Vermenigvuldigen en delen met kommagetallen: tel de cijfers, verschuif de komma

Op het huiswerk van je kind in groep 7 staat 2,4 × 1,5, in het antwoordenboekje staat 3,6, en de methode die jij je herinnert, begint met de komma's onder elkaar zetten. Die methode hoort bij optellen. Kommagetallen vermenigvuldigen en kommagetallen delen komen neer op twee gewoontes: vermenigvuldig alsof de komma's er niet staan en tel de cijfers achter de komma, en maak de deler een heel getal voordat je deelt.

Waarom de komma verschuift als je kommagetallen vermenigvuldigt

De komma verschuift omdat een kommagetal een breuk is met noemer 10, 100 of 1000, en bij breuken vermenigvuldigen vermenigvuldig je de noemers. Neem 0,3 × 0,2: dat is 3/10 × 2/10 = 6/100, en 6/100 schrijf je als 0,06.

Het deel met hele getallen is 3 × 2 = 6. De noemers bepalen waar de komma komt: tienden keer tienden geeft honderdsten, dus het antwoord heeft twee cijfers achter de komma nodig. Voelt het nog wankel wat een tiende of een honderdste is, begin dan met de gids over kommagetallen voor ouders, die kommagetallen lezen, vergelijken en omzetten behandelt.

In Nederland noemt de uitwerking van kerndoel 26 bij SLO voor groep 7 en 8 "het rekenen met kommagetallen". Common Core-standaard 5.NBT.B.7 vraagt in het vijfde schooljaar, ongeveer groep 7, om "kommagetallen tot op honderdsten op te tellen, af te trekken, te vermenigvuldigen en te delen, met concrete modellen of tekeningen en strategieën op basis van plaatswaarde". Een honderdveld is de klassieke tekening.

Het rechthoekmodel op een honderdveld

Het rechthoekmodel laat 0,3 × 0,2 zien als de overlap van twee gekleurde stroken op een rooster van 10 bij 10. Kleur 3 van de 10 kolommen voor 0,3 en 2 van de 10 rijen voor 0,2; de stroken overlappen in 3 × 2 = 6 hokjes.

Elk hokje is 1/100 van het rooster, dus de overlap is 6/100 = 0,06. Het plaatje laat ook zien waarom het product kleiner is dan beide factoren: je neemt een deel van een deel.

Kommagetallen vermenigvuldigen, stap voor stap

Kommagetallen vermenigvuldigen gebruikt de rekenwijze voor hele getallen met één extra stap aan het eind: tel de cijfers achter de komma en zet de komma. Dezelfde vijf stappen werken voor getallen van elke grootte, ook voor geld.

1. Schat eerst. Rond elke factor af op een heel getal dat je uit het hoofd kunt vermenigvuldigen: 2,4 × 1,5 ligt dicht bij 2 × 2 = 4.
2. Denk de komma's weg. Zet de getallen rechts uitgelijnd onder elkaar en vermenigvuldig als hele getallen: 24 × 15 = 360.
3. Tel de cijfers achter de komma in beide factoren. 2,4 heeft één cijfer achter de komma en 1,5 ook één, dus het product heeft er 1 + 1 = 2 nodig.
4. Zet de komma. Tel vanaf rechts twee plaatsen in 360 en je krijgt 3,60, en dat is 3,6.
5. Vergelijk met de schatting. 3,6 ligt dicht bij 4, dus de komma staat goed; 36 of 0,36 zou door de controle zakken.

Dezelfde stappen werken voor 0,25 × 0,4. Het product van de hele getallen is 25 × 4 = 100, de factoren hebben 2 + 1 = 3 cijfers achter de komma, en 100 met drie cijfers achter de komma is 0,100, dus 0,1. Voor de rekenwijze met hele getallen zelf loopt de gids over cijferend vermenigvuldigen uitleggen het cijfer voor cijfer door.

Gratis werkblad om te printenVermenigvuldigen — groep 7Werkblad · PDF

Het deel dat mensen fout doen: opvulnullen

Opvulnullen zijn de nullen die je voor een kort product zet, zodat het genoeg cijfers achter de komma kan krijgen. Bij 0,03 × 0,2 is het product van de hele getallen 3 × 2 = 6, en de factoren hebben 2 + 1 = 3 cijfers achter de komma.

Het getal 6 heeft maar één cijfer, dus zet je er twee nullen voor: 0,006. Sla je die stap over, dan krijg je 0,6 of 0,06, en die zijn 100 en 10 keer te groot.

