Como multiplicar e dividir números decimais: conte as casas, ande com a vírgula

A lição do 6º ano do seu filho traz 2,4 × 1,5, o gabarito diz 3,6, e o método que você lembra começa alinhando as vírgulas. Esse método é da adição. Aprender a multiplicar e a dividir números decimais se resume a dois hábitos: multiplicar como se as vírgulas não existissem e contar as casas, e, antes de dividir, deixar o divisor inteiro.

Por que a vírgula anda quando você multiplica decimais

A vírgula anda porque um decimal é uma fração com denominador 10, 100 ou 1.000, e multiplicar frações multiplica os denominadores. Pegue 0,3 × 0,2: isso é 3/10 × 2/10 = 6/100, e 6/100 se escreve 0,06.

A parte da conta com números inteiros é 3 × 2 = 6. Os denominadores decidem onde fica a vírgula: décimos vezes décimos dá centésimos, então a resposta precisa de duas casas decimais. Se o que é um décimo ou um centésimo ainda parece instável, comece pelo guia de números decimais para pais, que explica como ler, comparar e converter decimais.

No Brasil, a BNCC começa no 5º ano com problemas "de multiplicação e divisão com números naturais e com números racionais cuja representação decimal é finita", ainda "com multiplicador natural e divisor natural e diferente de zero" (EF05MA08). No 6º ano vêm as quatro operações com decimais, "utilizando estimativas e arredondamentos para verificar a razoabilidade de respostas" (EF06MA11). O padrão 5.NBT.B.7 do Common Core pede no 5º ano americano somar, subtrair, multiplicar e dividir decimais até os centésimos, com materiais concretos ou desenhos e estratégias baseadas no valor posicional. A malha de centésimos é o desenho clássico.

O modelo de área na malha de centésimos

O modelo de área mostra 0,3 × 0,2 como a sobreposição de duas faixas pintadas numa malha de 10 × 10. Pinte 3 das 10 colunas para 0,3 e 2 das 10 linhas para 0,2; as faixas se sobrepõem em 3 × 2 = 6 quadradinhos.

Cada quadradinho é 1/100 da malha, então a sobreposição é 6/100 = 0,06. A imagem também mostra por que o produto é menor que os dois fatores: você está pegando uma parte de uma parte.

Como multiplicar decimais, passo a passo

A multiplicação de decimais usa o algoritmo dos números inteiros com um passo a mais no fim: contar as casas decimais e pôr a vírgula. Os mesmos cinco passos servem para números de qualquer tamanho, inclusive dinheiro.

1. Estime primeiro. Arredonde cada fator para um número inteiro que dê para multiplicar de cabeça: 2,4 × 1,5 fica perto de 2 × 2 = 4.
2. Ignore as vírgulas. Escreva os números alinhados pela direita e multiplique como inteiros: 24 × 15 = 360.
3. Conte as casas decimais dos dois fatores. 2,4 tem uma casa decimal e 1,5 tem uma, então o produto precisa de 1 + 1 = 2.
4. Ponha a vírgula. Conte duas casas a partir da direita de 360 para obter 3,60, que é igual a 3,6.
5. Compare com a estimativa. 3,6 fica perto de 4, então a vírgula está no lugar certo; 36 ou 0,36 não passariam no teste.

Os mesmos passos resolvem 0,25 × 0,4. O produto dos inteiros é 25 × 4 = 100, os fatores têm 2 + 1 = 3 casas decimais, e 100 com três casas decimais é 0,100, que é 0,1. Para o algoritmo dos inteiros em si, o guia de multiplicação com dois algarismos mostra a conta algarismo por algarismo.

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A parte em que todo mundo erra: os zeros à esquerda

Os zeros à esquerda são os zeros que você escreve na frente de um produto curto para que ele tenha casas decimais suficientes. Em 0,03 × 0,2, o produto dos inteiros é 3 × 2 = 6, e os fatores têm 2 + 1 = 3 casas decimais.

