Mnożenie i dzielenie ułamków dziesiętnych: policz miejsca, przesuń przecinek

Zadanie domowe twojego dziecka to 2,4 × 1,5, klucz odpowiedzi podaje 3,6, a sposób, który pamiętasz, zaczyna się od ustawienia przecinków jeden pod drugim. Ten sposób należy do dodawania. Mnożenie i dzielenie ułamków dziesiętnych sprowadza się do dwóch nawyków: mnóż tak, jakby przecinków nie było, i licz miejsca, a zanim podzielisz, zamień dzielnik na liczbę naturalną.

Dlaczego przecinek się przesuwa, gdy mnożysz ułamki dziesiętne

Przecinek się przesuwa, bo ułamek dziesiętny to ułamek o mianowniku 10, 100 albo 1000, a mnożenie ułamków mnoży mianowniki. Weź 0,3 × 0,2: to 3/10 × 2/10 = 6/100, a 6/100 zapisuje się jako 0,06.

Część pracy na liczbach naturalnych to 3 × 2 = 6. Mianowniki decydują, gdzie stoi przecinek: dziesiąte razy dziesiąte dają setne, więc wynik potrzebuje dwóch miejsc po przecinku. Jeśli to, czym jest jedna dziesiąta albo jedna setna, nadal wydaje się niepewne, zacznij od poradnika o ułamkach dziesiętnych dla rodziców, który omawia czytanie, porównywanie i zamianę ułamków dziesiętnych.

W Polsce podstawa programowa matematyki umieszcza ten temat w klasach 4–6: uczeń między innymi „dodaje, odejmuje, mnoży i dzieli ułamki dziesiętne w pamięci (w przykładach najprostszych)”. Amerykański standard Common Core 5.NBT.B.7 prosi piątoklasistów o dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie ułamków dziesiętnych do części setnych z użyciem modeli, rysunków i strategii opartych na systemie dziesiątkowym. Siatka setnych to klasyczny rysunek.

Model prostokąta na siatce setnych

Model prostokąta pokazuje 0,3 × 0,2 jako część wspólną dwóch zamalowanych pasów na siatce 10 × 10. Zamaluj 3 z 10 kolumn dla 0,3 i 2 z 10 wierszy dla 0,2; pasy nakładają się na 3 × 2 = 6 małych kwadratów.

Każdy mały kwadrat to 1/100 siatki, więc część wspólna to 6/100 = 0,06. Rysunek pokazuje też, dlaczego iloczyn jest mniejszy od obu czynników: bierzesz część z części.

Mnożenie ułamków dziesiętnych krok po kroku

Mnożenie ułamków dziesiętnych używa mnożenia pisemnego liczb naturalnych z jednym dodatkowym krokiem na końcu: policz miejsca po przecinku i postaw przecinek. Te same pięć kroków działa dla liczb każdej wielkości, także dla pieniędzy.

1. Najpierw oszacuj. Zaokrąglij każdy czynnik do liczby naturalnej, którą pomnożysz w pamięci: 2,4 × 1,5 to blisko 2 × 2 = 4.
2. Pomiń przecinki. Zapisz liczby wyrównane do prawej i pomnóż jak liczby naturalne: 24 × 15 = 360.
3. Policz miejsca po przecinku w obu czynnikach. 2,4 ma jedno miejsce po przecinku i 1,5 ma jedno, więc iloczyn potrzebuje 1 + 1 = 2.
4. Postaw przecinek. Odlicz dwa miejsca od prawej w 360, żeby dostać 3,60, czyli 3,6.
5. Porównaj z oszacowaniem. 3,6 jest blisko 4, więc przecinek stoi dobrze; 36 albo 0,36 nie przeszłyby tej próby.

Te same kroki obsługują 0,25 × 0,4. Iloczyn liczb naturalnych to 25 × 4 = 100, czynniki mają 2 + 1 = 3 miejsca po przecinku, a 100 z trzema miejscami po przecinku to 0,100, czyli 0,1. Samo mnożenie pisemne liczb naturalnych rozkłada cyfra po cyfrze poradnik jak uczyć mnożenia pisemnego.

Darmowa karta pracy do drukuMnożenie — uczniów 5. klasyKarta pracy · PDF

Miejsce, w którym ludzie się mylą: zera na początku

Zera na początku to zera, które dopisujesz przed krótkim iloczynem, żeby miał dość miejsc po przecinku. Dla 0,03 × 0,2 iloczyn liczb naturalnych to 3 × 2 = 6, a czynniki mają 2 + 1 = 3 miejsca po przecinku.

Liczba 6 ma tylko jedną cyfrę, więc dopisz przed nią dwa zera: 0,006. Pominięcie tego kroku daje 0,6 albo 0,06, czyli 100 i 10 razy za dużo.

