Ondalık sayılarda çarpma ve bölme: basamakları say, virgülü kaydır

Çocuğunuzun 6. sınıf ödevinde 2,4 × 1,5 yazıyor, cevap anahtarı 3,6 diyor, hatırladığınız yöntem ise virgülleri alt alta hizalamakla başlıyor. O yöntem toplamaya aittir. Ondalık sayılarda çarpmayı ve bölmeyi öğrenmek iki alışkanlığa iner: virgül yokmuş gibi çarpın ve basamakları sayın; bölmeden önce de böleni doğal sayı yapın.

Ondalık sayılarda çarpma yaparken virgül neden kayar?

Virgül kayar, çünkü ondalık sayı paydası 10, 100 ya da 1.000 olan bir kesirdir ve kesirlerde çarpma paydaları da çarpar. 0,3 × 0,2'yi alın: bu 3/10 × 2/10 = 6/100'dür ve 6/100, 0,06 diye yazılır.

İşin doğal sayı kısmı 3 × 2 = 6'dır. Virgülün nereye gideceğine paydalar karar verir: onda bir çarpı onda bir yüzde bir verir, dolayısıyla cevap iki ondalık basamak ister. Onda birin ya da yüzde birin ne olduğu hâlâ sallantıdaysa ondalık sayıları okumayı, karşılaştırmayı ve çevirmeyi anlatan veliler için ondalık gösterim rehberiyle başlayın.

Türkiye'de ondalık sayılarla toplama ve çıkarma 5. sınıfta, çarpma ve bölme 6. sınıftadır. MEB'in 2018 Matematik Dersi Öğretim Programı M.6.1.6.4 ve M.6.1.6.5 kazanımlarında ondalık gösterimleri verilen sayılarla çarpma ve bölme yapmayı ister ve bir doğal sayı 1'den küçük bir ondalık sayıyla çarpıldığında sonucun o sayıdan küçük olduğunun fark edilmesini vurgular. ABD'de Common Core 5.NBT.B.7 standardı beşinci sınıflardan, somut modeller ya da çizimler ve basamak değerine dayanan stratejiler kullanarak yüzde birlere kadar ondalık sayılarla dört işlem yapmalarını ister. Yüzlük kareli tablo bunun klasik çizimidir.

Yüzlük tabloda alan modeli

Alan modeli 0,3 × 0,2'yi 10 × 10'luk bir tablo üzerinde boyanmış iki şeridin kesişimi olarak gösterir. 0,3 için 10 sütunun 3'ünü, 0,2 için 10 satırın 2'sini boyayın; şeritler 3 × 2 = 6 küçük karede kesişir.

Her küçük kare tablonun 1/100'üdür, dolayısıyla kesişim 6/100 = 0,06'dır. Resim, çarpımın neden iki çarpandan da küçük olduğunu da gösterir: bir parçanın bir parçasını alıyorsunuz.

Ondalık sayılarda çarpma adım adım

Ondalık sayılarda çarpma, doğal sayılardaki çarpma algoritmasını kullanır ve sonuna tek bir adım ekler: ondalık basamakları sayıp virgülü koymak. Aynı beş adım para dahil her büyüklükteki sayı için işler.

1. Önce tahmin edin. Her çarpanı zihinden çarpabileceğiniz bir doğal sayıya yuvarlayın: 2,4 × 1,5, 2 × 2 = 4'e yakındır.
2. Virgülleri yok sayın. Sayıları sağdan hizalayıp doğal sayı gibi çarpın: 24 × 15 = 360.
3. İki çarpandaki ondalık basamakları sayın. 2,4'ün bir, 1,5'in bir ondalık basamağı vardır, dolayısıyla çarpım 1 + 1 = 2 basamak ister.
4. Virgülü koyun. 360'ın sağından iki basamak sayarak 3,60 bulun; bu da 3,6'ya eşittir.
5. Tahminle karşılaştırın. 3,6, 4'e yakındır, dolayısıyla virgül doğru yerdedir; 36 ya da 0,36 bu kontrolden geçemezdi.

