Notação científica: como escrever números muito grandes e muito pequenos

A calculadora responde um problema de química com 6,02E23, e a lição de casa pede a distância até o Sol, cerca de 150.000.000 km, escrita "em notação científica". As duas coisas levantam a mesma pergunta, o que é notação científica, e a resposta é um número curto vezes uma potência de 10. A notação científica transforma 150.000.000 em 1,5 × 10⁸, e quando você vê como a vírgula anda, toda conversão fica rápida.

O que é notação científica?

A notação científica é um jeito de escrever qualquer número como a × 10ⁿ, em que a é maior ou igual a 1 e menor que 10, e n é um número inteiro. O livro OpenStax Prealgebra dá a regra como a ≥ 1, a < 10 e n inteiro. Em 4,5 × 10⁴, o número da frente é 4,5 e o expoente é 4.

O expoente diz quantas vezes multiplicar ou dividir por 10. Um expoente positivo deixa o número maior, então 4,5 × 10⁴ = 45.000, e um expoente negativo deixa o número menor, então 7,2 × 10⁻⁴ = 0,00072.

Se as potências de 10 estão inseguras, o guia de potenciação explica 10³ = 1.000 e os expoentes negativos por trás de 10⁻⁴.

No Brasil, a notação científica é assunto do 8º ano. A BNCC pede "efetuar cálculos com potências de expoentes inteiros e aplicar esse conhecimento na representação de números em notação científica" (EF08MA01), e no 9º ano "resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica" (EF09MA04). Nos Estados Unidos, o padrão 8.EE.A.3 do Common Core também é do 8º ano, com o exemplo da população americana como 3 × 10⁸ e da população mundial como 7 × 10⁹.

Por que cientistas e calculadoras usam a notação científica

Cientistas e calculadoras usam a notação científica porque ela guarda os algarismos que importam e descarta os zeros. A NASA dá a distância até o Sol como cerca de 93 milhões de milhas (150 milhões de quilômetros), que é 1,5 × 10⁸ km. O NIST lista a constante de Avogadro como 6,022 140 76 × 10²³ por mol, um número com 24 algarismos antes da vírgula.

O expoente também mostra o tamanho do número numa olhada, então 3 × 10⁸ e 7 × 10⁹ diferem por um fator de mais de 20 sem contar zeros. O mesmo hábito aparece nas unidades do sistema métrico: a tabela de prefixos do SI do NIST define quilo como 10³, mega como 10⁶, giga como 10⁹, mili como 10⁻³, micro como 10⁻⁶ e nano como 10⁻⁹. A BNCC pede no 9º ano reconhecer unidades para medidas muito grandes ou muito pequenas, como a "capacidade de armazenamento de computadores" (EF09MA18).

Como escrever um número em notação científica, passo a passo

Escrever um número em notação científica leva cinco passos, e eles funcionam do mesmo jeito para números grandes e pequenos.

1. Ponha a vírgula depois do primeiro algarismo diferente de zero. Em 45.000, o primeiro algarismo diferente de zero é 4, então o número da frente vira 4,5. Em 0,00072, o primeiro é 7, então o número da frente vira 7,2.
2. Conte as casas. Em 45.000, a vírgula fica depois do último 0 e anda 4 casas para a esquerda até parar entre o 4 e o 5. Em 0,00072, ela anda 4 casas para a direita até parar entre o 7 e o 2.
3. Escolha o sinal do expoente. Um número de 10 ou mais recebe expoente positivo, e um número entre 0 e 1 recebe expoente negativo. Então 45.000 = 4,5 × 10⁴ e 0,00072 = 7,2 × 10⁻⁴.
4. Tire os zeros do final. O número da frente guarda só os algarismos que importam, então 4,5000 vira 4,5. Os zeros do meio ficam, então 306.000 = 3,06 × 10⁵.
5. Confira convertendo de volta. Mova a vírgula no sentido contrário, tantas casas quanto o expoente: 4,5 × 10⁴ dá 45.000, e 5,1 × 10⁻³ dá 0,0051. O OpenStax dá a mesma regra inversa: expoente positivo leva a vírgula para a direita, e expoente negativo leva para a esquerda.

