L'écriture scientifique : comment écrire les très grands et les très petits nombres

Votre calculatrice répond 6.02E23 à un exercice de chimie, et la fiche de physique veut la distance de la Terre au Soleil, environ 150 000 000 km, écrite « en notation scientifique ». Les deux posent la même question, ce qu'est la notation scientifique, et la réponse est un nombre court multiplié par une puissance de 10. La notation scientifique transforme 150 000 000 en 1,5 × 10⁸, et une fois qu'on voit comment la virgule se déplace, chaque conversion devient rapide.

Qu'est-ce que la notation scientifique ?

La notation scientifique, qu'on appelle aussi écriture scientifique, écrit n'importe quel nombre sous la forme a × 10ⁿ, où a est au moins égal à 1 et strictement inférieur à 10, et n est un entier relatif. Le manuel OpenStax Prealgebra donne la règle a ≥ 1, a < 10 et n entier. Dans 4,5 × 10⁴, le nombre de devant est 4,5 et l'exposant est 4.

L'exposant indique combien de fois on multiplie ou on divise par 10. Un exposant positif agrandit le nombre, donc 4,5 × 10⁴ = 45 000, et un exposant négatif le rapetisse, donc 7,2 × 10⁻⁴ = 0,00072.

Si les puissances de 10 sont fragiles, le guide sur les puissances revient sur 10³ = 1 000 et sur les exposants négatifs derrière 10⁻⁴.

En France, la notation scientifique se travaille en 3e. Le programme de mathématiques du cycle 4 demande alors de « définir les puissances d'exposant négatif d'un nombre » et de « déterminer la notation scientifique d'un nombre », après les puissances d'exposant positif en 4e. Il ajoute que les puissances de dix s'appuient sur de grands nombres tirés de l'astronomie ou de l'informatique, et sur les sciences de l'atome ou les nanotechnologies pour les exposants négatifs. Aux États-Unis, le standard Common Core 8.EE.A.3 place le sujet en grade 8, l'équivalent de la 4e, avec la population des États-Unis estimée à 3 × 10⁸ et celle du monde à 7 × 10⁹.

Pourquoi les scientifiques et les calculatrices l'utilisent

Les scientifiques et les calculatrices utilisent la notation scientifique parce qu'elle garde les chiffres utiles et supprime les zéros. La NASA donne la distance du Soleil comme environ 150 millions de kilomètres, soit 1,5 × 10⁸ km. Le NIST donne la constante d'Avogadro : 6,022 140 76 × 10²³ par mole, un nombre à 24 chiffres avant la virgule.

L'exposant montre aussi l'ordre de grandeur d'un coup d'œil, donc 3 × 10⁸ et 7 × 10⁹ diffèrent d'un facteur supérieur à 20 sans compter les zéros. La même habitude se retrouve dans les unités : la table des préfixes SI du NIST définit kilo comme 10³, méga comme 10⁶, giga comme 10⁹, milli comme 10⁻³, micro comme 10⁻⁶ et nano comme 10⁻⁹. Le programme du cycle 4 introduit justement « les préfixes des puissances de dix de nano à giga ».

Comment écrire un nombre en notation scientifique, étape par étape

Écrire un nombre en notation scientifique demande cinq étapes, et elles marchent de la même façon pour les grands et les petits nombres.

1. Placez la virgule après le premier chiffre non nul. Dans 45 000, le premier chiffre non nul est 4, donc le nombre de devant devient 4,5. Dans 0,00072, le premier chiffre non nul est 7, donc le nombre de devant devient 7,2.
2. Comptez les déplacements. Dans 45 000, la virgule est après le dernier 0 et se déplace de 4 rangs vers la gauche pour arriver entre 4 et 5. Dans 0,00072, elle se déplace de 4 rangs vers la droite pour arriver entre 7 et 2.
3. Choisissez le signe de l'exposant. Un nombre de 10 ou plus reçoit un exposant positif, et un nombre entre 0 et 1 un exposant négatif. Donc 45 000 = 4,5 × 10⁴ et 0,00072 = 7,2 × 10⁻⁴.
4. Supprimez les zéros inutiles à droite. Le nombre de devant ne garde que les chiffres utiles, donc 4,5000 devient 4,5. Les zéros du milieu restent, donc 306 000 = 3,06 × 10⁵.
5. Vérifiez en revenant à l'écriture décimale. Déplacez la virgule dans l'autre sens du nombre de rangs indiqué : 4,5 × 10⁴ donne 45 000, et 5,1 × 10⁻³ donne 0,0051. OpenStax donne la même règle inverse : un exposant positif déplace la virgule vers la droite, un exposant négatif vers la gauche.

