Résolution de problèmes de mathématiques : la routine qui débloque

Votre enfant récite 7 × 8 sans hésiter et reste pourtant figé devant quatre lignes racontant une sortie scolaire en minibus. Les problèmes de mathématiques échouent pour une autre raison que les calculs, et une série d'exercices de calcul en plus n'y change rien. Ce qui aide, c'est une routine que l'enfant déroule de la même façon à chaque fois.

Pourquoi un problème est plus dur que le même calcul écrit tout seul

Un problème est plus dur que le calcul nu parce que le calcul vient en dernier, pas en premier. Avant de pouvoir calculer quoi que ce soit, votre enfant doit lire le texte, comprendre ce qui se passe et décider quelle opération correspond à la situation. Le calcul 24 − 18 est facile ; décider que le problème appelle 24 − 18 est la partie difficile.

Deux travaux à la fois

La charge de lecture et le calcul se disputent la même attention. Un enfant qui lit lentement dépense l'essentiel de sa mémoire de travail à déchiffrer les phrases et il ne lui en reste guère pour les mathématiques. C'est pourquoi un bon calculateur peut sembler faible sur un problème, et pourquoi lire l'énoncé à voix haute le débloque souvent.

Les standards américains attendent ce travail tôt. Le grade 2, l'équivalent du CE1, demande aux enfants d'utiliser l'addition et la soustraction dans 100 pour résoudre des problèmes à une et deux étapes mettant en jeu l'ajout, le retrait, la réunion, le partage et la comparaison, avec l'inconnue à toutes les places (2.OA.A.1).

Ce qui cloche quand votre enfant se bloque

Se bloquer sur un problème a en général l'une de trois causes, et le calcul fragile n'en fait pas partie. Votre enfant peut ne pas se représenter la situation, ne pas être sûr de ce que la question demande, ou chercher un mot déclencheur au lieu de lire. La troisième cause est celle que les enfants attrapent le plus vite et gardent le plus longtemps.

Le piège des mots de l'énoncé

Les mots de l'énoncé promettent un raccourci qui casse sur des problèmes ordinaires. On dit aux enfants que « en tout » veut dire additionner et que « il reste » veut dire soustraire, et les deux règles tombent sur des problèmes qu'un élève de CE2 rencontrera cette année.

• « En tout » avec une soustraction. Ana a 12 autocollants en tout, et 5 d'entre eux sont des étoiles. Combien ne sont pas des étoiles ? La réponse est 12 − 5 = 7.
• « Il reste » avec une addition. Ben a donné 3 billes et il lui en reste 4. Combien en avait-il au départ ? La réponse est 4 + 3 = 7.
• « De plus » avec une soustraction. Julie a trois pommes de plus que Lucie, et Julie a cinq pommes. Combien Lucie a-t-elle de pommes ? La réponse est 5 − 3 = 2.

Le troisième exemple sort tout droit du tableau 1 du glossaire Common Core, qui range les situations d'addition et de soustraction en ajout, retrait, réunion ou partage, et comparaison. Le document de progression des auteurs sur la pensée opératoire et algébrique nomme ces cas comme un langage trompeur qui suggère la mauvaise opération, et les classe parmi les sous-types les plus difficiles de la première année.

Le programme français dit la même chose, en consigne pour l'enseignant : le programme de mathématiques du cycle 3 demande de veiller « à ce que les élèves n'automatisent pas la reconnaissance d'une opération à effectuer à partir de termes de l'énoncé, en proposant régulièrement des problèmes dont l'énoncé contient des termes qui n'induisent pas l'opération attendue, par exemple des énoncés comportant le mot “plus” alors que l'opération à effectuer est une soustraction ».

Une routine pour résoudre un problème, étape par étape

Une routine marche parce qu'elle met le calcul en dernier. Un seul problème porte toute la routine ci-dessous : une classe de 24 élèves part en sortie, chaque minibus emmène 6 élèves, trois minibus sont déjà pleins, et la question demande combien d'élèves attendent encore.

