Comment multiplier et diviser des nombres décimaux ?

Pour multiplier des nombres décimaux, on oublie les virgules, on multiplie, puis on donne au résultat autant de chiffres après la virgule que les deux facteurs en ont ensemble : 2,4 × 1,5 = 3,60. Pour diviser par un décimal, on multiplie le diviseur et le dividende par 10 ou 100 jusqu'à ce que le diviseur soit entier : 7,5 : 0,25 = 750 : 25 = 30.

Comment diviser un nombre décimal par un nombre décimal ?

On divise un décimal par un décimal après avoir multiplié les deux nombres par la même puissance de 10, pour que le diviseur devienne un entier. Pour 7,5 : 0,25, multipliez les deux par 100 pour obtenir 750 : 25, soit 30. Le quotient ne change pas, car les deux nombres ont été multipliés par le même facteur.

Comment diviser un nombre entier par un nombre décimal ?

On divise un entier par un décimal de la même façon : on multiplie les deux nombres par 10, 100 ou 1 000 jusqu'à ce que le diviseur soit entier, en ajoutant des zéros à l'entier si besoin. Pour 12 : 0,4, multipliez les deux par 10 pour obtenir 120 : 4 = 30. Vérification rapide : 30 × 0,4 = 12.

Pourquoi déplace-t-on la virgule dans une division ?

On déplace la virgule dans une division parce que multiplier le diviseur et le dividende par le même nombre ne change pas le quotient, et qu'un diviseur entier est plus facile à manier. 4,2 : 0,6 demande combien de fois 0,6 tient dans 4,2, et 42 : 6 pose la même question en dixièmes, donc les deux réponses valent 7.

Comment multiplier un nombre décimal par 10, 100 ou 1 000 ?

Multiplier un décimal par 10, 100 ou 1 000 décale chaque chiffre d'un, deux ou trois rangs vers la gauche, comme si la virgule se déplaçait vers la droite. Donc 3,45 × 10 = 34,5, 3,45 × 100 = 345 et 3,45 × 1 000 = 3 450. Diviser par ces mêmes nombres décale les chiffres vers la droite : 3,45 : 10 = 0,345.

Multiplier et diviser des nombres décimaux

Q: Comment multiplier des nombres décimaux ?

On multiplie des décimaux en trois gestes : multiplier les nombres comme s'il n'y avait pas de virgule, compter les chiffres après la virgule dans les deux facteurs, et donner au produit autant de chiffres après la virgule. Pour 2,4 × 1,5, le produit des entiers est 24 × 15 = 360, les facteurs ont 1 + 1 = 2 chiffres après la virgule, et la réponse est 3,60, soit 3,6.

Le devoir de 6e de votre enfant demande 2,4 × 1,5, le corrigé indique 3,6, et la méthode dont vous vous souvenez commence par aligner les virgules. Cette méthode-là appartient à l'addition. Savoir multiplier et diviser des nombres décimaux se résume à deux habitudes : multiplier comme s'il n'y avait pas de virgule, puis compter les chiffres après la virgule, et, avant de diviser, rendre le diviseur entier.

Pourquoi la virgule se déplace quand on multiplie des décimaux

La virgule se déplace parce qu'un nombre décimal est une fraction de dénominateur 10, 100 ou 1 000, et que multiplier des fractions multiplie les dénominateurs. Prenez 0,3 × 0,2 : c'est 3/10 × 2/10 = 6/100, et 6/100 s'écrit 0,06.

La partie « nombres entiers » du calcul est 3 × 2 = 6. Les dénominateurs décident de la place de la virgule : des dixièmes fois des dixièmes donnent des centièmes, donc la réponse a besoin de deux chiffres après la virgule. Si la notion de dixième ou de centième reste fragile, commencez par le guide des nombres décimaux pour les parents, qui explique comment lire, comparer et convertir des décimaux.

Le standard américain Common Core 5.NBT.B.7 demande aux élèves de grade 5, l'équivalent du CM2, d'« additionner, soustraire, multiplier et diviser des décimaux jusqu'aux centièmes, à l'aide de modèles concrets ou de dessins et de stratégies fondées sur la valeur de position ». En France, le programme de mathématiques du cycle 3 répartit ce travail sur trois ans : au CM2, l'élève apprend à « poser et effectuer la multiplication d'un nombre décimal par un nombre entier », et la 6e introduit « la multiplication de deux nombres décimaux », en s'appuyant d'abord « sur le calcul de l'aire d'un rectangle ». Le quadrillage des centièmes est le dessin classique.