Chaque saut de la virgule correspond à un rang, et c'est pourquoi la notation scientifique est la numération de position sous une forme compacte. Le guide sur la valeur de position expliquée aux parents montre les colonnes derrière chaque saut, et le jeu de la valeur de position les entraîne dans le navigateur.

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L'erreur fréquente : le sens du signe

Le signe de l'exposant est l'étape la plus souvent ratée, parce que la virgule part vers la gauche pour les grands nombres alors que l'exposant reste positif. Oubliez la règle de direction et posez plutôt une seule question : le nombre de départ est-il plus grand que 10 ou plus petit que 1 ?

Un grand nombre a besoin d'un exposant positif pour faire grandir 4,5 jusqu'à 45 000. Un petit nombre a besoin d'un exposant négatif pour réduire 7,2 jusqu'à 0,00072. Un élève qui écrit 45 000 = 4,5 × 10⁻⁴ peut repérer l'erreur en quelques secondes, car 10⁻⁴ rend 4,5 plus petit que 1.

Écriture décimale, notation scientifique et notation E

L'écriture décimale, la notation scientifique et la notation E sont trois façons d'écrire la même valeur, et les noms changent d'un pays à l'autre. En France, l'écriture ordinaire s'appelle l'écriture décimale, et a × 10ⁿ s'appelle notation scientifique dans le programme et écriture scientifique dans beaucoup de manuels. En Angleterre, a × 10ⁿ s'appelle standard form, alors qu'aux États-Unis ce nom désigne l'écriture ordinaire : le chapitre d'OpenStax Prealgebra sur les nombres entiers écrit ainsi un budget de 77 milliards de dollars avec tous ses zéros.

Le programme national anglais de mathématiques demande en Key Stage 3 d'interpréter et de comparer des nombres écrits sous la forme A × 10ⁿ avec 1 ≤ A < 10. Si une fiche vient d'un site anglophone, vérifiez ce que désigne son standard form avant de la lire.

Comment lire le E d'une calculatrice

Le E d'une calculatrice signifie « fois 10 puissance », donc 6.02E23 vaut 6,02 × 10²³ et 7.2E-4 vaut 7,2 × 10⁻⁴. L'écran passe à cet affichage quand le résultat est trop long. Un tableur réglé en français peut afficher le même nombre sous la forme 1,50E+08, où le signe plus marque un exposant positif.

Pour taper un nombre en notation scientifique, utilisez la touche marquée ×10ˣ, EE ou EXP selon le modèle, qui saisit « fois 10 puissance » en une seule pression. Le standard Common Core 8.EE.A.4 nomme cette compétence : interpréter une notation scientifique produite par un outil numérique.

Multiplier, diviser, additionner et soustraire en notation scientifique

La notation scientifique rend la multiplication et la division faciles, car on traite séparément les nombres de devant et les puissances de 10. OpenStax le résume en une ligne : on utilise les propriétés des puissances pour multiplier et diviser en notation scientifique.

• Multiplier : multipliez les nombres de devant et additionnez les exposants. (3 × 10⁴) × (2 × 10⁵) = (3 × 2) × 10⁴⁺⁵ = 6 × 10⁹.
• Diviser : divisez les nombres de devant et soustrayez les exposants. (8 × 10⁶) : (2 × 10²) = (8 : 2) × 10⁶⁻² = 4 × 10⁴.
• Remettre en forme : si le nouveau nombre de devant vaut 10 ou plus, décalez la virgule d'un rang vers la gauche et ajoutez 1 à l'exposant. (4 × 10²) × (3 × 10¹) = 12 × 10³ = 1,2 × 10⁴.
• Remettre en forme vers le bas : si le nouveau nombre de devant est inférieur à 1, décalez la virgule d'un rang vers la droite et retirez 1. (2 × 10³) : (5 × 10⁷) = 0,4 × 10⁻⁴ = 4 × 10⁻⁵.

Les nombres de devant sont des décimaux, donc le calcul est un calcul sur les décimaux. Le guide sur la multiplication et la division des nombres décimaux traite de 1,5 × 2,4 et de 7,5 : 0,25 quand les nombres de devant sont moins simples.

Additionner et soustraire : d'abord les mêmes exposants

Additionner et soustraire en notation scientifique ne marche que si les deux nombres ont la même puissance de 10. Pour (3,2 × 10⁵) + (4,5 × 10⁴), réécrivez 4,5 × 10⁴ sous la forme 0,45 × 10⁵. Additionnez ensuite les nombres de devant : 3,2 + 0,45 = 3,65, donc la somme vaut 3,65 × 10⁵ = 365 000.