1. Lisez deux fois. La première lecture est pour l'histoire, la seconde pour les nombres. Demandez à votre enfant de cacher les nombres avec un doigt au premier passage.
2. Dites ce qui se passe avec vos propres mots. Votre enfant raconte la situation sans aucun nombre : des enfants partent en sortie en minibus, certains sont déjà assis, et les autres attendent.
3. Nommez ce qui est demandé. La question demande les élèves qui attendent encore, pas les minibus et pas les places libres. Écrivez cette phrase en haut de la page avant toute chose.
4. Dessinez. Trois minibus pleins deviennent trois cases de 6, et la classe entière devient une barre de 24 au-dessus. L'écart au bout de la barre est la réponse.
5. Estimez. Trois minibus offrent 18 places, soit l'essentiel de 24, donc la réponse doit être petite. Tout ce qui dépasse 10 est faux avant même le calcul.
6. Calculez. 3 × 6 = 18 élèves sont assis, et 24 − 18 = 6 élèves attendent.
7. Confrontez la réponse à la question. La question demandait des élèves, la réponse est 6 élèves, et 6 tient dans l'estimation.

L'étape 3 est celle que les standards réclament nommément : en grade 3, l'équivalent du CE2, les enfants résolvent des problèmes à deux étapes avec les quatre opérations et les traduisent par des égalités où une lettre représente la quantité inconnue (3.OA.D.8). Quelques manches de trouver x rendent cette lettre banale bien avant l'algèbre.

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L'étape que la plupart des familles laissent tomber

Estimer avant de calculer est l'étape qui disparaît en premier des devoirs, et c'est celle qui attrape les réponses fausses. Le guide du What Works Clearinghouse Improving Mathematical Problem Solving in Grades 4 Through 8 place le suivi et la réflexion sur le processus de résolution parmi ses recommandations aux preuves les plus solides, soutenue par des questions que l'enfant se pose à chaque étape.

Le programme français range cela dans la phase « Régulation », et propose les questions à se poser : « Le nombre de jetons rouges trouvé est supérieur au nombre total de jetons, est-ce possible ? », ou « 800 km entre Paris et New-York, est-ce que cela semble possible ? » Une estimation dite à voix haute coûte cinq secondes et écarte toutes les réponses de la mauvaise taille.

Quatre façons de dessiner un problème

Les dessins transforment une histoire en image des relations entre les quantités, et c'est précisément ce qui manque à votre enfant. Le guide du What Works Clearinghouse recommande d'enseigner bien quelques représentations visuelles plutôt que beaucoup mal, et nomme les schémas en bandes, les droites graduées, les tableaux et les schémas de situation comme l'ensemble de travail.

Quel modèle choisir

C'est la forme du problème qui choisit le modèle. Un problème qui demande qui en a le plus veut un schéma en barres, un problème de trajet ou d'horloge veut une droite graduée, et un problème avec un groupe qui se répète veut un tableau. Votre enfant doit en maîtriser deux avant qu'un troisième arrive.

Un entraînement varié garde les quatre en jeu. Une fiche d'exercices mixte niveau CM1 met les quatre opérations sur une même page, donc votre enfant doit décider laquelle convient au lieu de répéter vingt fois la même.

Fiche gratuite à imprimerOpérations mixtes — élèves de CM1Fiche · PDF

Les types de problèmes qui valent d'être nommés à la maison

Nommer le type de problème donne à votre enfant un point de départ. Le glossaire Common Core range les situations d'addition et de soustraction en quatre familles, chacune avec l'inconnue à une place différente : ajouter à, retirer de, réunir ou partager, et comparer.

Problèmes de comparaison et problèmes de transformation

Les problèmes de comparaison et les problèmes de transformation diffèrent par le fait que quelque chose bouge ou non. Un problème de transformation a quelque chose qui se passe dans le temps, comme Ben qui donne 3 billes. Un problème de comparaison n'a rien qui se passe du tout : Julie et Lucie gardent toutes les deux leurs pommes, et c'est l'écart entre elles que la question veut.

L'écart d'un problème de comparaison est invisible, et c'est ce qui le rend difficile. Le document de progression le dit sans détour : la différence n'est pas physiquement présente dans la situation et doit être construite dans un dessin. Un schéma en barres aide davantage ici que partout ailleurs, et une manche de comparaison des nombres fait un échauffement utile avant une série de problèmes de comparaison.