Aynı adımlar 0,25 × 0,4'ü de çözer. Doğal sayı çarpımı 25 × 4 = 100'dür, çarpanların 2 + 1 = 3 ondalık basamağı vardır ve üç ondalık basamaklı 100, 0,100'dür; bu da 0,1'dir. Doğal sayı algoritmasının kendisi için uzun çarpma nasıl öğretilir rehberi işlemi basamak basamak anlatır.

Ücretsiz çalışma kâğıdıÇarpma — 5. Sınıf ÖğrencileriÇalışma Kağıdı · PDF

En çok yanlış yapılan kısım: yer tutucu sıfırlar

Yer tutucu sıfırlar, kısa bir çarpımın yeterli ondalık basamağa sahip olabilmesi için önüne yazdığınız sıfırlardır. 0,03 × 0,2 için doğal sayı çarpımı 3 × 2 = 6'dır ve çarpanların 2 + 1 = 3 ondalık basamağı vardır.

6 sayısının yalnızca bir rakamı vardır, dolayısıyla önüne iki sıfır yazın: 0,006. Bu adımı atlamak 0,6 ya da 0,06 verir; bunlar 100 ve 10 kat fazladır.

Ondalık sayılarda bölme adım adım

Ondalık sayılarda bölmenin iki durumu vardır: bir ondalık sayıyı bir doğal sayıya bölmek ve bir ondalık sayıya bölmek. İkinci durum tek bir hamleyle birinciye dönüşür.

Ondalık bir sayıyı bir doğal sayıya bölün. Her zamanki gibi bölün ve bölümdeki virgülü bölünendeki virgülün tam hizasına koyun. 8,4 ÷ 4 için 8 ÷ 4 = 2, virgül yukarı geçer ve 4 ÷ 4 = 1, dolayısıyla cevap 2,1'dir.

Ondalık bir sayıya bölün. Bölen doğal sayı olana kadar bölen ile bölüneni 10'un aynı kuvvetiyle çarpın. 4,2 ÷ 0,6 için ikisini de 10 ile çarparak 42 ÷ 6 = 7; 7,5 ÷ 0,25 için ikisini de 100 ile çarparak 750 ÷ 25 = 30 bulun.

OpenStax Prealgebra ders kitabı kuralı tek satırda verir: virgülü en sağa kaydırarak böleni doğal sayı yapın, sonra bölünendeki virgülü de gerekirse sıfır yazarak aynı sayıda basamak sağa kaydırın. Bir doğal sayının bir ondalık sayıya bölünmesi de bu kuralı izler: 12 ÷ 0,4, 120 ÷ 4 = 30 olur. MEB programı da 6. sınıfta tam bölünemeyen doğal sayılarla bölmede virgül kullanımı üzerinde durur (M.6.1.6.1).

Ondalık sayılarla uzun bölme nasıl yapılır?

Ondalık sayılarla uzun bölme, virgülün yukarı taşındığı ve kalan olduğunda bölünene sıfır eklenen sıradan bir uzun bölmedir. 13,5 ÷ 6 için 6, 13'ün içinde 2 kez vardır ve 1 kalır, virgül yukarı geçer, 6 da 15'in içinde 2 kez vardır ve 3 kalır.

13,5'i 13,50 diye yazın ve sıfırı aşağı indirin: 6, 30'un içinde tam 5 kez vardır, dolayısıyla 13,5 ÷ 6 = 2,25'tir. Uzun bölme nasıl öğretilir rehberi bu adımın dayandığı böl, çarp, çıkar, aşağı indir döngüsünü anlatır.

Basamak sayma, kesirler ve 10'un kuvvetleri: para örnekleriyle

Ondalık sayılarla kullanılan yaygın yöntemlerin hepsi aynı cevabı verir, ama her biri farklı bir ana uyar. Önünüzdeki sayılara uyan yöntemi seçin ve her birinde tahmini kontrol olarak tutun.