Dzielenie ułamków dziesiętnych krok po kroku

Dzielenie ułamków dziesiętnych ma dwa przypadki: dzielenie ułamka dziesiętnego przez liczbę naturalną i dzielenie przez ułamek dziesiętny. Drugi przypadek zamienia się w pierwszy po jednym ruchu.

Dzielenie ułamka dziesiętnego przez liczbę naturalną. Dziel jak zwykle i postaw przecinek w wyniku dokładnie nad przecinkiem w dzielnej. Dla 8,4 : 4 mamy 8 : 4 = 2, przecinek idzie w górę, a 4 : 4 = 1, więc wynik to 2,1.

Dzielenie przez ułamek dziesiętny. Pomnóż dzielnik i dzielną przez tę samą potęgę 10, aż dzielnik będzie liczbą naturalną. Dla 4,2 : 0,6 pomnóż obie liczby przez 10, żeby dostać 42 : 6 = 7; dla 7,5 : 0,25 pomnóż obie przez 100, żeby dostać 750 : 25 = 30.

Podręcznik OpenStax Prealgebra podaje tę zasadę w jednej linijce: zamień dzielnik na liczbę naturalną, przesuwając przecinek do końca w prawo, a potem przesuń przecinek w dzielnej o tyle samo miejsc w prawo, dopisując zera, jeśli trzeba. Liczba naturalna dzielona przez ułamek dziesiętny też jej podlega: 12 : 0,4 staje się 120 : 4 = 30.

Jak dzielić pisemnie ułamki dziesiętne

Dzielenie pisemne ułamków dziesiętnych to zwykłe dzielenie pisemne, w którym przecinek przenosi się w górę, a gdy zostaje reszta, dopisuje się zera do dzielnej. Dla 13,5 : 6 szóstka mieści się w 13 dwa razy i zostaje 1, przecinek idzie w górę, a 6 mieści się w 15 dwa razy i zostaje 3.

Zapisz 13,5 jako 13,50 i sprowadź zero: 6 mieści się w 30 dokładnie 5 razy, więc 13,5 : 6 = 2,25. Poradnik o nauce dzielenia pisemnego omawia cykl podziel, pomnóż, odejmij, sprowadź, na którym opiera się ten krok.

Liczenie miejsc, ułamki zwykłe czy potęgi 10, z przykładami z pieniędzmi

Popularne sposoby na ułamki dziesiętne dają ten sam wynik, ale każdy pasuje do innej chwili. Wybierz sposób, który pasuje do liczb przed tobą, a szacowanie zostaw jako sprawdzenie przy każdym z nich.

Pieniądze i pomiary to miejsca, gdzie te sposoby pojawiają się poza zadaniami domowymi, a każdy przykład używa tych samych kroków.

• Zeszyty: 3 zeszyty po 2,35 zł to 235 × 3 = 705 z dwoma miejscami po przecinku, czyli 7,05 zł.
• Paliwo: 12,5 litra po 6,40 zł to 125 × 640 = 80 000 z trzema miejscami po przecinku, czyli 80,000, co daje 80,00 zł.
• Spacer: 3,2 km dziennie przez 5 dni to 32 × 5 = 160 z jednym miejscem po przecinku, czyli 16 km.
• Wstążka: wstążka o długości 22,5 cm pocięta na kawałki po 1,5 cm to 22,5 : 1,5 = 225 : 15 = 15 kawałków.
• Cena za kilogram: 4,5 kg jabłek za 13,50 zł to 13,50 : 4,5 = 135 : 45 = 3 zł za kilogram.

Szacowanie na głos pilnuje przecinka: „około 12 litrów po około 6 zł to około 72 zł” od razu pokazuje, że 800 zł albo 8 zł to błąd. Zadania z procentami używają tego samego mnożenia, bo 15% z 40 zł to 0,15 × 40 = 6 zł, a poradnik jak obliczać procenty buduje na tym kroku.

Mnożenie i dzielenie przez 10, 100 i 1000

Mnożenie przez 10, 100 albo 1000 przesuwa każdą cyfrę o jedno, dwa albo trzy miejsca w lewo, bo każde miejsce jest warte 10 razy więcej niż miejsce po jego prawej. Więc 3,45 × 10 = 34,5, 3,45 × 100 = 345, a 3,45 × 1000 = 3450.

Dzielenie przesuwa cyfry w prawo: 3,45 : 10 = 0,345, a 45 : 100 = 0,45. Standard 5.NBT.A.2 prosi dzieci o wyjaśnienie, jak zmienia się położenie przecinka, gdy ułamek dziesiętny mnoży się lub dzieli przez potęgę 10, a poradnik o systemie dziesiątkowym dla rodziców wyjaśnia, dlaczego każde miejsce jest warte dziesięć razy więcej od następnego.