Les problèmes à deux étapes arrivent au CE2 et ne repartent plus. L'ordre des deux calculs compte, et c'est là que les priorités opératoires commencent à payer ; la division est l'opération que les enfants interprètent le plus souvent de travers, parce que partager en parts égales et chercher combien de fois se ressemblent dans un énoncé. La méthode elle-même est traitée dans comment enseigner la division posée.

Comment vérifier que votre enfant a compris

Cinq signaux vous disent si la routine est acquise, et aucun n'est une note sur une feuille d'exercices. Observez ce que fait votre enfant dans les trente premières secondes après la lecture d'un problème.

• Sait-il raconter le problème sans les nombres ? Un enfant qui décrit la situation avec ses propres mots l'a comprise. Un enfant qui répète les phrases mot pour mot ne l'a pas comprise.
• L'estimation arrive-t-elle avant la réponse ? Une estimation dite avant tout calcul montre que votre enfant pense à l'ordre de grandeur, et elle attrape sur-le-champ les réponses issues de la mauvaise opération.
• Dessine-t-il sans qu'on le lui demande ? Un dessin qui apparaît tout seul, avant le calcul, est le signe le plus clair que la routine est devenue une habitude.
• Sait-il dire ce que la réponse signifie ? Le nombre 6 n'est pas une réponse ; 6 élèves qui attendent encore, si.
• Repère-t-il une réponse fausse ? Un enfant qui dit qu'une réponse ne peut pas être juste, et explique pourquoi, surveille son propre travail.

Un test de deux minutes à la table de la cuisine

Un seul test montre les cinq signaux d'un coup : donnez un problème à votre enfant et demandez-lui de l'expliquer avant de le résoudre. Choisissez un problème d'un niveau en dessous du sien, pour que le calcul ne soit jamais l'obstacle. Si l'explication coule et que l'estimation arrive sans qu'on la demande, la routine fonctionne.

Erreurs fréquentes et votre pense-bête des problèmes

Cinq erreurs expliquent la plupart des réponses fausses du CE1 au CM2, et chacune a une correction qui prend quelques secondes.

• Attraper les nombres dans l'ordre où ils apparaissent. Un enfant qui écrit 24 − 6 parce que 24 venait en premier a sauté la situation entière. La correction est l'étape 2 : raconter l'histoire sans les nombres.
• La chasse aux mots déclencheurs. Des mots comme « en tout », « il reste » et « de plus » pointent assez souvent la bonne opération pour ressembler à une règle, et se trompent assez souvent pour coûter des points. La correction est de demander ce qui se passe, puis ce qui est demandé.
• Répondre à la mauvaise question. Un problème à deux étapes donne souvent au premier résultat l'air d'être la réponse, et 18 élèves assis n'est pas le nombre de ceux qui attendent.
• Ignorer les unités. Une réponse de 6 sans étiquette cache une erreur, parce que 6 minibus et 6 élèves sont deux affirmations différentes sur le même calcul.
• Sauter la seconde étape. Les problèmes à deux étapes du CE2 et du CM1 cachent la seconde étape derrière une virgule, donc la réponse doit être confrontée à la question et non au dernier calcul.

Un cas particulier mérite sa propre phrase. Un problème peut contenir un nombre dont on n'a jamais besoin, et aucune règle sur les mots de l'énoncé ne le repérera. Un enfant entraîné à utiliser tous les nombres du texte se fera prendre au premier problème qui en porte un de trop.

Déroulez ce pense-bête à la prochaine séance de devoirs :

• Lire deux fois, en cachant les nombres au premier passage.
• Raconter l'histoire sans les nombres.
• Écrire la question en une courte phrase avant de commencer.
• Dessiner un seul modèle, toujours le même pour ce type de problème.
• Estimer à voix haute, puis calculer.
• Relire la réponse avec son unité et la comparer à la question.

Dix minutes par soir suffisent, et les problèmes peuvent être dits plutôt qu'imprimés. Des idées pour s'entraîner ensemble se trouvent sur la page jeux de maths pour parents et enfants, et les fractions expliquées aux parents couvre le sujet sur lequel les problèmes cassent ensuite.