Les ratios expliqués : ce qu'est un ratio et comment trouver des ratios égaux

Une recette de crêpes demande 3 verres de farine pour 2 verres de lait, le devoir de 6e de votre enfant porte sur la proportionnalité, et la bouteille de produit ménager indique de diluer à 3 : 1. Les ratios sont présents dans les trois cas, et ils obéissent à une seule règle : ce que vous faites à un terme, vous le faites à l'autre. Une fois cette règle acquise, simplifier un ratio, trouver des ratios égaux et adapter une recette deviennent le même geste.

Qu'est-ce qu'un ratio ?

Un ratio est une comparaison de deux quantités qui indique combien il y a de l'une pour une certaine quantité de l'autre. Si un bol contient 2 perles rouges pour 3 perles bleues, le ratio rouge sur bleu est 2 : 3.

Le même ratio s'écrit de trois façons courantes : 2 : 3 avec deux-points, « 2 pour 3 » en toutes lettres, et 2/3 sous forme de fraction. Les trois veulent dire « pour 2 de la première quantité, il y en a 3 de la seconde », et le premier nombre correspond toujours à la première chose nommée.

Le standard américain Common Core 6.RP.A.1 demande aux élèves de grade 6, l'équivalent de la 6e, de « comprendre la notion de ratio et d'utiliser le langage des ratios pour décrire une relation entre deux quantités ». Son propre exemple est une volière où le ratio ailes sur becs vaut 2 : 1, « car pour 2 ailes il y avait 1 bec ». En France, la 6e travaille la même idée sous le nom de proportionnalité, et le mot ratio lui-même arrive au collège.

Ratios partie à partie et partie au tout

Un ratio partie à partie compare une partie à une autre partie, et un ratio partie au tout compare une partie au total. Dans le bol de perles, rouge sur bleu vaut 2 : 3 (partie à partie), alors que rouge sur l'ensemble vaut 2 : 5 (partie au tout), car 2 + 3 = 5 parts forment le tout.

Cette différence décide de la fraction. Avec 2 rouges pour 3 bleues, les perles rouges font 2/5 du bol et les bleues 3/5, soit 40 % et 60 %. Lire 2 : 3 comme « deux tiers de rouge » est l'erreur la plus fréquente sur les ratios.

Un schéma en barres rend les parts visibles. Dessinez 2 cases pour le rouge et 3 pour le bleu ; si le bol contient 10 perles, les 5 cases se partagent 10 à égalité, donc chaque case vaut 2, le rouge vaut 2 × 2 = 4 et le bleu 3 × 2 = 6.

Comment simplifier un ratio et trouver des ratios égaux, étape par étape

Des ratios égaux décrivent la même relation, et on les trouve en multipliant ou en divisant les deux termes par le même nombre. Simplifier, c'est diviser, et agrandir, c'est multiplier.

1. Écrivez le ratio dans l'ordre des mots. « Farine sur lait » donne 3 : 2, et « lait sur farine » donne 2 : 3.
2. Vérifiez que les deux termes ont la même unité. Trente minutes pour 2 heures devient 30 : 120 une fois les deux exprimés en minutes.
3. Trouvez le PGCD des deux termes. Pour 12 : 18, les diviseurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12, ceux de 18 sont 1, 2, 3, 6, 9 et 18, et le plus grand qu'ils partagent est 6.
4. Divisez les deux termes par ce nombre pour simplifier. 12 ÷ 6 = 2 et 18 ÷ 6 = 3, donc 12 : 18 se simplifie en 2 : 3.
5. Multipliez les deux termes par le même nombre pour agrandir. 2 : 3 fois 2 donne 4 : 6, fois 3 donne 6 : 9 et fois 4 donne 8 : 12, et chacun est égal à 2 : 3.
6. Vérifiez le résultat. Simplifiez de nouveau votre réponse ; un ratio égal revient toujours à la même forme la plus simple.

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Comment savoir si deux ratios sont égaux

Deux ratios sont égaux quand ils se simplifient en un même ratio, et un second test, le produit en croix, donne le même verdict en une ligne. Pour a : b et c : d, calculez a × d et b × c ; si les deux produits sont égaux, les ratios le sont aussi.