Zagraj za darmo w przeglądarceWartość miejscaKlasa 1–2

Jak sprawdzić postępy w mnożeniu i dzieleniu ułamków dziesiętnych

Pięć krótkich pytań pokazuje, czy procedury siedzą pewnie. Proś najpierw o oszacowanie, a potem o obliczenia.

• Dziesiąte razy dziesiąte: 0,6 × 0,7. Wynik to 0,42, bo 6 × 7 = 42, a czynniki mają dwa miejsca po przecinku.
• Zero na początku: 1,2 × 0,05. Wynik to 0,06, z 12 × 5 = 60 z trzema miejscami, co daje 0,060.
• Dzielenie przez ułamek dziesiętny: 5,6 : 0,8. Wynik to 7, z 56 : 8.
• Potęga 10: 4,5 : 100. Wynik to 0,045.
• Liczba naturalna przez ułamek dziesiętny: 9 : 0,3. Wynik to 30, z 90 : 3, i jest większy od 9.

Rozsądny test według klasy

W USA piątoklasista powinien radzić sobie z ułamkami dziesiętnymi do części setnych, a szóstoklasista z dłuższymi ułamkami dziesiętnymi metodą pisemną. Standard 6.NS.B.3 prosi szóstoklasistów o płynne dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie wielocyfrowych ułamków dziesiętnych standardowymi metodami pisemnymi.

Program nauczania matematyki w Anglii stawia podobną poprzeczkę w Year 6: mnożenie liczb jednocyfrowych z co najwyżej 2 miejscami po przecinku przez liczby naturalne i dzielenie pisemne, gdy wynik ma do 2 miejsc po przecinku. Do ćwiczeń na tym poziomie służy karta pracy z dzielenia dla 5 klasy z kluczem odpowiedzi.

Najczęstsze błędy przy mnożeniu i dzieleniu ułamków dziesiętnych

Cztery błędy odpowiadają za większość złych wyników, a każdy ma jednozdaniowe lekarstwo.

• Ustawianie przecinków jeden pod drugim przy mnożeniu: Przecinek pod przecinkiem to zasada dodawania, a sprowadzenie przecinka prosto w dół w 2,4 × 1,5 daje 36,0. Wyrównaj liczby do prawej i licz miejsca po przecinku.
• Zapominanie o zerach na początku: 0,03 × 0,2 zapisane jako 0,06 gubi jedno miejsce. Iloczyn potrzebuje trzech miejsc po przecinku, więc to 0,006.
• Przesuwanie przecinka tylko w dzielniku: Zamiana 7,5 : 0,25 na 7,5 : 25 daje 0,3, czyli 100 razy za mało. Pomnóż obie liczby przez tę samą potęgę 10.
• Oczekiwanie, że mnożenie zawsze zwiększa: 0,5 × 8 = 4, czyli mniej niż 8, a 6 : 0,5 = 12, czyli więcej niż 6. Mnożenie przez liczbę mniejszą od 1 zmniejsza wynik, a dzielenie przez nią go zwiększa.

Przypadek szczególny: zera na końcu iloczynu

Zera na końcu iloczynu liczą się, gdy stawiasz przecinek, a potem można je pominąć. W 0,25 × 0,4 iloczyn 100 potrzebuje trzech miejsc po przecinku, co daje 0,100, a to równa się 0,1.

Pułapką jest pominięcie zer przed liczeniem: potraktuj 100 jak 1, a dostaniesz 0,001, czyli 100 razy za mało. Przy pieniądzach zostaw w wyniku dwa miejsca po przecinku, więc 80,000 zł zapisuje się jako 80,00 zł.

Twoja lista kontrolna mnożenia i dzielenia ułamków dziesiętnych

• Oszacuj: zaokrąglij do liczb naturalnych i powiedz przybliżony wynik, zanim zaczniesz.
• Mnóż: pomiń przecinki, pomnóż jak liczby naturalne, potem policz miejsca po przecinku w obu czynnikach.
• Zera: dopisz zera przed krótkim iloczynem; zera na końcu pomijaj dopiero po postawieniu przecinka.
• Dziel: zamień dzielnik na liczbę naturalną, mnożąc obie liczby przez 10, 100 albo 1000.
• Przecinek w górę: w dzieleniu pisemnym przecinek w wyniku stoi dokładnie nad przecinkiem w dzielnej.
• Sprawdź: pomnóż iloraz przez dzielnik albo porównaj iloczyn z oszacowaniem.

Rodzice piątoklasistów znajdą ćwiczenia dla swojej klasy na stronie gra matematyczna dla 5 klasy.

MathIt to darmowa aplikacja na iOS i Android z około 90 rodzajami gier, adaptacyjnym poziomem trudności i krótkimi codziennymi ćwiczeniami, w 33 językach. Dwadzieścia dwie gry działają za darmo w przeglądarce, bez rejestracji, a 30 kart pracy do wydruku dla klas 1–6 ma klucz odpowiedzi.