O número 6 tem um algarismo só, então escreva dois zeros na frente dele: 0,006. Pular esse passo dá 0,6 ou 0,06, que são 100 e 10 vezes maiores do que deveriam.

Como dividir decimais, passo a passo

A divisão de decimais tem dois casos: dividir um decimal por um número inteiro e dividir por um decimal. O segundo caso vira o primeiro depois de um movimento.

Divida um decimal por um número inteiro. Divida como sempre e ponha a vírgula do quociente logo acima da vírgula do dividendo. Em 8,4 ÷ 4, 8 ÷ 4 = 2, a vírgula sobe, e 4 ÷ 4 = 1, então a resposta é 2,1.

Divida por um decimal. Multiplique o divisor e o dividendo pela mesma potência de 10 até o divisor ficar inteiro. Em 4,2 ÷ 0,6, multiplique os dois por 10 para obter 42 ÷ 6 = 7; em 7,5 ÷ 0,25, multiplique os dois por 100 para obter 750 ÷ 25 = 30.

O livro OpenStax Prealgebra diz a regra numa linha: deixe o divisor inteiro andando com a vírgula até o fim, para a direita, e depois ande com a vírgula do dividendo o mesmo número de casas para a direita, escrevendo zeros quando for preciso. Um número inteiro dividido por um decimal segue a mesma regra: 12 ÷ 0,4 vira 120 ÷ 4 = 30.

Como fazer a divisão com decimais pelo método da chave

A divisão com decimais pelo método da chave é a divisão comum, com a vírgula levada para cima e zeros acrescentados ao dividendo quando sobra resto. Em 13,5 ÷ 6, o 6 cabe 2 vezes em 13 e sobra 1, a vírgula sobe, e o 6 cabe 2 vezes em 15 e sobram 3.

Escreva 13,5 como 13,50 e abaixe o zero: o 6 cabe exatamente 5 vezes em 30, então 13,5 ÷ 6 = 2,25. O guia de divisão pelo método da chave cobre o ciclo dividir, multiplicar, subtrair e abaixar em que esse passo se apoia.

Contar as casas, frações ou potências de 10, com exemplos de dinheiro

Os métodos comuns com decimais dão todos a mesma resposta, mas cada um serve para um momento. Escolha o método que combina com os números à sua frente, e mantenha a estimativa como prova em todos.

Dinheiro e medidas são onde esses métodos aparecem fora da lição de casa, e cada exemplo usa os mesmos passos.

• Cadernos: 3 cadernos a R$ 12,35 cada dão 1.235 × 3 = 3.705 com duas casas decimais, então R$ 37,05.
• Combustível: 40,5 litros a R$ 6,20 o litro dão 405 × 620 = 251.100 com três casas decimais, então 251,100, que é R$ 251,10.
• Caminhada: 3,2 km por dia durante 5 dias dão 32 × 5 = 160 com uma casa decimal, então 16 km.
• Fita: uma fita de 22,5 cm cortada em pedaços de 1,5 cm dá 22,5 ÷ 1,5 = 225 ÷ 15 = 15 pedaços.
• Consumo: uma moto que roda 261 km com 7,25 litros faz 26.100 ÷ 725 = 36 km por litro.

Uma estimativa falada mantém a vírgula honesta: "uns 40 litros a uns R$ 6 dão uns R$ 240" deixa R$ 2.511 ou R$ 25,11 claramente errados. Os problemas de porcentagem usam a mesma multiplicação, já que 15% de R$ 40 é 0,15 × 40 = 6, e o guia de como calcular porcentagem parte desse passo.

Multiplicar e dividir por 10, 100 e 1.000

Multiplicar por 10, 100 ou 1.000 desloca cada algarismo uma, duas ou três casas para a esquerda, porque cada casa vale 10 vezes a casa à sua direita. Então 3,45 × 10 = 34,5, 3,45 × 100 = 345 e 3,45 × 1.000 = 3.450.