Le modèle d'aire sur un quadrillage de centièmes

Le modèle d'aire montre 0,3 × 0,2 comme la zone commune de deux bandes coloriées sur un quadrillage de 10 × 10. Coloriez 3 des 10 colonnes pour 0,3 et 2 des 10 lignes pour 0,2 ; les bandes se croisent sur 3 × 2 = 6 petits carrés.

Chaque petit carré vaut 1/100 du quadrillage, donc la zone commune vaut 6/100 = 0,06. Le dessin montre aussi pourquoi le produit est plus petit que les deux facteurs : on prend une partie d'une partie.

Un quadrillage de centièmes de 10 sur 10 avec 3 colonnes coloriées pour 0,3 et 2 lignes coloriées pour 0,2 ; les 6 carrés communs sont foncés, à côté de 3/10 × 2/10 = 6/100 et 0,3 × 0,2 = 0,06.

Comment multiplier des nombres décimaux, étape par étape

Multiplier des nombres décimaux utilise la multiplication posée des entiers, avec une étape de plus à la fin : compter les chiffres après la virgule et placer la virgule. Les cinq mêmes étapes marchent pour des nombres de toute taille, y compris les prix.

Estimez d'abord. Arrondissez chaque facteur à un entier que vous pouvez multiplier de tête : 2,4 × 1,5 est proche de 2 × 2 = 4.
Oubliez les virgules. Alignez les nombres à droite et multipliez-les comme des entiers : 24 × 15 = 360.
Comptez les chiffres après la virgule dans les deux facteurs. 2,4 en a un et 1,5 en a un, donc le produit en a besoin de 1 + 1 = 2.
Placez la virgule. Comptez deux rangs à partir de la droite de 360 pour obtenir 3,60, qui est égal à 3,6.
Comparez avec l'estimation. 3,6 est proche de 4, donc la virgule est à la bonne place ; 36 ou 0,36 ne passeraient pas la vérification.

Les mêmes étapes règlent 0,25 × 0,4. Le produit des entiers est 25 × 4 = 100, les facteurs ont 2 + 1 = 3 chiffres après la virgule, et 100 avec trois chiffres après la virgule donne 0,100, soit 0,1. Pour la multiplication posée elle-même, le guide pour enseigner la multiplication posée la détaille chiffre par chiffre.

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L'étape qui pose problème : les zéros à ajouter

Les zéros à ajouter sont ceux que l'on écrit devant un produit trop court pour qu'il ait assez de chiffres après la virgule. Pour 0,03 × 0,2, le produit des entiers est 3 × 2 = 6, et les facteurs ont 2 + 1 = 3 chiffres après la virgule.

Le nombre 6 n'a qu'un chiffre, donc écrivez deux zéros devant : 0,006. Sauter cette étape donne 0,6 ou 0,06, qui sont 100 fois et 10 fois trop grands.

Comment diviser des nombres décimaux, étape par étape

La division des décimaux a deux cas : diviser un décimal par un nombre entier, et diviser par un décimal. Le second cas se ramène au premier en un seul geste.

Diviser un décimal par un nombre entier. Divisez comme d'habitude et placez la virgule au quotient au moment où vous abaissez le chiffre des dixièmes du dividende. Pour 8,4 : 4, 8 : 4 = 2, on place la virgule, puis 4 : 4 = 1, donc la réponse est 2,1.

Diviser par un décimal. Multipliez le diviseur et le dividende par la même puissance de 10 jusqu'à ce que le diviseur soit entier. Pour 4,2 : 0,6, multipliez les deux par 10 pour obtenir 42 : 6 = 7 ; pour 7,5 : 0,25, multipliez les deux par 100 pour obtenir 750 : 25 = 30.

La division de 7,5 par 0,25 avec des flèches marquées × 100 sur les deux nombres, qui la transforment en 750 divisé par 25 égale 30, avec la vérification 25 × 30 = 750.

Le manuel OpenStax Prealgebra donne la règle en une ligne : « rendre le diviseur entier en déplaçant la virgule tout à fait vers la droite », puis déplacer la virgule du dividende « du même nombre de rangs vers la droite, en ajoutant des zéros si besoin ». Un entier divisé par un décimal suit la même règle : 12 : 0,4 devient 120 : 4 = 30.