La soustraction suit la même règle. (5 × 10⁶) − (2 × 10⁵) devient (5 × 10⁶) − (0,2 × 10⁶) = 4,8 × 10⁶, soit 4 800 000. Additionner les exposants ici, comme dans une multiplication, donne une réponse fausse comme 3 × 10¹¹, un nombre environ 60 000 fois trop grand.

Comment vérifier les progrès en notation scientifique

Cinq signaux rapides montrent si la notation scientifique est acquise, pour un élève de 3e comme pour un adulte qui s'y remet.

• Conversion dans les deux sens : savez-vous écrire 82 000 = 8,2 × 10⁴ et 3 × 10⁻² = 0,03 sans calculatrice ?
• Le signe par le bon sens : pouvez-vous dire, avant de compter, si 0,0009 reçoit un exposant positif ou négatif ?
• La bonne forme : repérez-vous que 45 × 10³ et 0,5 × 10³ ne sont pas en notation scientifique, et les corrigez-vous en 4,5 × 10⁴ et 5 × 10² ?
• Lecture de la calculatrice : lisez-vous 3.1E-5 comme 3,1 × 10⁻⁵ et l'écrivez-vous 0,000031 ?
• Opérations : savez-vous multiplier (4 × 10³) × (5 × 10⁶) et remettre 20 × 10⁹ en forme, soit 2 × 10¹⁰ ?

Un test de dix minutes pour les élèves et les adultes

Un test de dix minutes reprend une question de chaque type de la liste, avec de nouveaux nombres deux fois par semaine pendant deux semaines. Corrigez chaque réponse en revenant à l'écriture décimale complète, ce qui attrape les erreurs de signe.

Les adultes rencontrent la notation scientifique dans les comptes rendus de laboratoire, les tailles de stockage, les budgets publics et les cellules de tableur qui affichent soudain E+12. Le guide pour progresser en maths à l'âge adulte propose une courte routine quotidienne, et la page du jeu de maths pour adultes rassemble l'entraînement des apprenants adultes.

Erreurs fréquentes et cas particuliers en notation scientifique

Cinq erreurs causent la plupart des mauvaises réponses en notation scientifique, et chacune a un remède rapide.

• Un nombre de devant de 10 ou plus : 45 × 10³ vaut 45 000, mais n'est pas en notation scientifique. Décalez la virgule d'un rang vers la gauche et ajoutez 1 : 4,5 × 10⁴.
• Un nombre de devant inférieur à 1 : 0,5 × 10³ vaut 500, et la bonne écriture est 5 × 10².
• Le mauvais signe d'exposant : 0,00072 = 7,2 × 10⁴ se trompe d'un facteur 10⁸. Demandez-vous si le nombre de départ était grand ou petit.
• Additionner les exposants dans une somme : (2 × 10³) + (3 × 10³) vaut 5 × 10³, pas 5 × 10⁶. Les exposants ne s'additionnent que dans une multiplication.
• Compter les zéros au lieu des rangs : 2,5 × 10³ vaut 2 500, pas 2 500 000. L'exposant compte les déplacements de la virgule, et 2,5 n'a besoin que de 3 déplacements pour devenir 2 500.

Exposants négatifs, nombres négatifs et 10⁰

Un exposant négatif ne donne pas un nombre négatif : 7,2 × 10⁻⁴ vaut 0,00072, une petite valeur positive. Un nombre négatif garde son signe moins devant, donc −45 000 = −4,5 × 10⁴. Le guide sur les nombres négatifs traite du signe moins à part.

L'exposant 0 couvre les nombres de 1 à 10, car 10⁰ = 1. Ainsi 7 = 7 × 10⁰ et 3,9 = 3,9 × 10⁰. Le guide sur les nombres décimaux expliqués aux parents montre pourquoi le 7 de 0,00072 est au rang des dix-millièmes, ce qui explique l'exposant −4.

Votre liste de contrôle sur la notation scientifique et la suite

• Nombre de devant : au moins 1 et strictement moins de 10, sans zéros inutiles à droite.
• Exposant : le nombre de rangs dont la virgule s'est déplacée ; positif pour les grands nombres, négatif pour les petits.
• Vérifier : revenez à l'écriture décimale complète à chaque fois.
• Multiplier ou diviser : traitez les nombres de devant, puis additionnez ou soustrayez les exposants, puis remettez en forme.
• Additionner ou soustraire : donnez d'abord la même puissance de 10 aux deux nombres.
• Calculatrice : lisez E comme « fois 10 puissance ».

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