Prenez 4 : 6 et 6 : 9. La simplification donne 2 : 3 les deux fois, et les produits en croix concordent : 4 × 9 = 36 et 6 × 6 = 36. Prenez maintenant 3 : 4 et 5 : 6, où 3 × 6 = 18 et 4 × 5 = 20 : ils ne sont pas égaux, alors que chaque terme a augmenté de 2.

Le produit en croix est rapide, mais il cache la raison pour laquelle il marche. Le guide du What Works Clearinghouse sur l'enseignement des fractions recommande de « développer la compréhension des stratégies de résolution des problèmes de ratio, de taux et de proportion avant de présenter le produit en croix comme une procédure ». Le programme de mathématiques du cycle 3 va dans le même sens : au CM1 et au CM2, les élèves raisonnent par linéarité, et « ni l'utilisation du coefficient de proportionnalité, ni le recours au « produit en croix » ne sont enseignés au cours moyen ».

Ratio, fraction ou pourcentage

Un ratio, une fraction et un pourcentage peuvent décrire le même bol de perles, mais chacun répond à une autre question. Le ratio compare les parties, la fraction désigne une partie du tout, et le pourcentage ramène cette fraction à 100.

Transformer un ratio en pourcentage

Un ratio partie à partie devient un pourcentage en deux gestes : additionner les parties pour obtenir le tout, puis diviser la partie voulue par ce tout. Pour 2 : 3, le tout vaut 5 parts, le rouge vaut 2/5, et 2 ÷ 5 = 0,4, soit 40 %.

Le standard 6.RP.A.3c demande de « trouver un pourcentage d'une quantité comme un taux pour 100 », c'est-à-dire un ratio dont le second terme est fixé à 100. Le guide sur le calcul des pourcentages prolonge cette étape, et le guide pour expliquer les fractions à votre enfant couvre le côté « partie d'un tout ».

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Tableaux de proportionnalité, retour à l'unité et recettes

Un tableau de proportionnalité aligne des ratios égaux en lignes ou en colonnes, pour lire directement la quantité voulue. Le grade 6 en fait l'outil principal : le standard 6.RP.A.3 cite « les tableaux de ratios égaux, les schémas en barres, les doubles droites graduées ou les équations » pour résoudre les problèmes de ratios. En France aussi, la 6e représente une situation de proportionnalité « à l'aide d'un tableau ».

Commencez le tableau par le ratio de départ, puis multipliez les deux termes par 2, 3 et 4. Pour 2 : 3, on obtient 4 : 6, 6 : 9 et 8 : 12, et chaque colonne se divise toujours en 2/3.

Le retour à l'unité ramène le ratio à une seule unité de la seconde quantité. Si 4 cahiers coûtent 6 €, un cahier coûte 6 € ÷ 4 = 1,50 €, et 10 cahiers coûtent 10 × 1,50 € = 15 €. Les standards américains prennent l'exemple des pelouses : 4 pelouses tondues en 7 heures veulent dire que 35 heures, soit 5 × 7, suffisent pour 5 × 4 = 20 pelouses.

Adapter une recette

Adapter une recette, c'est trouver le coefficient qui mène de l'ancienne quantité à la nouvelle et l'appliquer à chaque ingrédient. Une recette de 3 verres de farine pour 2 verres de lait donne 12 crêpes ; pour 18 crêpes, le coefficient est 18 ÷ 12 = 1,5.

La farine passe à 3 × 1,5 = 4,5 verres et le lait à 2 × 1,5 = 3 verres, donc la nouvelle pâte est en 4,5 : 3. Ce ratio se simplifie de nouveau en 3 : 2, ce qui confirme que la pâte aura le même goût.

Le même geste sert à mélanger de la peinture. Pour un vert fait de 2 parts de jaune pour 1 part de bleu, un pot de 9 litres compte 2 + 1 = 3 parts, chaque part vaut 9 ÷ 3 = 3 litres, et il faut 6 litres de jaune et 3 litres de bleu. Le guide des nombres décimaux pour les parents aide quand un coefficient comme 1,5 ou 0,75 apparaît.

Comment vérifier que les ratios sont acquis

Cinq vérifications rapides montrent si un enfant ou un adulte comprend les ratios.

