Bilimsel gösterim: çok büyük ve çok küçük sayılar nasıl yazılır

Hesap makineniz bir kimya sorusunu 6,02E23 diye cevaplıyor, ödev kâğıdı da yaklaşık 150.000.000 km olan Güneş'e uzaklığın "bilimsel gösterimle" yazılmasını istiyor. İkisi de aynı soruyu doğurur: bilimsel gösterim nedir? Cevap, kısa bir sayı çarpı 10'un bir kuvvetidir. Bilimsel gösterim 150.000.000'u 1,5 × 10⁸'e çevirir ve virgülün nasıl kaydığını bir kez görünce her dönüşüm hızlanır.

Bilimsel gösterim nedir?

Bilimsel gösterim, her sayıyı a × 10ⁿ biçiminde yazmanın bir yoludur; burada a, 1'e eşit ya da 1'den büyük ve 10'dan küçüktür, n de bir tam sayıdır. MEB'in 2018 Matematik Dersi Öğretim Programı tanımı M.8.1.2.5 kazanımında verir: |a| 1 veya 1'den büyük, 10'dan küçük bir gerçek sayı ve n bir tam sayı olmak üzere a × 10ⁿ gösterimi "bilimsel gösterim"dir. OpenStax Prealgebra ders kitabı da kuralı a ≥ 1, a < 10 ve n bir tam sayı diye koyar. 4,5 × 10⁴'te öndeki sayı 4,5, üs de 4'tür.

Üs, kaç kez 10 ile çarpılacağını ya da 10'a bölüneceğini söyler. Pozitif bir üs sayıyı büyütür, yani 4,5 × 10⁴ = 45.000'dir; negatif bir üs küçültür, yani 7,2 × 10⁻⁴ = 0,00072'dir.

10'un kuvvetleri sağlam değilse üslü ifadeler rehberi 10³ = 1.000'i ve 10⁻⁴'ün arkasındaki negatif üsleri anlatır.

Türkiye'de bilimsel gösterim 8. sınıf konusudur ve M.8.1.2 "Üslü İfadeler" başlığı altında, çok büyük ve çok küçük sayılarla birlikte işlenir; program a'nın pozitif olduğu durumlarla sınırlı kalır. ABD'de de 8. sınıftadır: Common Core 8.EE.A.3 standardı çok büyük ya da çok küçük çoklukları tek bir rakam çarpı 10'un bir tam sayı kuvveti biçimindeki sayılarla tahmin etmeyi ister ve ABD nüfusunu 3 × 10⁸, dünya nüfusunu 7 × 10⁹ diye örnekler.

Bilim insanları ve hesap makineleri neden kullanır?

Bilim insanları ve hesap makineleri bilimsel gösterimi kullanır, çünkü anlamlı basamakları tutar ve sıfırları atar. NASA Güneş'in uzaklığını "yaklaşık 93 milyon mil (150 milyon kilometre)" diye verir; bu 1,5 × 10⁸ km'dir. NIST, Avogadro sabitini mol başına 6,022 140 76 × 10²³ olarak listeler; bu, virgülden önce 24 basamağı olan bir sayıdır.

Üs ayrıca bir sayının büyüklüğünü bir bakışta gösterir; 3 × 10⁸ ile 7 × 10⁹ arasında sıfır saymadan 20 kattan fazla fark olduğu görülür. Aynı alışkanlık metrik birimlerde de vardır: NIST'in SI önekleri tablosu kiloyu 10³, megayı 10⁶, gigayı 10⁹, miliyi 10⁻³, mikroyu 10⁻⁶ ve nanoyu 10⁻⁹ diye tanımlar.

Bir sayı adım adım bilimsel gösterimle nasıl yazılır?

Bir sayıyı bilimsel gösterimle yazmak beş adım sürer ve adımlar büyük ve küçük sayılarda aynı şekilde işler.

