在照抄公式。

• 认出斜边： 给一个侧放的直角三角形。计算之前，应该先指出直角对面的那条边。
• 求斜边： 直角边 6 和 8。答案是 10，并写出 36 + 64 = 100。
• 求直角边： 斜边 17，一条直角边 8。答案是 15，因为 289 − 64 = 225。
• 用逆定理： 三边 5、12、13 能组成直角三角形吗？能，因为 25 + 144 = 169。
• 排除非直角三角形： 三边 4、5、6 能组成直角三角形吗？不能，因为 16 + 25 = 41，而 6² = 36。

五分钟小测

五分钟小测出一道求斜边、一道求直角边、一道用逆定理，每个平方都要写出来。能正确列出 a² + b² = c²，却卡在 12 × 12 或 169 开平方上的人，需要补的是平方数，不是几何。

重新学数学的成年人常常发现，真正的短板就在这里。成年人怎样把数学学好讲了怎样每天花一点时间把这些基本运算捡回来，成人数学游戏页面展示了那种有帮助的快问快答练习。

勾股定理的常见错误和特殊情况

大多数错答来自四种错误，每种都有简短的纠正办法。

• 用在非直角三角形上： 只有一个角是 90° 时这条规则才成立。先找直角记号，或者先用逆定理检验三边。
• 把错的边当成 c： 把斜边的平方加到直角边的平方上，结果会太大。斜边总是单独待在等号的一边。
• 该减的时候加了： 求直角边要算 c² − b²。如果算出的“直角边”比斜边还长，说明你做了加法。
• 过早取近似值： 只对最后的答案取近似值。中途把平方根取近似值再平方，结果就会偏。

特殊情况：答案不是整数

很多直角三角形的斜边不是整数。边长 1 的正方形，对角线是 √2，因为 1² + 1² = 2，√2 约是 1.41。直角边 2 和 3 得到 4 + 9 = 13，所以斜边是 √13，约是 3.61。

题目要准确值时，答案就写 √13；要测量结果时，写“约 3.61”。检验近似答案就把它平方：3.61 × 3.61 很接近 13。

这个定理也非常古老。按 OpenStax 的说法，毕达哥拉斯生活在约公元前 500 年，而 MacTutor 数学史网站关于巴比伦数学的文章介绍了泥板“普林顿 322”，它的年代在公元前 1800 年到前 1650 年之间，是“一张勾股数表”，文章的结论是“巴比伦人熟悉毕达哥拉斯定理”。

勾股定理检查清单和下一步

• 先确认直角： 用这条规则之前，确认有一个角是 90°。
• 找出 c： 把直角对面的边标为斜边。
• 求斜边： 两条直角边分别平方，相加，再开平方。
• 求直角边： 斜边平方，减去已知直角边的平方，再开平方。
• 勾股数： 计算之前，先看看是不是 3、4、5，5、12、13，8、15、17 或它们的倍数。
• 合理性检查： 斜边比每条直角边长，又比两条直角边的和短。

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