Comment poser une division avec des décimaux

La division posée avec des décimaux est une division posée ordinaire où l'on place la virgule au quotient et où l'on ajoute des zéros au dividende quand il reste quelque chose. Pour 13,5 : 6, 6 va 2 fois dans 13 et il reste 1, on place la virgule, et 6 va 2 fois dans 15 et il reste 3.

Écrivez 13,5 comme 13,50 et abaissez le zéro : 6 va exactement 5 fois dans 30, donc 13,5 : 6 = 2,25. Le guide pour enseigner la division posée détaille le cycle diviser, multiplier, soustraire, abaisser sur lequel repose cette étape.

Compter les chiffres, passer par les fractions ou décaler les chiffres : exemples avec de l'argent

Les méthodes courantes donnent toutes le même résultat, mais chacune convient à un moment différent. Choisissez la méthode qui va avec les nombres que vous avez devant vous, et gardez l'estimation comme vérification pour chacune.

Méthode	Principe	Exemple	Idéale pour	Attention à
Compter les chiffres après la virgule	Multiplier comme des entiers, puis donner au produit le total des chiffres après la virgule des deux facteurs	2,4 × 1,5 → 360 → 3,60	Toute multiplication de décimaux	Les produits courts qui demandent des zéros
Passer par les fractions	Écrire chaque décimal sur 10 ou 100 et multiplier les fractions	0,3 × 0,2 = 3/10 × 2/10 = 6/100	Expliquer pourquoi la règle marche	Lent avec trois chiffres ou plus
Vérifier par une estimation	Arrondir à l'entier et calculer de tête	2,4 × 1,5 ≈ 2 × 2 = 4	Repérer une virgule mal placée	Les facteurs inférieurs à 1, où arrondir à 0 cache l'ordre de grandeur
Décaler les chiffres	Décaler chaque chiffre vers la gauche pour multiplier par 10, 100, 1 000, vers la droite pour diviser	3,45 × 100 = 345	Les conversions d'unités, les euros en centimes	Oublier des zéros : 0,7 × 100 = 70
Rendre le diviseur entier	Multiplier le diviseur et le dividende par la même puissance de 10	7,5 : 0,25 = 750 : 25	Toute division par un décimal	Ne déplacer la virgule que dans un des deux nombres

L'argent et les mesures sont les endroits où ces méthodes servent en dehors des devoirs, et chaque exemple suit les mêmes étapes.

Des cahiers : 3 cahiers à 2,35 € l'un, c'est 235 × 3 = 705 avec deux chiffres après la virgule, soit 7,05 €.
L'essence : 12,5 litres à 1,80 € le litre, c'est 125 × 180 = 22 500 avec trois chiffres après la virgule, soit 22,500, donc 22,50 €.
La marche : 3,2 km par jour pendant 5 jours, c'est 32 × 5 = 160 avec un chiffre après la virgule, soit 16 km.
Un ruban : un ruban de 22,5 cm coupé en morceaux de 1,5 cm donne 22,5 : 1,5 = 225 : 15 = 15 morceaux.
Un scooter : 261 km parcourus avec 7,25 litres, c'est 26 100 : 725 = 36 km par litre.

Une estimation dite à voix haute garde la virgule honnête : « environ 12 litres à environ 2 €, ça fait environ 24 € » rend 225 € ou 2,25 € visiblement faux. Les pourcentages utilisent la même multiplication, puisque 15 % de 40 € font 0,15 × 40 = 6 €, et le guide sur le calcul des pourcentages s'appuie sur cette étape.

Multiplier et diviser par 10, 100 et 1 000

Multiplier par 10, 100 ou 1 000 décale chaque chiffre d'un, deux ou trois rangs vers la gauche, car chaque rang vaut 10 fois le rang situé à sa droite. Donc 3,45 × 10 = 34,5, 3,45 × 100 = 345 et 3,45 × 1 000 = 3 450.

Diviser décale les chiffres vers la droite : 3,45 : 10 = 0,345 et 45 : 100 = 0,45. Le standard 5.NBT.A.2 demande d'« expliquer les régularités dans la place de la virgule quand un décimal est multiplié ou divisé par une puissance de 10 », et le programme français demande dès le cycle 3 de savoir le faire « de manière automatique ». Le guide de la numération pour les parents explique pourquoi chaque rang vaut dix fois le suivant.