• Le langage des ratios : demandez ce que veut dire 3 : 1 pour un mélange jus sur eau. « Trois verres de jus pour un verre d'eau » est la réponse à attendre.
• La forme la plus simple : donnez 15 : 25. La réponse est 3 : 5, en divisant les deux termes par 5.
• Un ratio égal : demandez un ratio égal à 2 : 3 dont le premier terme est 12. La réponse est 12 : 18, car 12 ÷ 2 = 6 et 3 × 6 = 18.
• Une question partie au tout : avec 12 garçons et 15 filles dans une classe, demandez quelle fraction sont des filles. La réponse est 15/27, qui se simplifie en 5/9.
• Un prix unitaire : demandez combien coûtent 7 articles vendus 6 € les 4. La réponse est 10,50 €, à partir d'un prix unitaire de 1,50 €.

Un test de cinq minutes

Un test de cinq minutes avec trois questions variées (simplifier, comparer, adapter une recette) en dit plus qu'une longue fiche d'un seul type, à condition de demander le raisonnement.

Le programme anglais attend les mêmes compétences à un âge proche. Les programmes de mathématiques anglais demandent en Year 6, l'équivalent de la 6e, de « résoudre des problèmes portant sur les tailles relatives de 2 quantités », et le key stage 3 ajoute « utiliser la notation des ratios, y compris la réduction à la forme la plus simple ».

Les tables de multiplication portent chacune de ces vérifications, et la fiche de multiplication pour la 6e propose un entraînement à imprimer avec son corrigé.

Les erreurs fréquentes sur les ratios et les cas limites

Quatre erreurs causent la plupart des mauvaises réponses sur les ratios, et chacune a une correction en une ligne.

• Additionner au lieu de multiplier : transformer 2 : 3 en 4 : 5 en ajoutant 2 à chaque terme change le mélange, car 2/3 vaut environ 0,67 et 4/5 vaut 0,8. Multipliez les deux termes par le même nombre : 2 : 3 devient 4 : 6.
• Inverser l'ordre : garçons sur filles 12 : 15 se simplifie en 4 : 5, et filles sur garçons donne 5 : 4. Relisez la question et écrivez d'abord la quantité nommée en premier.
• Lire partie à partie comme partie au tout : un mélange 2 : 3 rouge sur bleu contient 2/5 de rouge, et parler de 2/3 de rouge surestime la part du rouge. Additionnez les parties pour trouver le tout avant d'écrire une fraction.
• Mélanger les unités : 30 minutes pour 2 heures donne 30 : 120 = 1 : 4, et écrire 30 : 2 fait paraître les minutes plus grandes que les heures. Convertissez les deux termes dans la même unité avant de simplifier.

Cas limite : étiquettes de dilution et échelles de cartes

Une étiquette qui indique « diluer à 3 : 1 » utilise le langage des ratios, alors lisez quelle partie vient en premier avant de verser. Si l'étiquette veut dire 3 parts d'eau pour 1 part de concentré, un seau de 2 litres compte 3 + 1 = 4 parts, chaque part vaut 2 000 ÷ 4 = 500 ml, et vous ajoutez 1 500 ml d'eau à 500 ml de concentré, ce qui fait du concentré 25 % du mélange.

L'échelle d'une carte est un ratio dont les deux termes ont la même unité. Sur une carte de randonnée au 1 : 25 000, 4 cm sur le papier représentent 4 × 25 000 = 100 000 cm sur le terrain, soit 1 km.

Votre pense-bête des ratios et la suite

• L'ordre : écrivez le ratio dans l'ordre des mots.
• Les unités : mettez d'abord les deux termes dans la même unité.
• Simplifier : divisez les deux termes par leur PGCD.
• Agrandir ou réduire : multipliez ou divisez les deux termes par le même nombre, n'additionnez jamais.
• Vérifier : simplifiez les deux ratios, ou comparez les produits en croix.
• Le tout : additionnez les parties avant de transformer un ratio en fraction ou en pourcentage.

Les adultes qui reconstruisent leur sens des nombres peuvent commencer par le guide pour progresser en maths à l'âge adulte ou par le jeu d'aisance en calcul pour adultes. Les parents d'élèves de 6e trouveront un entraînement adapté au niveau sur la page jeu de maths pour la 6e.

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