Wissenschaftliche Schreibweise: große und kleine Zahlen mit Zehnerpotenzen schreiben

Ihr Taschenrechner beantwortet eine Chemieaufgabe mit 6,02E23, und das Arbeitsblatt will die Entfernung zur Sonne, etwa 150.000.000 km, „in wissenschaftlicher Schreibweise“. Beide werfen dieselbe Frage auf, was die wissenschaftliche Schreibweise ist, und die Antwort ist eine kurze Zahl mal eine Zehnerpotenz. Die wissenschaftliche Schreibweise, auch Gleitkommadarstellung oder Schreibweise mit Zehnerpotenzen genannt, macht aus 150.000.000 die Zahl 1,5 · 10⁸, und wer sieht, wie das Komma wandert, wandelt jede Zahl schnell um.

Was ist die wissenschaftliche Schreibweise?

Die wissenschaftliche Schreibweise schreibt jede Zahl als a · 10ⁿ, wobei a mindestens 1 und kleiner als 10 ist und n eine ganze Zahl. Das Lehrbuch OpenStax Prealgebra nennt die Regel a ≥ 1 und a < 10, n eine ganze Zahl. In 4,5 · 10⁴ ist die Vorzahl 4,5 und der Exponent 4.

Der Exponent sagt, wie oft man mit 10 multipliziert oder durch 10 teilt. Ein positiver Exponent macht die Zahl größer, also 4,5 · 10⁴ = 45.000, und ein negativer Exponent macht sie kleiner, also 7,2 · 10⁻⁴ = 0,00072.

Wenn Zehnerpotenzen noch wackeln, erklärt der Leitfaden zu Potenzen 10³ = 1.000 und die negativen Exponenten hinter 10⁻⁴.

In Bayern kommen Zehnerpotenzen schon früh. Der LehrplanPLUS für die 5. Klasse am Gymnasium verlangt, Zehnerpotenzen zu verwenden, um große natürliche Zahlen passend darzustellen, und in der 6. Klasse deuten die Kinder Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten als Brüche mit dem Zähler 1 und lesen Alltagsgrößen mit negativen Zehnerpotenzen. In den USA ist das Thema Stoff der 8. Klasse: Der Common-Core-Standard 8.EE.A.3 nennt als Beispiel die Bevölkerung der USA als 3 · 10⁸ und die Weltbevölkerung als 7 · 10⁹.

Warum Wissenschaft und Taschenrechner sie nutzen

Wissenschaft und Taschenrechner nutzen die wissenschaftliche Schreibweise, weil sie die wichtigen Ziffern behält und die Nullen weglässt. Die NASA gibt die Entfernung zur Sonne mit etwa 150 Millionen Kilometern an, also 1,5 · 10⁸ km. Das NIST nennt die Avogadro-Konstante mit 6,022 140 76 · 10²³ pro Mol, eine Zahl mit 24 Stellen vor dem Komma.

Der Exponent zeigt auch die Größe einer Zahl auf einen Blick, also unterscheiden sich 3 · 10⁸ und 7 · 10⁹ um mehr als das 20-Fache, ohne dass man Nullen zählt. Dieselbe Gewohnheit steckt in den Maßeinheiten: Die Tabelle der SI-Vorsätze des NIST legt Kilo als 10³ fest, Mega als 10⁶, Giga als 10⁹, Milli als 10⁻³, Mikro als 10⁻⁶ und Nano als 10⁻⁹.

Eine Zahl in wissenschaftliche Schreibweise bringen: Schritt für Schritt

Eine Zahl in wissenschaftliche Schreibweise zu bringen braucht fünf Schritte, und sie funktionieren bei großen und kleinen Zahlen gleich.