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Comment vérifier les progrès en multiplication et division de décimaux

Cinq questions courtes montrent si les méthodes sont solides. Demandez d'abord l'estimation, puis le calcul.

Dixièmes fois dixièmes : 0,6 × 0,7. La réponse est 0,42, car 6 × 7 = 42 et les facteurs ont deux chiffres après la virgule.
Un zéro à ajouter : 1,2 × 0,05. La réponse est 0,06, à partir de 12 × 5 = 60 avec trois chiffres après la virgule, ce qui donne 0,060.
Une division par un décimal : 5,6 : 0,8. La réponse est 7, à partir de 56 : 8.
Une puissance de 10 : 4,5 : 100. La réponse est 0,045.
Un entier divisé par un décimal : 9 : 0,3. La réponse est 30, à partir de 90 : 3, et elle est plus grande que 9.

Un test réaliste selon la classe

En France, un élève de CM2 doit savoir multiplier un décimal par un entier et poser des « divisions décimales avec un dividende décimal et un diviseur à un chiffre » ; un élève de 6e doit savoir multiplier deux décimaux et « diviser un nombre décimal par un nombre entier non nul inférieur à 10 ». La division par un décimal arrive en 5e, où le programme de mathématiques du cycle 4 fixe l'objectif « diviser par un nombre décimal ». Aux États-Unis, le standard 6.NS.B.3 demande en grade 6 d'« additionner, soustraire, multiplier et diviser couramment des décimaux à plusieurs chiffres avec l'algorithme posé de chaque opération ».

Le programme national anglais de mathématiques place la barre au même niveau en Year 6 : « multiplier des nombres à un chiffre ayant jusqu'à 2 chiffres après la virgule par des nombres entiers » et « utiliser la division posée quand la réponse a jusqu'à 2 chiffres après la virgule ». Pour un entraînement à imprimer à ce niveau, la fiche de division pour le CM2 est fournie avec son corrigé.

Les erreurs fréquentes en multiplication et division de décimaux

Quatre erreurs causent la plupart des mauvaises réponses, et chacune a une correction en une ligne.

Aligner les virgules pour multiplier : aligner les virgules est la règle de l'addition, et descendre la virgule telle quelle dans 2,4 × 1,5 donne 36,0. Alignez les nombres à droite et comptez plutôt les chiffres après la virgule.
Oublier les zéros à ajouter : écrire 0,03 × 0,2 = 0,06 fait perdre un rang. Le produit a besoin de trois chiffres après la virgule, donc il vaut 0,006.
Ne déplacer la virgule que dans le diviseur : transformer 7,5 : 0,25 en 7,5 : 25 donne 0,3, soit 100 fois trop peu. Multipliez les deux nombres par la même puissance de 10.
Croire que multiplier agrandit toujours : 0,5 × 8 = 4, plus petit que 8, et 6 : 0,5 = 12, plus grand que 6. Multiplier par un nombre inférieur à 1 réduit le résultat, et diviser par ce nombre l'agrandit.

Cas limite : les zéros à la fin d'un produit

Les zéros à la fin d'un produit comptent quand on place la virgule, et on peut les supprimer ensuite. Dans 0,25 × 0,4, le produit 100 a besoin de trois chiffres après la virgule, ce qui donne 0,100, égal à 0,1.

Le piège est de supprimer les zéros avant de compter : prendre 100 pour 1 donne 0,001, soit 100 fois trop peu. Avec de l'argent, gardez deux chiffres après la virgule dans la réponse finale, donc 22,500 € s'écrit 22,50 €.

Votre pense-bête de la multiplication et de la division de décimaux

Estimer : arrondissez à l'entier et dites le résultat approché avant de commencer.
Multiplier : oubliez les virgules, multipliez comme des entiers, puis comptez les chiffres après la virgule des deux facteurs.
Les zéros : ajoutez des zéros devant un produit trop court ; supprimez les zéros de fin seulement après avoir placé la virgule.
Diviser : rendez le diviseur entier en multipliant les deux nombres par 10, 100 ou 1 000.
La virgule au quotient : dans une division posée, placez la virgule au quotient quand vous abaissez le chiffre des dixièmes.
Vérifier : multipliez le quotient par le diviseur, ou comparez le produit à votre estimation.

Les parents d'élèves de CM2 trouveront un entraînement adapté au niveau sur la page jeu de maths pour le CM2.

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