小数乘除法讲解：数清小数位数，移动小数点

孩子五年级的作业上写着 2.4 × 1.5，答案是 3.6，而你记得的方法一开始就是把小数点对齐。可那是加法的方法。学会小数乘法和小数除法，归根到底是两个习惯：乘的时候先当小数点不存在，最后数小数位数；除之前，先把除数变成整数。

小数乘法里小数点为什么会移动

小数点会移动，是因为小数就是分母为 10、100 或 1000 的分数，而分数相乘时分母也要相乘。拿 0.3 × 0.2 来说：它等于 3/10 × 2/10 = 6/100，6/100 写成小数是 0.06。

整数部分的计算是 3 × 2 = 6。分母决定小数点的位置：十分之几乘十分之几得百分之几，所以答案要有两位小数。如果孩子对十分位、百分位还不太有把握，先看写给家长的小数讲解，那里讲了小数的读法、比较大小和互化。

教育部《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求第三学段（五、六年级）能进行简单的小数、分数四则运算和混合运算，并说明运算过程；国内常见教材在五年级上学期学小数乘法和小数除法。美国的共同核心州立数学标准 5.NBT.B.7 也放在五年级，要求学生借助实物模型、图和基于位值的策略，计算到百分位的小数加、减、乘、除。百格图就是最经典的图。

百格图上的面积模型

面积模型把 0.3 × 0.2 表示成 10 × 10 方格上两条涂色带的重叠部分。涂 10 列中的 3 列表示 0.3，涂 10 行中的 2 行表示 0.2；两条涂色带重叠了 3 × 2 = 6 个小格。

每个小格是整个方格的 1/100，所以重叠部分是 6/100 = 0.06。这幅图也说明了积为什么比两个因数都小：你取的是一部分的一部分。

小数乘法怎么算：一步一步来

小数乘法用的是整数乘法的算法，最后多一步：数小数位数，点上小数点。不管数多大，包括算钱，都是同样五步。

1. 先估算。 把每个因数凑成能心算的整数：2.4 × 1.5 接近 2 × 2 = 4。
2. 不看小数点。 把两个数末尾对齐，按整数相乘：24 × 15 = 360。
3. 数两个因数一共有几位小数。 2.4 有一位小数，1.5 有一位，所以积要有 1 + 1 = 2 位小数。
4. 点上小数点。 从 360 的右边数出两位，得 3.60，也就是 3.6。
5. 和估算比一比。 3.6 接近 4，说明小数点点对了；36 或 0.36 都过不了这一关。

同样的步骤也能算 0.25 × 0.4。整数积是 25 × 4 = 100，两个因数一共有 2 + 1 = 3 位小数，100 点上三位小数是 0.100，也就是 0.1。整数乘法的算法本身，怎么教多位数乘法一位一位地讲了。

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最容易错的地方：位数不够补 0

积的位数不够时，要在前面补 0，才能凑够小数位数。算 0.03 × 0.2，整数积是 3 × 2 = 6，两个因数一共有 2 + 1 = 3 位小数。

6 只有一位数字，所以要在它前面补两个 0：0.006。漏了这一步，就会得到 0.6 或 0.06，大了 100 倍或 10 倍。

小数除法怎么算：一步一步来

小数除法分两种情况：小数除以整数，和除数是小数的除法。第二种情况转化一步，就变成了第一种。

小数除以整数。 照常做除法，商的小数点要和被除数的小数点对齐。算 8.4 ÷ 4，8 ÷ 4 = 2，点上小数点，4 ÷ 4 = 1，所以答案是 2.1。

除数是小数的除法。 把除数和被除数同时乘 10 的几次方，直到除数变成整数。算 4.2 ÷ 0.6，两个数同时乘 10，得 42 ÷ 6 = 7；算 7.5 ÷ 0.25，两个数同时乘 100，得 750 ÷ 25 = 30。

OpenStax《Prealgebra》教材用一句话说明这条规则：把除数的小数点一直移到最右边，使除数变成整数，然后把被除数的小数点向右移动同样多的位数，位数不够就补 0。整数除以小数也一样：12 ÷ 0.4 变成 120 ÷ 4 = 30。

小数除法的竖式怎么写

小数除法的竖式就是普通的除法竖式，商的小数点和被除数对齐，有余数时在被除数末尾添 0 继续除。算 13.5 ÷ 6，13 里有 2 个 6，余 1，点上小数点，15 里有 2 个 6，余 3。

把 13.5 看成 13.50，把 0 落下来：30 里正好有 5 个 6，所以 13.5 ÷ 6 = 2.25。怎么教竖式除法讲了这一步要用到的“除、乘、减、落”的循环。

