科学记数法讲解：用 a × 10ⁿ 写很大和很小的数

计算器给化学题算出一个 6.02E23，作业又要求把太阳和地球的距离，约 150000000 千米，“用科学记数法表示”。两件事问的是同一个问题：什么是科学记数法？答案是一个较短的数乘 10 的几次方。科学记数法把 150000000 写成 1.5 × 10⁸，看懂小数点是怎么移动的，每次转化都很快。

什么是科学记数法？

科学记数法是把任何数写成 a × 10ⁿ 的形式，其中 a 大于或等于 1 且小于 10，n 是整数；国内课本写成 1 ≤ |a| < 10，这样负数也能用。OpenStax《Prealgebra》给出的条件是：a ≥ 1 且 a < 10，n 是整数。在 4.5 × 10⁴ 里，前面的数是 4.5，指数是 4。

指数说明要乘或除以几次 10。正指数让数变大，所以 4.5 × 10⁴ = 45000；负指数让数变小，所以 7.2 × 10⁻⁴ = 0.00072。

如果 10 的乘方还不太熟，乘方这篇讲了 10³ = 1000，以及 10⁻⁴ 背后的负指数。

国内在初中第四学段学科学记数法。教育部《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求学生“了解整数指数幂的意义和基本性质；会用科学记数法表示数（包括在计算器上表示）”。常见教材在七年级上学期先用科学记数法表示大数，到学负整数指数幂时，再表示绝对值小于 1 的数。美国放在八年级：共同核心标准 8.EE.A.3 要求用“一位数乘 10 的整数次幂”估计很大或很小的量，例子是美国人口约 3 × 10⁸，世界人口约 7 × 10⁹。

为什么科学家和计算器都用它

科学家和计算器都用科学记数法，因为它留下有意义的数字，省掉一长串 0。NASA 给出的太阳距离是“约 9300 万英里（1.5 亿千米）”，也就是 1.5 × 10⁸ 千米。美国国家标准与技术研究院（NIST）给出的阿伏加德罗常数是 6.022 140 76 × 10²³ 每摩尔，这个数小数点前面有 24 位。

指数还能让人一眼看出数的大小，3 × 10⁸ 和 7 × 10⁹ 相差二十多倍，不用去数 0。公制单位里也是同样的习惯：NIST 的国际单位制词头表把千（k）定义为 10³，兆（M）为 10⁶，吉（G）为 10⁹，毫（m）为 10⁻³，微（μ）为 10⁻⁶，纳（n）为 10⁻⁹。

怎样用科学记数法表示一个数：一步一步来

用科学记数法表示一个数分五步，大数和小数的做法一样。

1. 把小数点放在第一个不是 0 的数字后面。 45000 里第一个不是 0 的数字是 4，所以前面的数是 4.5。0.00072 里第一个不是 0 的数字是 7，所以前面的数是 7.2。
2. 数移了几位。 45000 的小数点在最后一个 0 后面，向左移 4 位，落在 4 和 5 之间。0.00072 的小数点向右移 4 位，落在 7 和 2 之间。
3. 定指数的正负。 大于或等于 10 的数，指数是正的；0 和 1 之间的数，指数是负的。所以 45000 = 4.5 × 10⁴，0.00072 = 7.2 × 10⁻⁴。
4. 去掉末尾的 0。 前面的数只留有用的数字，所以 4.5000 写成 4.5。中间的 0 要保留，所以 306000 = 3.06 × 10⁵。
5. 还原验算。 按指数把小数点往反方向移：4.5 × 10⁴ 还原成 45000，5.1 × 10⁻³ 还原成 0.0051。OpenStax 的还原规则一样：正指数向右移小数点，负指数向左移。

小数点每跳一次就是一个数位，所以科学记数法就是数位的一种紧凑写法。写给家长的数位讲解讲了每一跳背后的数位，数位游戏可以在浏览器里练。

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最容易错的地方：指数的正负

指数的正负是最容易错的一步，因为大数的小数点向左移，指数却是正的。不用记方向规则，只问一个问题：原来的数比 10 大，还是比 1 小？

大数要用正指数，才能把 4.5 变回 45000。小数要用负指数，才能把 7.2 缩小到 0.00072。写出 45000 = 4.5 × 10⁻⁴ 的学生，几秒钟就能发现错误，因为乘 10⁻⁴ 会让 4.5 变得比 1 还小。

原数、科学记数法和 E 记数法

原数、科学记数法和 E 记数法是同一个值的三种写法，有些名称在不同国家意思不一样。把所有数字都写出来的叫原数；美国课本把这种写法叫“standard form”，OpenStax 讲整数的一章就把 770 亿美元的预算写成 $77,000,000,000。英格兰的“standard form”却正好是 a × 10ⁿ 本身。

英格兰的数学国家课程要求 Key Stage 3（大致是 11 到 14 岁）的学生理解和比较 A × 10ⁿ 形式的数，其中 1 ≤ A < 10，n 是正整数、负整数或 0。用英文练习题时，先看清题目来自哪个国家，再理解它的“standard form”。

计算器上的 E 怎么读

计算器上的 E 表示“乘 10 的几次方”，所以 6.02E23 就是 6.02 × 10²³，7.2E-4 就是 7.2 × 10⁻⁴。结果太长、屏幕放不下时，就会改用 E 显示。电子表格可能把同一个数显示成 1.5E+08，加号表示指数是正的。