1. Virgülü sıfırdan farklı ilk rakamdan sonraya koyun. 45.000'de sıfırdan farklı ilk rakam 4'tür, dolayısıyla öndeki sayı 4,5 olur. 0,00072'de sıfırdan farklı ilk rakam 7'dir, dolayısıyla öndeki sayı 7,2 olur.
2. Kaydırmaları sayın. 45.000'de virgül son 0'ın arkasındadır ve 4 ile 5 arasına gelmek için 4 basamak sola kayar. 0,00072'de 7 ile 2 arasına gelmek için 4 basamak sağa kayar.
3. Üssün işaretini seçin. 10 ya da daha büyük bir sayı pozitif, 0 ile 1 arasındaki bir sayı negatif üs alır. Böylece 45.000 = 4,5 × 10⁴ ve 0,00072 = 7,2 × 10⁻⁴'tür.
4. Sondaki sıfırları atın. Öndeki sayı yalnızca önemli basamakları tutar; 4,5000, 4,5 olur. Ortadaki sıfırlar kalır; 306.000 = 3,06 × 10⁵'tir.
5. Geri çevirerek kontrol edin. Virgülü üs kadar öbür yöne kaydırın: 4,5 × 10⁴, 45.000 verir; 5,1 × 10⁻³ de 0,0051 verir. OpenStax aynı ters kuralı verir: pozitif bir üs virgülü sağa, negatif bir üs sola kaydırır.

Virgülün her zıplaması bir basamak değeridir; bilimsel gösterimin sıkıştırılmış bir basamak değeri olmasının nedeni budur. MEB programı da M.8.1.2.3'te ondalık gösterimleri 10'un tam sayı kuvvetleriyle çözümletir, örneğin 82,53 = 8 × 10¹ + 2 × 10⁰ + 5 × 10⁻¹ + 3 × 10⁻². Veliler için basamak değeri rehberi her zıplamanın arkasındaki sütunları gösterir, basamak değeri oyunu da onları tarayıcıda çalıştırır.

Tarayıcıda ücretsiz oynayınBasamak Değeri1–2. sınıf

En sık yapılan yanlış: işaret hangi yöne gider?

Üssün işareti, öğrencilerin en sık yanıldığı adımdır, çünkü büyük sayılarda virgül sola kayar ve üs yine de pozitiftir. Yön kuralını atlayın ve onun yerine tek bir soru sorun: ilk sayı 10'dan büyük mü, 1'den küçük mü?

Büyük bir sayı, 4,5'i yeniden 45.000'e büyütmek için pozitif bir üs ister. Küçük bir sayı, 7,2'yi 0,00072'ye küçültmek için negatif bir üs ister. 45.000 = 4,5 × 10⁻⁴ yazan öğrenci hatayı saniyeler içinde yakalayabilir, çünkü 10⁻⁴, 4,5'i 1'den küçük yapar.

Açık yazılış, bilimsel gösterim ve E gösterimi

Açık yazılış, bilimsel gösterim ve E gösterimi aynı değeri yazmanın üç yoludur ve adları ülkeden ülkeye değişir. ABD ders kitaplarında "standart biçim" sayının olağan yazılışıdır: OpenStax Prealgebra'nın doğal sayılar bölümü 77 milyar dolarlık bir bütçeyi "standart biçimde" 77.000.000.000 dolar diye yazar. İngiltere'de ise "standart biçim" a × 10ⁿ'nin kendisinin adıdır. Türkiye'de bu karışıklık yoktur: okulda kullanılan ad "bilimsel gösterim"dir.

İngiltere'nin ulusal matematik programı 3. anahtar aşamada, n pozitif ya da negatif bir tam sayı veya 0 olmak üzere, A × 10ⁿ (1 ≤ A < 10) standart biçimindeki sayıları yorumlamayı ve karşılaştırmayı ister. İngilizce bir çalışma kâğıdındaki "standart biçimi" okumadan önce kâğıdın hangi ülkeden geldiğine bakın.

Hesap makinesindeki E nasıl okunur?

Hesap makinesindeki E "çarpı 10 üzeri" demektir; 6,02E23, 6,02 × 10²³ ve 7,2E-4 de 7,2 × 10⁻⁴'tür. Cevap ekrana sığmayacak kadar uzun olduğunda ekran E'ye geçer. Bir tablo programı aynı sayıyı 1,5E+08 diye gösterebilir; buradaki artı işareti pozitif bir üssü belirtir.

