Standardform forklart: tall som a × 10ⁿ, med eksempler

Kalkulatoren svarer på en kjemioppgave med 6,02E23, og leksearket vil ha avstanden til sola, omtrent 150 000 000 km, skrevet «på standardform». Begge reiser det samme spørsmålet, hva er standardform, og svaret er et kort tall ganget med en tierpotens. Standardform gjør 150 000 000 om til 1,5 × 10⁸, og når du ser hvordan kommaet flytter seg, går hver omgjøring raskt.

Hva er standardform?

Standardform er en måte å skrive et hvilket som helst tall som a × 10ⁿ, der a er minst 1 og mindre enn 10, og n er et helt tall. Læreboka OpenStax Prealgebra sier regelen slik: «a≥1 og a<10 og n er et helt tall». I 4,5 × 10⁴ er tallet foran 4,5, og eksponenten er 4.

Eksponenten forteller hvor mange ganger du skal gange eller dele med 10. En positiv eksponent gjør tallet større, så 4,5 × 10⁴ = 45 000, og en negativ eksponent gjør det mindre, så 7,2 × 10⁻⁴ = 0,00072.

Føles tierpotensene usikre, dekker guiden om potenser 10³ = 1 000 og de negative eksponentene bak 10⁻⁴.

I Norge er standardform ikke nevnt med navn i LK20, men den bygger på potenser: etter 8. trinn skal eleven kunne «regne med potenser og kvadratrøtter og forklare framgangsmåter og resultater», ifølge kompetansemålene etter 8. trinn. I USA hører det samme temaet til åttende skoleår. Common Core-standarden 8.EE.A.3 ber elevene «bruke tall skrevet som ett siffer ganger en heltallspotens av 10 til å anslå svært store eller svært små mengder», med USAs folketall som 3 × 10⁸ og verdens folketall som 7 × 10⁹ som eksempler.

Hvorfor forskere og kalkulatorer bruker den

Forskere og kalkulatorer bruker standardform fordi den beholder de sifrene som betyr noe, og dropper nullene. NASA oppgir avstanden til sola som «omtrent 93 millioner miles (150 millioner kilometer)», som er 1,5 × 10⁸ km. NIST oppgir Avogadros konstant som 6,022 140 76 × 10²³ per mol, et tall med 24 sifre foran kommaet.

Eksponenten viser også størrelsen på et tall med ett blikk, så 3 × 10⁸ og 7 × 10⁹ skiller seg med en faktor på mer enn 20 uten at du teller nuller. Den samme vanen finnes i måleenhetene: NIST-tabellen over SI-prefikser definerer kilo som 10³, mega som 10⁶, giga som 10⁹, milli som 10⁻³, mikro som 10⁻⁶ og nano som 10⁻⁹.

Slik skriver du et tall på standardform, steg for steg

Å skrive et tall på standardform tar fem steg, og de virker på samme måte for store og små tall.

1. Sett kommaet etter det første sifferet som ikke er null. I 45 000 er det første slike sifferet 4, så tallet foran blir 4,5. I 0,00072 er det 7, så tallet foran blir 7,2.
2. Tell flyttene. I 45 000 står kommaet etter den siste nullen og flytter seg 4 plasser mot venstre for å havne mellom 4 og 5. I 0,00072 flytter det seg 4 plasser mot høyre for å havne mellom 7 og 2.
3. Velg fortegnet på eksponenten. Et tall på 10 eller mer får en positiv eksponent, og et tall mellom 0 og 1 får en negativ. Så 45 000 = 4,5 × 10⁴ og 0,00072 = 7,2 × 10⁻⁴.
4. Dropp nullene på slutten. Tallet foran beholder bare sifrene som betyr noe, så 4,5000 blir 4,5. Nuller i midten blir stående, så 306 000 = 3,06 × 10⁵.
5. Kontroller ved å gjøre om tilbake. Flytt kommaet den andre veien like mange plasser som eksponenten: 4,5 × 10⁴ gir 45 000, og 5,1 × 10⁻³ gir 0,0051. OpenStax gir den samme omvendte regelen: en positiv eksponent flytter kommaet mot høyre, og en negativ flytter det mot venstre.

Hvert hopp med kommaet er én plassverdi, og derfor er standardform plassverdi i kompakt form. Guiden om plassverdi for foreldre viser kolonnene bak hvert hopp, og plassverdispillet driller dem i nettleseren.

Spill gratis i nettleserenPlassverdi1.–2. trinn

Delen mange gjør feil: hvilket fortegn eksponenten får

Fortegnet på eksponenten er steget elevene oftest gjør feil, fordi kommaet flytter seg mot venstre for store tall, og eksponenten likevel er positiv. Hopp over retningsregelen og still ett spørsmål i stedet: er det opprinnelige tallet større enn 10 eller mindre enn 1?

Et stort tall trenger en positiv eksponent for å vokse fra 4,5 tilbake til 45 000. Et lite tall trenger en negativ eksponent for å krympe 7,2 ned til 0,00072. En elev som skriver 45 000 = 4,5 × 10⁻⁴, kan fange feilen på sekunder, fordi 10⁻⁴ gjør 4,5 mindre enn 1.