Kommagetallen delen, stap voor stap

Kommagetallen delen kent twee gevallen: een kommagetal delen door een heel getal, en delen door een kommagetal. Het tweede geval wordt na één beweging het eerste.

Deel een kommagetal door een heel getal. Deel zoals altijd en zet de komma in het quotiënt recht boven de komma in het deeltal. Bij 8,4 : 4 is 8 : 4 = 2, de komma gaat omhoog, en 4 : 4 = 1, dus het antwoord is 2,1.

Deel door een kommagetal. Vermenigvuldig deler en deeltal met hetzelfde getal 10, 100 of 1000 tot de deler heel is. Bij 4,2 : 0,6 vermenigvuldig je beide met 10 tot 42 : 6 = 7; bij 7,5 : 0,25 vermenigvuldig je beide met 100 tot 750 : 25 = 30.

Het leerboek OpenStax Prealgebra geeft de regel in één regel: "maak de deler een heel getal door de komma helemaal naar rechts te schuiven", en schuif daarna de komma in het deeltal "evenveel plaatsen naar rechts, met zo nodig nullen erbij". Een heel getal gedeeld door een kommagetal volgt dezelfde regel: 12 : 0,4 wordt 120 : 4 = 30.

Een staartdeling met kommagetallen

Een staartdeling met kommagetallen is een gewone staartdeling waarbij de komma mee omhoog gaat en je nullen achter het deeltal zet als er een rest overblijft. Bij 13,5 : 6 past 6 twee keer in 13 met 1 over, de komma gaat omhoog, en 6 past twee keer in 15 met 3 over.

Schrijf 13,5 als 13,50 en haal de nul erbij: 6 past precies 5 keer in 30, dus 13,5 : 6 = 2,25. De gids over staartdelen uitleggen behandelt de cyclus delen, vermenigvuldigen, aftrekken en bijhalen waar deze stap op leunt.

Cijfers tellen, breuken of verschuiven met machten van tien, met voorbeelden met geld

De gangbare methodes voor kommagetallen geven allemaal hetzelfde antwoord, maar elke methode past bij een ander moment. Kies de methode die bij de getallen voor je past, en houd bij elke methode de schatting als controle.

Geld en maten zijn de plekken waar deze methodes buiten het huiswerk opduiken, en elk voorbeeld gebruikt dezelfde stappen.

• Schriften: 3 schriften van €2,35 per stuk is 235 × 3 = 705 met twee cijfers achter de komma, dus €7,05.
• Tanken: 42,5 liter benzine van €1,90 per liter is 425 × 190 = 80.750 met drie cijfers achter de komma, dus 80,750, en dat is €80,75.
• Wandelen: 3,2 km per dag, 5 dagen lang, is 32 × 5 = 160 met één cijfer achter de komma, dus 16 km.
• Lint: een lint van 22,5 cm in stukjes van 1,5 cm knippen is 22,5 : 1,5 = 225 : 15 = 15 stukjes.
• Verbruik: 522 km rijden op 43,5 liter is 5220 : 435 = 12 km per liter.

Een hardop gezegde schatting houdt de komma eerlijk: "ongeveer 40 liter van ongeveer €2 is ongeveer €80" maakt €807,50 of €8,08 meteen verdacht. Procentsommen gebruiken hetzelfde vermenigvuldigen, want 15% van €40 is 0,15 × 40 = 6, en de gids over procenten berekenen bouwt op die stap voort.

Vermenigvuldigen en delen met 10, 100 en 1000

Vermenigvuldigen met 10, 100 of 1000 schuift elk cijfer één, twee of drie plaatsen naar links, want elke plaats is 10 keer zoveel waard als de plaats rechts ervan. Dus 3,45 × 10 = 34,5, 3,45 × 100 = 345 en 3,45 × 1000 = 3450.

Delen schuift de cijfers naar rechts: 3,45 : 10 = 0,345 en 45 : 100 = 0,45. Standaard 5.NBT.A.2 vraagt kinderen "patronen uit te leggen in de plaats van de komma als een kommagetal met een macht van 10 wordt vermenigvuldigd of erdoor wordt gedeeld", en de gids over plaatswaarde voor ouders legt uit waarom elke plaats tien keer zoveel waard is als de volgende.

Gratis spelen in je browserPlaatswaardeGroep 3–4

Hoe je de voortgang met vermenigvuldigen en delen met kommagetallen controleert

Vijf korte vragen laten zien of de werkwijzen vastzitten. Vraag eerst om de schatting en daarna om de uitwerking.