数小数位数、分数法、移动小数点，用钱举例对比

几种常见的小数算法得到的答案都一样，但各有适合的时候。根据眼前的数挑方法，每一种都用估算来检查。

钱和测量，是这些方法在作业以外出现的地方，每个例子用的都是同样的步骤。

• 笔记本： 3 本笔记本，每本 2.35 元，235 × 3 = 705，两位小数，所以是 7.05 元。
• 加油： 加 12.5 升油，每升 7.80 元，125 × 780 = 97500，三位小数，所以是 97.500，也就是 97.50 元。
• 走路： 每天走 3.2 千米，走 5 天，32 × 5 = 160，一位小数，所以是 16 千米。
• 丝带： 一根 22.5 厘米的丝带，剪成每段 1.5 厘米，22.5 ÷ 1.5 = 225 ÷ 15 = 15 段。
• 油耗： 7.25 升油跑了 261 千米，26100 ÷ 725 = 36，每升油跑 36 千米。

说出声的估算能让小数点老老实实：“大约 12 升，每升大约 8 元，大约 96 元”，一下就能看出 975 元或 9.75 元明显不对。百分数问题用的也是同样的乘法，40 元的 15% 是 0.15 × 40 = 6 元，百分数怎么算就是在这一步上往前走的。

小数乘除 10、100 和 1000

乘 10、100 或 1000，每个数字向左移动一位、两位或三位，因为每一个数位都是它右边数位的 10 倍。所以 3.45 × 10 = 34.5，3.45 × 100 = 345，3.45 × 1000 = 3450。

除法则让数字向右移：3.45 ÷ 10 = 0.345，45 ÷ 100 = 0.45。美国标准 5.NBT.A.2 要求孩子解释小数乘或除以 10 的几次方时小数点位置变化的规律，写给家长的数位讲解说明了为什么每个数位都是下一个的十倍。

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怎样检查小数乘除法学得怎么样

五个小问题，就能看出算法是不是扎实。先要估算，再要过程。

• 十分位乘十分位： 0.6 × 0.7。答案是 0.42，因为 6 × 7 = 42，两个因数一共有两位小数。
• 要补 0： 1.2 × 0.05。答案是 0.06，由 12 × 5 = 60 点上三位小数得 0.060。
• 除数是小数： 5.6 ÷ 0.8。答案是 7，由 56 ÷ 8 得到。
• 10 的几次方： 4.5 ÷ 100。答案是 0.045。
• 整数除以小数： 9 ÷ 0.3。答案是 30，由 90 ÷ 3 得到，而且比 9 大。

按年级的小测

按美国的标准，五年级孩子应该会算到百分位的小数，六年级孩子应该会用竖式算位数更多的小数。美国的标准 6.NS.B.3 要求六年级学生用标准算法熟练地计算多位小数的加、减、乘、除。国内课程标准对第三学段的要求，是能进行简单的小数四则运算和混合运算（不超过三步），并说明运算过程。

英格兰的国家数学课程在六年级定了差不多的标准：会用整数乘最多两位小数的一位数，答案最多两位小数时会用笔算除法。想要这个水平的可打印练习，五年级除法练习页附有答案。

小数乘除法的常见错误

大多数错答出自四种错误，每一种都有一句话的纠正。

• 乘法也把小数点对齐： 小数点对齐是加法的规则，算 2.4 × 1.5 时把小数点直接落下来，会得到 36.0。要末尾对齐，再数小数位数。
• 忘了补 0： 把 0.03 × 0.2 写成 0.06，少了一位。积要有三位小数，所以是 0.006。
• 只移动了除数的小数点： 把 7.5 ÷ 0.25 变成 7.5 ÷ 25，得 0.3，小了 100 倍。两个数要同时乘 10 的同一个几次方。
• 以为乘法一定让数变大： 0.5 × 8 = 4，比 8 小；6 ÷ 0.5 = 12，比 6 大。乘一个小于 1 的数，结果变小；除以它，结果变大。

特殊情况：积末尾的 0

积末尾的 0，在点小数点时要算进去，点好以后才能去掉。0.25 × 0.4 里，积 100 要有三位小数，得 0.100，等于 0.1。

陷阱在于数位数之前就去掉了 0：把 100 当成 1，就会得到 0.001，小了 100 倍。算钱时，最后的答案保留两位小数，所以 97.500 元写作 97.50 元。

小数乘除法检查清单

• 估算： 先凑成整数，开始之前说出大概的答案。
• 乘法： 不看小数点，按整数相乘，再数两个因数的小数位数。
• 补 0： 积的位数不够就在前面补 0；末尾的 0 等小数点点好以后再去掉。
• 除法： 把两个数同时乘 10、100 或 1000，让除数变成整数。
• 小数点对齐： 竖式除法里，商的小数点和被除数的小数点对齐。
• 检查： 用商乘除数，或者把积和估算比一比。

五年级孩子的家长，可以在五年级数学游戏页面找到对应年级的练习。

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