1. Das Komma hinter die erste Ziffer ungleich null setzen. In 45.000 ist die erste Ziffer ungleich null die 4, also wird die Vorzahl 4,5. In 0,00072 ist es die 7, also wird die Vorzahl 7,2.
2. Die Stellen zählen. In 45.000 steht das Komma (unsichtbar) hinter der letzten 0 und wandert 4 Stellen nach links, bis es zwischen 4 und 5 steht. In 0,00072 wandert es 4 Stellen nach rechts, bis es zwischen 7 und 2 steht.
3. Das Vorzeichen des Exponenten wählen. Eine Zahl ab 10 bekommt einen positiven Exponenten, eine Zahl zwischen 0 und 1 einen negativen. Also 45.000 = 4,5 · 10⁴ und 0,00072 = 7,2 · 10⁻⁴.
4. Die Nullen am Ende weglassen. Die Vorzahl behält nur die Ziffern, die zählen, also wird 4,5000 zu 4,5. Nullen in der Mitte bleiben, also 306.000 = 3,06 · 10⁵.
5. Durch Zurückwandeln prüfen. Verschieben Sie das Komma um den Exponenten in die andere Richtung: 4,5 · 10⁴ ergibt 45.000, und 5,1 · 10⁻³ ergibt 0,0051. OpenStax nennt dieselbe Umkehrregel: Ein positiver Exponent schiebt das Komma nach rechts, ein negativer nach links.

Jeder Sprung des Kommas ist eine Stelle im Stellenwertsystem, und deshalb ist die wissenschaftliche Schreibweise Stellenwert in kompakter Form. Der Leitfaden Stellenwert für Eltern zeigt die Spalten hinter jedem Sprung, und das Stellenwert-Spiel trainiert sie im Browser.

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Der häufigste Fehler: das Vorzeichen des Exponenten

Das Vorzeichen des Exponenten ist der Schritt, bei dem die meisten Fehler passieren, weil das Komma bei großen Zahlen nach links wandert und der Exponent trotzdem positiv ist. Lassen Sie die Richtungsregel weg und stellen Sie eine einzige Frage: Ist die ursprüngliche Zahl größer als 10 oder kleiner als 1?

Eine große Zahl braucht einen positiven Exponenten, damit 4,5 wieder zu 45.000 wächst. Eine kleine Zahl braucht einen negativen Exponenten, damit 7,2 auf 0,00072 schrumpft. Wer 45.000 = 4,5 · 10⁻⁴ schreibt, findet den Fehler in Sekunden, weil 10⁻⁴ die 4,5 kleiner als 1 macht.

Ausgeschriebene Zahl, wissenschaftliche Schreibweise und E-Schreibweise

Die ausgeschriebene Zahl, die wissenschaftliche Schreibweise und die E-Schreibweise sind drei Arten, denselben Wert zu schreiben, und die Namen ändern sich von Land zu Land. In amerikanischen Schulbüchern heißt die ausgeschriebene Zahl „standard form“: Das Kapitel zu natürlichen Zahlen in OpenStax Prealgebra schreibt einen Haushalt von 77 Milliarden Dollar in dieser Form als 77.000.000.000. In England dagegen ist „standard form“ der Name für a · 10ⁿ selbst.

Der nationale Lehrplan in England verlangt in Key Stage 3, Zahlen in der Form A · 10ⁿ mit 1 ≤ A < 10 zu deuten und zu vergleichen, wobei n eine positive oder negative ganze Zahl oder 0 ist. Wer englische Arbeitsblätter nutzt, sollte prüfen, aus welchem Land sie kommen, bevor er „standard form“ liest.

Das E am Taschenrechner lesen

Das E am Taschenrechner bedeutet „mal 10 hoch“, also ist 6,02E23 gleich 6,02 · 10²³ und 7,2E-4 gleich 7,2 · 10⁻⁴. Die Anzeige wechselt zum E, wenn das Ergebnis für den Bildschirm zu lang ist, und manche Rechner zeigen dabei einen Punkt statt eines Kommas. Eine Tabellenkalkulation zeigt dieselbe Zahl oft als 1,5E+08, wobei das Plus einen positiven Exponenten markiert.