Bu yöntemlerin ödev dışında karşımıza çıktığı yer para ve ölçülerdir; her örnek aynı adımları kullanır.

• Defterler: Tanesi 23,50 TL olan 3 defter, 2350 × 3 = 7050 eder ve iki ondalık basamakla 70,50 TL olur.
• Benzin: Litresi 43,40 TL'den 12,5 litre, 125 × 4340 = 542.500 eder; üç ondalık basamakla 542,500, yani 542,50 TL olur.
• Yürüyüş: 5 gün boyunca günde 3,2 km, 32 × 5 = 160 eder ve bir ondalık basamakla 16 km olur.
• Kurdele: 22,5 cm'lik bir kurdeleyi 1,5 cm'lik parçalara kesmek 22,5 ÷ 1,5 = 225 ÷ 15 = 15 parça verir.
• Yakıt tüketimi: 7,25 litre benzinle 261 km giden bir motosiklet için 26.100 ÷ 725 = litre başına 36 km olur.

Sesli yapılan bir tahmin virgülü dürüst tutar: "yaklaşık 12 litre, litresi yaklaşık 45 TL, yani yaklaşık 540 TL" demek, 5.425 TL'yi ya da 54,25 TL'yi açıkça yanlış gösterir. Yüzde problemleri de aynı çarpmayı kullanır, çünkü 40 TL'nin %15'i 0,15 × 40 = 6 TL'dir; yüzde nasıl hesaplanır rehberi bu adımın üzerine kurulur.

10, 100 ve 1.000 ile çarpma ve bölme

10, 100 ya da 1.000 ile çarpmak her rakamı bir, iki ya da üç basamak sola kaydırır, çünkü her basamak sağındaki basamağın 10 katı değerindedir. Dolayısıyla 3,45 × 10 = 34,5, 3,45 × 100 = 345 ve 3,45 × 1.000 = 3.450'dir.

Bölmek rakamları sağa kaydırır: 3,45 ÷ 10 = 0,345 ve 45 ÷ 100 = 0,45. MEB programı 6. sınıfta ondalık sayıları 10, 100 ve 1000 ile kısa yoldan çarpmayı ve bölmeyi ister (M.6.1.6.6); Common Core'un 5.NBT.A.2 standardı da çocuklardan ondalık bir sayı 10'un bir kuvvetiyle çarpıldığında ya da bölündüğünde virgülün yerindeki örüntüleri açıklamalarını ister. Veliler için basamak değeri rehberi her basamağın neden bir sonrakinin on katı olduğunu anlatır.

Tarayıcıda ücretsiz oynayınBasamak Değeri1–2. sınıf

Ondalık sayılarda çarpma ve bölmede ilerlemeyi nasıl kontrol edersiniz?

Beş kısa soru, yöntemlerin sağlam oturup oturmadığını gösterir. Önce tahmini, sonra işlemi isteyin.

• Onda bir çarpı onda bir: 0,6 × 0,7. Cevap 0,42'dir, çünkü 6 × 7 = 42 ve çarpanların iki ondalık basamağı vardır.
• Bir yer tutucu sıfır: 1,2 × 0,05. Cevap 0,06'dır; 12 × 5 = 60, üç basamakla 0,060 verir.
• Ondalık bir sayıya bölme: 5,6 ÷ 0,8. Cevap 56 ÷ 8'den gelen 7'dir.
• 10'un bir kuvveti: 4,5 ÷ 100. Cevap 0,045'tir.
• Doğal sayının ondalık sayıya bölümü: 9 ÷ 0,3. Cevap 90 ÷ 3'ten gelen 30'dur ve 9'dan büyüktür.

Sınıfa göre uygulanabilir bir test

Türkiye'de 5. sınıftaki bir çocuk ondalık sayılarla toplama ve çıkarmayı, 6. sınıftaki bir çocuk ise ondalık sayılarla çarpma ve bölmeyi yapabilmelidir. ABD'de Common Core 6.NS.B.3 standardı da altıncı sınıflardan çok basamaklı ondalık sayılarla her işlemin standart algoritmasını kullanarak akıcı biçimde toplama, çıkarma, çarpma ve bölme yapmalarını ister.