Dividir desloca os algarismos para a direita: 3,45 ÷ 10 = 0,345 e 45 ÷ 100 = 0,45. O padrão 5.NBT.A.2 pede que a criança explique os padrões na posição da vírgula quando um decimal é multiplicado ou dividido por uma potência de 10, e o guia de valor posicional para pais explica por que cada casa vale dez vezes a seguinte.

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Como acompanhar o progresso na multiplicação e na divisão de decimais

Cinco perguntas curtas mostram se os procedimentos estão firmes. Peça primeiro a estimativa e depois a conta.

• Décimos vezes décimos: 0,6 × 0,7. A resposta é 0,42, porque 6 × 7 = 42 e os fatores têm duas casas decimais.
• Um zero à esquerda: 1,2 × 0,05. A resposta é 0,06, de 12 × 5 = 60 com três casas, o que dá 0,060.
• Divisão por decimal: 5,6 ÷ 0,8. A resposta é 7, de 56 ÷ 8.
• Uma potência de 10: 4,5 ÷ 100. A resposta é 0,045.
• Um inteiro dividido por um decimal: 9 ÷ 0,3. A resposta é 30, de 90 ÷ 3, e é maior que 9.

Um teste possível por ano escolar

Pela BNCC, uma criança do 5º ano deve multiplicar e dividir decimais por números naturais, e uma criança do 6º ano deve fazer as quatro operações com decimais, inclusive divisão por decimal. O padrão 6.NS.B.3 pede no 6º ano americano somar, subtrair, multiplicar e dividir com fluência decimais de vários algarismos, usando o algoritmo padrão de cada operação.

O currículo nacional de matemática da Inglaterra põe uma barra parecida no Year 6: multiplicar números de um algarismo com até 2 casas decimais por números inteiros, e usar métodos escritos de divisão quando a resposta tem até 2 casas decimais. Para treino para imprimir nesse nível, a folha de divisão para o 5º ano vem com gabarito.

Erros comuns na multiplicação e na divisão de decimais

Quatro erros causam a maioria das respostas erradas, e cada um tem um conserto de uma linha.

• Alinhar as vírgulas para multiplicar: Alinhar as vírgulas é a regra da adição, e descer a vírgula direto em 2,4 × 1,5 dá 36,0. Alinhe os números pela direita e conte as casas decimais.
• Esquecer os zeros à esquerda: 0,03 × 0,2 escrito como 0,06 perde uma casa. O produto precisa de três casas decimais, então é 0,006.
• Andar com a vírgula só no divisor: Transformar 7,5 ÷ 0,25 em 7,5 ÷ 25 dá 0,3, que é 100 vezes menor do que deveria. Multiplique os dois números pela mesma potência de 10.
• Achar que multiplicar sempre aumenta: 0,5 × 8 = 4, que é menor que 8, e 6 ÷ 0,5 = 12, que é maior que 6. Multiplicar por um número menor que 1 encolhe o resultado, e dividir por ele aumenta.

Caso especial: zeros no fim do produto

Os zeros no fim do produto contam na hora de pôr a vírgula e podem ser tirados depois. Em 0,25 × 0,4, o produto 100 precisa de três casas decimais, o que dá 0,100, e isso é igual a 0,1.

A armadilha é tirar os zeros antes de contar: tratar 100 como 1 dá 0,001, que é 100 vezes menor do que deveria. Com dinheiro, mantenha duas casas decimais na resposta final, então R$ 251,100 se escreve R$ 251,10.

Sua lista de conferência da multiplicação e da divisão de decimais

• Estime: arredonde para inteiros e diga a resposta aproximada antes de começar.
• Multiplique: ignore as vírgulas, multiplique como inteiros e conte as casas decimais dos dois fatores.
• Zeros: escreva zeros à esquerda num produto curto; tire os zeros do fim só depois de pôr a vírgula.
• Divida: deixe o divisor inteiro multiplicando os dois números por 10, 100 ou 1.000.
• Vírgula para cima: no método da chave, a vírgula do quociente fica logo acima da vírgula do dividendo.
• Confira: multiplique o quociente pelo divisor, ou compare o produto com a sua estimativa.

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