Um eine Zahl in wissenschaftlicher Schreibweise einzutippen, nutzen Sie die Taste EE, EXP oder ×10ˣ, die „mal 10 hoch“ mit einem Druck eingibt. Der Common-Core-Standard 8.EE.A.4 nennt diese Fähigkeit ausdrücklich: wissenschaftliche Schreibweise deuten, die von einem Gerät erzeugt wurde.

Mit wissenschaftlicher Schreibweise multiplizieren, dividieren, addieren und subtrahieren

Die wissenschaftliche Schreibweise macht Multiplizieren und Dividieren leicht, weil man die Vorzahlen und die Zehnerpotenzen getrennt behandelt. OpenStax sagt es in einer Zeile: Mit den Potenzgesetzen multipliziert und dividiert man Zahlen in wissenschaftlicher Schreibweise.

• Multiplizieren: die Vorzahlen multiplizieren und die Exponenten addieren. (3 · 10⁴) · (2 · 10⁵) = (3 · 2) · 10⁴⁺⁵ = 6 · 10⁹.
• Dividieren: die Vorzahlen dividieren und die Exponenten subtrahieren. (8 · 10⁶) : (2 · 10²) = (8 : 2) · 10⁶⁻² = 4 · 10⁴.
• Nachkorrigieren nach oben: Ist die neue Vorzahl 10 oder größer, das Komma um eine Stelle nach links schieben und den Exponenten um 1 erhöhen. (4 · 10²) · (3 · 10¹) = 12 · 10³ = 1,2 · 10⁴.
• Nachkorrigieren nach unten: Ist die neue Vorzahl kleiner als 1, das Komma um eine Stelle nach rechts schieben und 1 abziehen. (2 · 10³) : (5 · 10⁷) = 0,4 · 10⁻⁴ = 4 · 10⁻⁵.

Die Vorzahlen sind Dezimalzahlen, also ist die Rechnung Dezimalrechnung. Der Leitfaden zum Multiplizieren und Dividieren von Dezimalzahlen erklärt 1,5 · 2,4 und 7,5 : 0,25, wenn die Vorzahlen weniger glatt sind.

Addieren und Subtrahieren: zuerst die Exponenten angleichen

Addieren und Subtrahieren in wissenschaftlicher Schreibweise gehen nur, wenn beide Zahlen dieselbe Zehnerpotenz haben. Bei (3,2 · 10⁵) + (4,5 · 10⁴) schreiben Sie 4,5 · 10⁴ als 0,45 · 10⁵. Dann addieren Sie die Vorzahlen: 3,2 + 0,45 = 3,65, also ist die Summe 3,65 · 10⁵ = 365.000.

Die Subtraktion folgt derselben Regel. (5 · 10⁶) − (2 · 10⁵) wird zu (5 · 10⁶) − (0,2 · 10⁶) = 4,8 · 10⁶, das sind 4.800.000. Wer hier die Exponenten addiert wie beim Multiplizieren, erhält ein falsches Ergebnis wie 3 · 10¹¹, eine Zahl, die etwa 60.000-mal zu groß ist.

So prüfen Sie, ob die wissenschaftliche Schreibweise sitzt

Fünf schnelle Signale zeigen, ob die wissenschaftliche Schreibweise angekommen ist, bei einem Schulkind oder bei einem Erwachsenen, der wieder einsteigt.

• Umwandeln in beide Richtungen: Können Sie 82.000 als 8,2 · 10⁴ und 3 · 10⁻² als 0,03 schreiben, ohne Taschenrechner?
• Vorzeichen nach Gefühl: Können Sie vor dem Zählen sagen, ob 0,0009 einen positiven oder negativen Exponenten bekommt?
• Normalform: Erkennen Sie, dass 45 · 10³ und 0,5 · 10³ nicht in wissenschaftlicher Schreibweise sind, und korrigieren Sie sie zu 4,5 · 10⁴ und 5 · 10²?
• Taschenrechner lesen: Können Sie 3,1E-5 laut als 3,1 · 10⁻⁵ lesen und als 0,000031 schreiben?
• Rechnen: Können Sie (4 · 10³) · (5 · 10⁶) multiplizieren und 20 · 10⁹ zu 2 · 10¹⁰ nachkorrigieren?