İngiltere'nin ulusal matematik öğretim programı 6. yılda benzer bir çıta koyar: en çok 2 ondalık basamaklı tek rakamlı sayıları doğal sayılarla çarpmak ve cevabın en çok 2 ondalık basamaklı olduğu durumlarda yazılı bölme yöntemlerini kullanmak. Bu düzeyde yazdırılabilir alıştırma için 5. sınıflar için bölme çalışma sayfası cevap anahtarıyla gelir.

Ondalık sayılarda çarpma ve bölmede sık yapılan hatalar

Yanlış cevapların çoğunu dört hata doğurur ve her birinin tek satırlık bir düzeltmesi vardır.

• Çarparken virgülleri hizalamak: Virgülleri alt alta hizalamak toplamanın kuralıdır; 2,4 × 1,5'te virgülü doğrudan aşağı indirmek 36,0 verir. Sayıları sağdan hizalayın ve onun yerine ondalık basamakları sayın.
• Yer tutucu sıfırları unutmak: 0,03 × 0,2'yi 0,06 diye yazmak bir basamak düşürür. Çarpım üç ondalık basamak ister, dolayısıyla 0,006'dır.
• Virgülü yalnızca bölende kaydırmak: 7,5 ÷ 0,25'i 7,5 ÷ 25'e çevirmek 0,3 verir; bu da 100 kat küçüktür. İki sayıyı da 10'un aynı kuvvetiyle çarpın.
• Çarpmanın sayıları hep büyüteceğini sanmak: 0,5 × 8 = 4, yani 8'den küçüktür; 6 ÷ 0,5 = 12, yani 6'dan büyüktür. 1'den küçük bir sayıyla çarpmak sonucu küçültür, ona bölmek ise büyütür.

Sınır durum: çarpımın sonundaki sıfırlar

Çarpımın sonundaki sıfırlar virgülü koyarken sayılır, sonra atılabilir. 0,25 × 0,4'te 100 çarpımı üç ondalık basamak ister ve 0,100 verir; bu da 0,1'e eşittir.

Tuzak, saymadan önce sıfırları atmaktır: 100'ü 1 diye alırsanız 0,001 bulursunuz; bu da 100 kat küçüktür. Parada son cevapta iki ondalık basamak bırakın; 542,500 TL, 542,50 TL diye yazılır.

Ondalık sayılarda çarpma ve bölme kontrol listeniz

• Tahmin: başlamadan önce doğal sayılara yuvarlayın ve yaklaşık cevabı söyleyin.
• Çarpma: virgülleri yok sayın, doğal sayı gibi çarpın, sonra iki çarpandaki ondalık basamakları sayın.
• Sıfırlar: kısa bir çarpımın önüne yer tutucu sıfırlar yazın; sondaki sıfırları ancak virgül yerine konduktan sonra atın.
• Bölme: iki sayıyı da 10, 100 ya da 1.000 ile çarparak böleni doğal sayı yapın.
• Virgül yukarı: uzun bölmede bölümdeki virgül, bölünendeki virgülün tam hizasına gelir.
• Kontrol: bölümü bölenle çarpın ya da çarpımı tahmininizle karşılaştırın.

1. ve 6. sınıf öğrencilerinin velileri sınıf düzeyindeki alıştırmaları 5. sınıflar için matematik oyunu sayfasında bulur.

MathIt, yaklaşık 90 oyun türü, uyarlanabilir zorluk ve kısa bir günlük alıştırma sunan, 33 dilde ücretsiz bir iOS ve Android uygulamasıdır. Oyunlarından 22'si tarayıcıda üyeliksiz ve ücretsiz oynanır, 1–6. sınıflar için 30 yazdırılabilir çalışma sayfası da cevap anahtarıyla gelir.