Bilimsel gösterimi hesap makinesine girmek için EE ya da EXP yazan tuşu kullanın; bu tuş "çarpı 10 üzeri"ni tek basışta girer. Common Core 8.EE.A.4 standardı bu beceriyi doğrudan adlandırır: teknolojinin ürettiği bilimsel gösterimi yorumlamak.

Bilimsel gösterimle çarpma, bölme, toplama ve çıkarma

Bilimsel gösterim çarpmayı ve bölmeyi kolaylaştırır, çünkü öndeki sayılar ve 10'un kuvvetleri ayrı ayrı işlenir. OpenStax bunu tek satırda söyler: bilimsel gösterimdeki sayıları çarpmak ve bölmek için üslü ifadelerin özelliklerini kullanırız.

• Çarpma: öndeki sayıları çarpın ve üsleri toplayın. (3 × 10⁴) × (2 × 10⁵) = (3 × 2) × 10⁴⁺⁵ = 6 × 10⁹.
• Bölme: öndeki sayıları bölün ve üsleri çıkarın. (8 × 10⁶) ÷ (2 × 10²) = (8 ÷ 2) × 10⁶⁻² = 4 × 10⁴.
• Yeniden düzenleme: yeni öndeki sayı 10 ya da daha büyükse virgülü bir basamak sola kaydırın ve üsse 1 ekleyin. (4 × 10²) × (3 × 10¹) = 12 × 10³ = 1,2 × 10⁴.
• Aşağı doğru yeniden düzenleme: yeni öndeki sayı 1'den küçükse virgülü bir basamak sağa kaydırın ve üsten 1 çıkarın. (2 × 10³) ÷ (5 × 10⁷) = 0,4 × 10⁻⁴ = 4 × 10⁻⁵.

Öndeki sayılar ondalık gösterimlerdir, bu yüzden hesap ondalık hesaptır. Öndeki sayılar daha az düzgün olduğunda ondalık sayılarla çarpma ve bölme rehberi 1,5 × 2,4 ve 7,5 ÷ 0,25 gibi işlemleri anlatır.

Toplama ve çıkarma: önce üsleri eşitleyin

Bilimsel gösterimle toplama ve çıkarma, yalnızca iki sayı 10'un aynı kuvvetinde olduğunda işler. (3,2 × 10⁵) + (4,5 × 10⁴) için 4,5 × 10⁴'ü 0,45 × 10⁵ diye yeniden yazın. Sonra öndeki sayıları toplayın: 3,2 + 0,45 = 3,65; dolayısıyla toplam 3,65 × 10⁵ = 365.000'dir. MEB programı da M.8.1.2.4'te bir sayıyı 10'un farklı kuvvetleriyle yazmayı çalıştırır: 51,2 × 10⁵ = 512 × 10⁴ = 5,12 × 10⁶.

Çıkarma aynı kuralı izler. (5 × 10⁶) − (2 × 10⁵), (5 × 10⁶) − (0,2 × 10⁶) = 4,8 × 10⁶ olur; bu da 4.800.000'dir. Burada üsleri çarpmadaki gibi toplamak 3 × 10¹¹ gibi yanlış bir cevap verir; bu sayı yaklaşık 60.000 kat büyüktür.

Bilimsel gösterimde ilerleme nasıl kontrol edilir?

Beş hızlı işaret, ister 8. sınıftaki bir öğrenci ister konuya geri dönen bir yetişkin olsun, bilimsel gösterimin oturup oturmadığını gösterir.

• İki yönlü dönüşüm: Hesap makinesi olmadan 82.000'i 8,2 × 10⁴ diye ve 3 × 10⁻²'yi 0,03 diye yazabiliyor musunuz?
• İşaret sezgisi: Saymadan önce 0,0009'un pozitif mi negatif mi üs alacağını söyleyebiliyor musunuz?
• Doğru biçim: 45 × 10³ ile 0,5 × 10³'ün bilimsel gösterim olmadığını görüp onları 4,5 × 10⁴ ve 5 × 10² diye düzeltebiliyor musunuz?
• Hesap makinesi okuma: 3,1E-5'i 3,1 × 10⁻⁵ diye sesli okuyup 0,000031 diye yazabiliyor musunuz?
• İşlemler: (4 × 10³) × (5 × 10⁶) çarpımını yapıp 20 × 10⁹'u 2 × 10¹⁰ diye yeniden düzenleyebiliyor musunuz?