Cada pulo da vírgula é uma ordem do valor posicional, e é por isso que a notação científica é o valor posicional numa forma compacta. O guia de valor posicional para pais mostra as colunas por trás de cada pulo, e o jogo de valor posicional treina isso no navegador.

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O erro mais comum: para que lado vai o sinal

O sinal do expoente é o passo que os alunos mais erram, porque a vírgula anda para a esquerda nos números grandes e mesmo assim o expoente é positivo. Esqueça a regra da direção e faça uma pergunta só: o número original é maior que 10 ou menor que 1?

Um número grande precisa de expoente positivo para 4,5 crescer de volta até 45.000. Um número pequeno precisa de expoente negativo para 7,2 encolher até 0,00072. O aluno que escreve 45.000 = 4,5 × 10⁻⁴ pega o erro em segundos, porque 10⁻⁴ deixa 4,5 menor que 1.

Forma usual, notação científica e notação E

A forma usual, a notação científica e a notação E são três jeitos de escrever o mesmo valor, e os nomes mudam de país para país. Nos livros americanos, "standard form" quer dizer o numeral comum: o capítulo de números naturais do OpenStax Prealgebra escreve um orçamento de 77 bilhões de dólares nessa forma como $77,000,000,000. Na Inglaterra, "standard form" é o nome da própria forma a × 10ⁿ. No Brasil, fala-se simplesmente em notação científica.

O currículo nacional de matemática da Inglaterra pede no Key Stage 3 (11 a 14 anos) interpretar e comparar números na forma A × 10ⁿ, com 1 ≤ A < 10 e n inteiro positivo, negativo ou 0. Confira de que país vem um material antes de traduzir o nome de uma forma.

Como ler o E da calculadora

O E da calculadora quer dizer "vezes 10 elevado a", então 6,02E23 é 6,02 × 10²³ e 7,2E-4 é 7,2 × 10⁻⁴. O visor passa para o E quando a resposta é comprida demais para a tela. Uma planilha em português pode mostrar o mesmo número como 1,50E+08, em que o sinal de mais marca um expoente positivo.

Para digitar notação científica numa calculadora, use a tecla EE ou EXP, que insere "vezes 10 elevado a" num toque só. O padrão 8.EE.A.4 do Common Core cita essa habilidade: interpretar a notação científica gerada pela tecnologia.

Como multiplicar, dividir, somar e subtrair em notação científica

A notação científica facilita a multiplicação e a divisão, porque os números da frente e as potências de 10 são tratados separadamente. O OpenStax resume numa linha: usam-se as propriedades das potências para multiplicar e dividir números em notação científica.

• Multiplicar: multiplique os números da frente e some os expoentes. (3 × 10⁴) × (2 × 10⁵) = (3 × 2) × 10⁴⁺⁵ = 6 × 10⁹.
• Dividir: divida os números da frente e subtraia os expoentes. (8 × 10⁶) ÷ (2 × 10²) = (8 ÷ 2) × 10⁶⁻² = 4 × 10⁴.
• Ajustar para cima: se o novo número da frente for 10 ou mais, mova a vírgula uma casa para a esquerda e some 1 ao expoente. (4 × 10²) × (3 × 10¹) = 12 × 10³ = 1,2 × 10⁴.
• Ajustar para baixo: se o novo número da frente for menor que 1, mova a vírgula uma casa para a direita e subtraia 1. (2 × 10³) ÷ (5 × 10⁷) = 0,4 × 10⁻⁴ = 4 × 10⁻⁵.

Os números da frente são decimais, então a conta é de números decimais. O guia de multiplicação e divisão de números decimais explica 1,5 × 2,4 e 7,5 ÷ 0,25 quando os números da frente são menos redondos.

Somar e subtrair: iguale os expoentes antes

Somar e subtrair em notação científica só funciona quando os dois números têm a mesma potência de 10. Em (3,2 × 10⁵) + (4,5 × 10⁴), reescreva 4,5 × 10⁴ como 0,45 × 10⁵. Depois some os números da frente: 3,2 + 0,45 = 3,65, então a soma é 3,65 × 10⁵ = 365.000.