• Tienden keer tienden: 0,6 × 0,7. Het antwoord is 0,42, want 6 × 7 = 42 en de factoren hebben twee cijfers achter de komma.
• Een opvulnul: 1,2 × 0,05. Het antwoord is 0,06, uit 12 × 5 = 60 met drie cijfers achter de komma, en dat geeft 0,060.
• Delen door een kommagetal: 5,6 : 0,8. Het antwoord is 7, uit 56 : 8.
• Een macht van tien: 4,5 : 100. Het antwoord is 0,045.
• Een heel getal door een kommagetal: 9 : 0,3. Het antwoord is 30, uit 90 : 3, en dat is groter dan 9.

Een haalbare toets per groep

Een kind in groep 7 moet kommagetallen tot op honderdsten aankunnen, en een kind in groep 8 langere kommagetallen op papier. Standaard 6.NS.B.3 vraagt in het zesde schooljaar, ongeveer groep 8, om "kommagetallen met meerdere cijfers vlot op te tellen, af te trekken, te vermenigvuldigen en te delen met de standaardrekenwijze voor elke bewerking".

Het nationale curriculum wiskunde van Engeland legt in Year 6 een vergelijkbare lat: "getallen van één cijfer met tot 2 cijfers achter de komma met hele getallen vermenigvuldigen" en "schriftelijke deelmethodes gebruiken als het antwoord tot 2 cijfers achter de komma heeft". Voor printbare oefening op dat niveau heeft het werkblad delen voor groep 7 een antwoordblad.

Veelgemaakte fouten bij vermenigvuldigen en delen met kommagetallen

Vier fouten veroorzaken de meeste foute antwoorden, en elke fout heeft een oplossing van één regel.

• De komma's onder elkaar zetten om te vermenigvuldigen: Komma's onder elkaar is de regel voor optellen, en de komma recht naar beneden halen bij 2,4 × 1,5 geeft 36,0. Zet de getallen rechts uitgelijnd en tel in plaats daarvan de cijfers achter de komma.
• Opvulnullen vergeten: 0,03 × 0,2 opschrijven als 0,06 laat een plaats vallen. Het product heeft drie cijfers achter de komma nodig, dus het is 0,006.
• De komma alleen in de deler verschuiven: Van 7,5 : 0,25 de som 7,5 : 25 maken geeft 0,3, en dat is 100 keer te klein. Vermenigvuldig beide getallen met hetzelfde getal 10, 100 of 1000.
• Verwachten dat vermenigvuldigen groter maakt: 0,5 × 8 = 4, en dat is kleiner dan 8, en 6 : 0,5 = 12, en dat is groter dan 6. Vermenigvuldigen met een getal onder 1 maakt de uitkomst kleiner, en erdoor delen maakt haar groter.

Randgeval: nullen aan het eind van een product

Nullen aan het eind van een product tellen mee als je de komma zet, en daarna mag je ze weglaten. Bij 0,25 × 0,4 heeft het product 100 drie cijfers achter de komma nodig, wat 0,100 geeft, en dat is 0,1.

De valkuil is de nullen weglaten vóór het tellen: maak je van 100 een 1, dan krijg je 0,001, en dat is 100 keer te klein. Bij geld houd je twee cijfers achter de komma in het eindantwoord, dus €80,750 schrijf je als €80,75.

Je checklist voor vermenigvuldigen en delen met kommagetallen

• Schatten: rond af op hele getallen en zeg het ruwe antwoord voordat je begint.
• Vermenigvuldigen: denk de komma's weg, vermenigvuldig als hele getallen en tel dan de cijfers achter de komma in beide factoren.
• Nullen: zet opvulnullen voor een kort product; laat nullen aan het eind pas weg als de komma staat.
• Delen: maak de deler heel door beide getallen met 10, 100 of 1000 te vermenigvuldigen.
• Komma omhoog: bij een staartdeling staat de komma in het quotiënt recht boven de komma in het deeltal.
• Controleren: vermenigvuldig het quotiënt met de deler, of vergelijk het product met je schatting.

Ouders van kinderen in groep 7 vinden oefening op niveau op de pagina met het rekenspel voor groep 7.

MathIt is een gratis app voor iOS en Android met ongeveer 90 speltypen, een moeilijkheid die zich aanpast en een korte dagelijkse oefening, in 33 talen. Tweeëntwintig van de spellen spelen gratis in de browser, zonder account, en 30 printbare werkbladen voor groep 3 tot en met groep 8 hebben een antwoordblad.