Öğrenciler ve yetişkinler için on dakikalık bir test

On dakikalık bir test, ilerleme listesindeki her türden birer soruyu iki hafta boyunca haftada iki kez yeni sayılarla kullanır. Her cevabı tam bir sayıya geri çevirerek puanlayın; bu, işaret hatalarını yakalar.

Yetişkinler bilimsel gösterimle laboratuvar raporlarında, veri depolama boyutlarında, ulusal bütçelerde ve birden E+12 gösteren tablo hücrelerinde karşılaşır. Yetişkin olarak matematikte nasıl daha iyi olunur rehberi kısa bir günlük rutini anlatır, yetişkinler için matematik oyunu sayfası da yetişkin öğrenenler için alıştırmaları bir araya getirir.

Bilimsel gösterimde sık yapılan hatalar ve sınır durumlar

Bilimsel gösterimdeki yanlış cevapların çoğunu beş hata doğurur ve her birinin hızlı bir düzeltmesi vardır.

• Öndeki sayı 10 ya da daha büyük: 45 × 10³, 45.000'e eşittir ama bilimsel gösterim değildir. Virgülü bir basamak sola kaydırın ve 1 ekleyin: 4,5 × 10⁴.
• Öndeki sayı 1'den küçük: 0,5 × 10³, 500'e eşittir ve doğru biçimi 5 × 10²'dir.
• Üsteki yanlış işaret: 0,00072 = 7,2 × 10⁴ yazmak 10⁸ kat hatalıdır. İlk sayının büyük mü küçük mü olduğunu sorun.
• Toplamada üsleri toplamak: (2 × 10³) + (3 × 10³), 5 × 10⁶ değil, 5 × 10³'tür. Üsler yalnızca çarpmada toplanır.
• Basamak yerine sıfır saymak: 2,5 × 10³, 2.500.000 değil, 2.500'dür. Üs virgülün kaymalarını sayar ve 2,5'in 2.500 olması için yalnızca 3 kayma gerekir.

Negatif üsler, negatif sayılar ve 10⁰

Negatif bir üs negatif bir sayı yapmaz: 7,2 × 10⁻⁴, 0,00072'dir, yani küçük pozitif bir değerdir. Negatif bir sayı eksi işaretini önde tutar, dolayısıyla −45.000 = −4,5 × 10⁴'tür. Negatif sayılar rehberi eksi işaretini ayrıca anlatır.

0 üssü 1 ile 10 arasındaki sayıları karşılar, çünkü 10⁰ = 1'dir. Böylece 7 = 7 × 10⁰ ve 3,9 = 3,9 × 10⁰'dır. Veliler için ondalık gösterim rehberi, 0,00072'deki 7'nin neden on binde birler basamağında olduğunu, yani −4 üssünün arkasındaki gerçeği gösterir.

Bilimsel gösterim kontrol listeniz ve sonraki adımlar

• Öndeki sayı: 1'e eşit ya da 1'den büyük ve 10'dan küçük, sonunda sıfır yok.
• Üs: virgülün kaç basamak kaydığı; büyük sayılarda pozitif, küçük sayılarda negatif.
• Kontrol: her seferinde tam bir sayıya geri çevirin.
• Çarpma ya da bölme: öndeki sayıları işleyin, sonra üsleri toplayın ya da çıkarın, sonra yeniden düzenleyin.
• Toplama ya da çıkarma: önce 10'un kuvvetlerini eşitleyin.
• Hesap makinesi: E'yi "çarpı 10 üzeri" diye okuyun.

Bilimsel gösterim basamak değerine, 10'un kuvvetlerine ve hızlı zihinden çarpmaya dayanır ve MathIt tam bu becerileri çalıştırır. MathIt, yaklaşık 90 oyun türü, uyarlanabilir zorluk, günlük alıştırma ve 2–5 kişilik gerçek zamanlı düellolar sunan, 33 dilde kullanılabilen ücretsiz bir iOS ve Android uygulamasıdır.