Ein Zehn-Minuten-Test für Schüler und Erwachsene

Ein Zehn-Minuten-Test nimmt je eine Aufgabe jeder Art aus der Liste oben, mit neuen Zahlen zweimal pro Woche über zwei Wochen. Prüfen Sie jedes Ergebnis, indem Sie es in die ausgeschriebene Zahl zurückwandeln, denn das deckt Vorzeichenfehler auf.

Erwachsene begegnen der wissenschaftlichen Schreibweise in Laborberichten, Speichergrößen, Staatshaushalten und Tabellenzellen, die plötzlich E+12 zeigen. Der Leitfaden als Erwachsener besser in Mathe werden beschreibt eine kurze tägliche Routine, und die Seite mit dem Mathespiel für Erwachsene sammelt Übungen für erwachsene Lernende.

Typische Fehler und Sonderfälle bei der wissenschaftlichen Schreibweise

Fünf Fehler verursachen die meisten falschen Antworten in wissenschaftlicher Schreibweise, und jeder hat eine schnelle Korrektur.

• Eine Vorzahl von 10 oder mehr: 45 · 10³ ist 45.000, aber nicht in wissenschaftlicher Schreibweise. Komma eine Stelle nach links und 1 addieren: 4,5 · 10⁴.
• Eine Vorzahl unter 1: 0,5 · 10³ ist 500, und die richtige Form ist 5 · 10².
• Das falsche Vorzeichen am Exponenten: 0,00072 = 7,2 · 10⁴ liegt um den Faktor 10⁸ daneben. Fragen Sie, ob die ursprüngliche Zahl groß oder klein war.
• Exponenten bei einer Summe addieren: (2 · 10³) + (3 · 10³) ist 5 · 10³, nicht 5 · 10⁶. Exponenten addiert man nur beim Multiplizieren.
• Nullen zählen statt Stellen: 2,5 · 10³ ist 2.500, nicht 2.500.000. Der Exponent zählt die Sprünge des Kommas, und 2,5 braucht nur 3 Sprünge, um 2.500 zu werden.

Negative Exponenten, negative Zahlen und 10⁰

Ein negativer Exponent macht keine negative Zahl: 7,2 · 10⁻⁴ ist 0,00072, ein kleiner positiver Wert. Eine negative Zahl behält ihr Minus vorne, also −45.000 = −4,5 · 10⁴. Der Leitfaden zu negativen Zahlen erklärt das Minuszeichen für sich.

Der Exponent 0 gilt für Zahlen von 1 bis unter 10, weil 10⁰ = 1. Also 7 = 7 · 10⁰ und 3,9 = 3,9 · 10⁰. Der Leitfaden Dezimalzahlen für Eltern zeigt, warum in 0,00072 die 7 an der Zehntausendstelstelle steht, und das ist der Grund für den Exponenten −4.

Ihre Checkliste zur wissenschaftlichen Schreibweise und die nächsten Schritte

• Vorzahl: mindestens 1 und kleiner als 10, ohne Nullen am Ende.
• Exponent: die Anzahl der Stellen, um die das Komma gewandert ist; positiv bei großen, negativ bei kleinen Zahlen.
• Probe: jedes Mal in die ausgeschriebene Zahl zurückwandeln.
• Multiplizieren oder Dividieren: erst die Vorzahlen, dann die Exponenten addieren oder subtrahieren, dann nachkorrigieren.
• Addieren oder Subtrahieren: zuerst die Zehnerpotenzen angleichen.
• Taschenrechner: E als „mal 10 hoch“ lesen.

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