在计算器上输入科学记数法，用标着 EE 或 EXP 的键，按一下就输入了“乘 10 的几次方”。课程标准写的“包括在计算器上表示”，美国标准 8.EE.A.4 也写明：要能读懂计算器等技术工具生成的科学记数法。

科学记数法的乘、除、加、减怎么算

科学记数法做乘除很方便，因为前面的数和 10 的幂可以分开算。OpenStax 一句话就说清了：用幂的运算性质来做科学记数法的乘除。

• 乘： 前面的数相乘，指数相加。(3 × 10⁴) × (2 × 10⁵) = (3 × 2) × 10⁴⁺⁵ = 6 × 10⁹。
• 除： 前面的数相除，指数相减。(8 × 10⁶) ÷ (2 × 10²) = (8 ÷ 2) × 10⁶⁻² = 4 × 10⁴。
• 重新规范（往上）： 新的前数大于或等于 10，小数点左移一位，指数加 1。(4 × 10²) × (3 × 10¹) = 12 × 10³ = 1.2 × 10⁴。
• 重新规范（往下）： 新的前数小于 1，小数点右移一位，指数减 1。(2 × 10³) ÷ (5 × 10⁷) = 0.4 × 10⁻⁴ = 4 × 10⁻⁵。

前面的数是小数，所以这里做的是小数运算。前面的数不那么整齐时，比如 1.5 × 2.4 和 7.5 ÷ 0.25，见小数乘法和小数除法。

加减法：先把指数化成一样

科学记数法相加减，只有在两个数是 10 的同一次幂时才能直接算。(3.2 × 10⁵) + (4.5 × 10⁴)，先把 4.5 × 10⁴ 写成 0.45 × 10⁵，再把前面的数相加：3.2 + 0.45 = 3.65，所以和是 3.65 × 10⁵ = 365000。

减法也一样。(5 × 10⁶) − (2 × 10⁵) 变成 (5 × 10⁶) − (0.2 × 10⁶) = 4.8 × 10⁶，也就是 4800000。如果像乘法那样把指数相加，会得到 3 × 10¹¹ 这样的错答，大了约 6 万倍。

怎么检查是否学会了科学记数法

五个快速信号，能看出科学记数法有没有学会，不管是初中生，还是重新捡起数学的大人。

• 双向转化： 不用计算器，能把 82000 写成 8.2 × 10⁴，把 3 × 10⁻² 写成 0.03 吗？
• 凭感觉定正负： 不数位数，能先说出 0.0009 的指数是正还是负吗？
• 规范形式： 能看出 45 × 10³ 和 0.5 × 10³ 都不是科学记数法，并改成 4.5 × 10⁴ 和 5 × 10² 吗？
• 读计算器： 能把 3.1E-5 读成 3.1 × 10⁻⁵，再写成 0.000031 吗？
• 运算： 能算出 (4 × 10³) × (5 × 10⁶)，再把 20 × 10⁹ 规范成 2 × 10¹⁰ 吗？

给学生和成年人的十分钟小测

十分钟小测从上面的信号里每类各出一道，每周两次、连续两周，每次换新数。批改时把每个答案还原成原数，指数正负写错就能查出来。

成年人会在实验报告、存储容量、国家预算和突然显示 E+12 的表格单元格里碰到科学记数法。成年人怎样把数学学好讲了每天短时练习的办法，成人数学游戏页面集中了给成年人的练习。

科学记数法的常见错误和特殊情况

科学记数法的错答大多出自五种错误，每种都有一个快速的纠正办法。

• 前面的数大于或等于 10： 45 × 10³ 等于 45000，但不是科学记数法。小数点左移一位，指数加 1：4.5 × 10⁴。
• 前面的数小于 1： 0.5 × 10³ 等于 500，正确的写法是 5 × 10²。
• 指数正负写反： 0.00072 = 7.2 × 10⁴ 差了 10⁸ 倍。先问原来的数是大还是小。
• 加法里把指数相加： (2 × 10³) + (3 × 10³) 是 5 × 10³，不是 5 × 10⁶。只有乘法才把指数相加。
• 数 0 而不是数位数： 2.5 × 10³ 是 2500，不是 2500000。指数数的是小数点移动的位数，2.5 变成 2500 只要移 3 位。

负指数、负数和 10⁰

负指数不表示负数：7.2 × 10⁻⁴ 是 0.00072，一个很小的正数。负数把负号写在最前面，所以 −45000 = −4.5 × 10⁴。负号本身的意义见负数讲解。

指数 0 用来表示 1 到 10 之间的数，因为 10⁰ = 1。所以 7 = 7 × 10⁰，3.9 = 3.9 × 10⁰。写给家长的小数讲解讲了为什么 0.00072 的 7 在万分位，这正是指数是 −4 的原因。

科学记数法检查清单和下一步

• 前面的数： 大于或等于 1 且小于 10，末尾不留 0。
• 指数： 小数点移动的位数；大数为正，小数为负。
• 验算： 每次都还原成原数检查。
• 乘或除： 先算前面的数，再把指数相加或相减，最后重新规范。
• 加或减： 先把 10 的幂化成一样。
• 计算器： 把 E 读作“乘 10 的几次方”。

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