A subtração segue a mesma regra. (5 × 10⁶) − (2 × 10⁵) vira (5 × 10⁶) − (0,2 × 10⁶) = 4,8 × 10⁶, que é 4.800.000. Somar os expoentes aqui, como na multiplicação, dá uma resposta errada como 3 × 10¹¹, um número cerca de 60.000 vezes grande demais.

Como acompanhar o progresso com notação científica

Cinco sinais rápidos mostram se a notação científica foi entendida, para um aluno do 8º ano ou para um adulto que está voltando ao assunto.

• Conversão nos dois sentidos: Você escreve 82.000 como 8,2 × 10⁴ e 3 × 10⁻² como 0,03 sem calculadora?
• Sinal pelo bom senso: Você diz, antes de contar, se 0,0009 recebe expoente positivo ou negativo?
• Forma correta: Você percebe que 45 × 10³ e 0,5 × 10³ não estão em notação científica e corrige para 4,5 × 10⁴ e 5 × 10²?
• Leitura da calculadora: Você lê 3,1E-5 em voz alta como 3,1 × 10⁻⁵ e escreve 0,000031?
• Operações: Você multiplica (4 × 10³) × (5 × 10⁶) e ajusta 20 × 10⁹ para 2 × 10¹⁰?

Um teste de dez minutos para alunos e adultos

Um teste de dez minutos usa uma questão de cada tipo da lista acima, com números novos duas vezes por semana durante duas semanas. Corrija cada resposta convertendo-a de volta para o numeral completo, o que pega os erros de sinal.

Os adultos encontram notação científica em relatórios de laboratório, tamanhos de armazenamento de dados, orçamentos públicos e células de planilha que de repente mostram E+12. O guia sobre como melhorar em matemática depois de adulto traz uma rotina diária curta, e a página do jogo de matemática para adultos reúne prática para quem aprende já crescido.

Erros comuns e casos especiais na notação científica

Cinco erros causam a maioria das respostas erradas em notação científica, e cada um tem uma correção rápida.

• Número da frente de 10 ou mais: 45 × 10³ vale 45.000, mas não está em notação científica. Mova a vírgula uma casa para a esquerda e some 1: 4,5 × 10⁴.
• Número da frente abaixo de 1: 0,5 × 10³ vale 500, e a forma correta é 5 × 10².
• Sinal errado no expoente: 0,00072 = 7,2 × 10⁴ erra por um fator de 10⁸. Pergunte se o original era grande ou pequeno.
• Somar expoentes numa soma: (2 × 10³) + (3 × 10³) é 5 × 10³, não 5 × 10⁶. Os expoentes só se somam na multiplicação.
• Contar zeros em vez de casas: 2,5 × 10³ é 2.500, não 2.500.000. O expoente conta as casas que a vírgula anda, e 2,5 precisa de só 3 casas para virar 2.500.

Expoentes negativos, números negativos e 10⁰

Um expoente negativo não gera um número negativo: 7,2 × 10⁻⁴ é 0,00072, um valor positivo pequeno. Um número negativo mantém o sinal de menos na frente, então −45.000 = −4,5 × 10⁴. O guia de números negativos trata do sinal de menos sozinho.

O expoente 0 cobre os números de 1 até 10, porque 10⁰ = 1. Então 7 = 7 × 10⁰ e 3,9 = 3,9 × 10⁰. O guia de números decimais para pais mostra por que o 7 de 0,00072 está na casa dos décimos de milésimo, o fato por trás do expoente −4.

Sua lista de verificação de notação científica e próximos passos

• Número da frente: maior ou igual a 1 e menor que 10, sem zeros no final.
• Expoente: o número de casas que a vírgula andou; positivo para números grandes, negativo para pequenos.
• Confira: converta de volta para o numeral completo todas as vezes.
• Multiplicar ou dividir: cuide dos números da frente, depois some ou subtraia os expoentes e ajuste.
• Somar ou subtrair: iguale as potências de 10 antes.
• Calculadora: leia o E como "vezes 10 elevado a".

A notação científica se apoia no valor posicional, nas potências de 10 e na multiplicação mental rápida, e são essas as habilidades que o MathIt treina. O MathIt é um app gratuito para iOS e Android com cerca de 90 tipos de jogos, dificuldade adaptativa, prática diária e batalhas em tempo real de 2 a 5 jogadores, disponível em 33 idiomas.