Standardform, vanlig skrivemåte og E-notasjon

Standardform, vanlig skrivemåte og E-notasjon er tre måter å skrive den samme verdien på, og navnene skifter mellom land. I Norge og England betyr standardform a × 10ⁿ. I amerikanske lærebøker betyr det tilsvarende engelske uttrykket derimot det vanlige talltegnet: kapittelet om hele tall i OpenStax Prealgebra skriver et budsjett på 77 milliarder dollar «på standardform» som 77 000 000 000 dollar, og kaller a × 10ⁿ for vitenskapelig notasjon.

Den nasjonale læreplanen i matematikk i England ber elevene på Key Stage 3 «tolke og sammenligne tall på standardform A × 10ⁿ, 1≤A<10, der n er et positivt eller negativt heltall eller 0». Engelske og amerikanske ark skriver desimalpunktum, så 1.5 der betyr 1,5 hos oss.

Slik leser du E på kalkulatoren

E på kalkulatoren betyr «ganger 10 opphøyd i», så 6,02E23 er 6,02 × 10²³, og 7,2E-4 er 7,2 × 10⁻⁴. Skjermen går over til E når svaret er for langt. Et regneark kan vise det samme tallet som 1,5E+08, der plusstegnet markerer en positiv eksponent.

For å skrive standardform inn på kalkulatoren bruker du tasten merket EE eller EXP, som legger inn «ganger 10 opphøyd i» med ett trykk. Common Core-standarden 8.EE.A.4 nevner denne ferdigheten direkte: «Tolk tall på standardform som er laget av teknologi.»

Slik ganger, deler, legger sammen og trekker du fra på standardform

Standardform gjør det lett å gange og dele, fordi tallene foran og tierpotensene behandles hver for seg. OpenStax sier det på én linje: «Vi bruker potensreglene til å gange og dele tall på standardform.»

• Gange: gang tallene foran og legg sammen eksponentene. (3 × 10⁴) × (2 × 10⁵) = (3 × 2) × 10⁴⁺⁵ = 6 × 10⁹.
• Dele: del tallene foran og trekk eksponentene fra hverandre. (8 × 10⁶) : (2 × 10²) = (8 : 2) × 10⁶⁻² = 4 × 10⁴.
• Juster opp: blir det nye tallet foran 10 eller mer, flytter du kommaet én plass mot venstre og legger 1 til eksponenten. (4 × 10²) × (3 × 10¹) = 12 × 10³ = 1,2 × 10⁴.
• Juster ned: blir det nye tallet foran mindre enn 1, flytter du kommaet én plass mot høyre og trekker fra 1. (2 × 10³) : (5 × 10⁷) = 0,4 × 10⁻⁴ = 4 × 10⁻⁵.

Tallene foran er desimaltall, så regningen er desimalregning. Guiden om å gange og dele desimaltall dekker 1,5 × 2,4 og 7,5 : 0,25 når tallene foran er mindre ryddige.

Legge sammen og trekke fra: gjør eksponentene like først

Å legge sammen og trekke fra på standardform virker bare når begge tallene har den samme tierpotensen. For (3,2 × 10⁵) + (4,5 × 10⁴) skriver du 4,5 × 10⁴ om til 0,45 × 10⁵. Så legger du sammen tallene foran: 3,2 + 0,45 = 3,65, så summen er 3,65 × 10⁵ = 365 000.

Subtraksjon følger den samme regelen. (5 × 10⁶) − (2 × 10⁵) blir (5 × 10⁶) − (0,2 × 10⁶) = 4,8 × 10⁶, som er 4 800 000. Legger du sammen eksponentene her, som ved ganging, får du et galt svar som 3 × 10¹¹, et tall som er omtrent 60 000 ganger for stort.

Slik sjekker du framgangen med standardform

Fem raske tegn viser om standardform sitter, for en elev på ungdomsskolen eller for en voksen som tar det opp igjen.

• Omgjøring begge veier: Kan du skrive 82 000 som 8,2 × 10⁴ og 3 × 10⁻² som 0,03 uten kalkulator?
• Fortegn med fornuft: Kan du si, før du teller, om 0,0009 får en positiv eller en negativ eksponent?
• Riktig form: Ser du at 45 × 10³ og 0,5 × 10³ ikke er på standardform, og kan du rette dem til 4,5 × 10⁴ og 5 × 10²?
• Lese kalkulatoren: Kan du lese 3,1E-5 høyt som 3,1 × 10⁻⁵ og skrive det som 0,000031?
• Regneoperasjoner: Kan du gange (4 × 10³) × (5 × 10⁶) og justere 20 × 10⁹ til 2 × 10¹⁰?

En test på ti minutter for elever og voksne

En test på ti minutter bruker én oppgave av hver type fra lista over, med nye tall to ganger i uka i to uker. Rett hvert svar ved å gjøre det om tilbake til et fullt tall, som fanger fortegnsfeil.

Voksne møter standardform i labrapporter, lagringsstørrelser, statsbudsjetter og regnearkceller som plutselig viser E+12. Guiden om hvordan du blir bedre i matte som voksen dekker en kort daglig rutine, og siden med mattespill for voksne samler øving for voksne.

Vanlige feil og spesialtilfeller med standardform

Fem feil står bak de fleste gale svarene på standardform, og hver av dem har en rask løsning.

• Et tall foran på 10 eller mer: 45 × 10³ er 45 000, men det er ikke på standardform. Flytt kommaet én plass mot venstre og legg til 1: 4,5 × 10⁴.
• Et tall foran under 1: 0,5 × 10³ er 500, og riktig form er 5 × 10².
• Feil fortegn på eksponenten: 0,00072 = 7,2 × 10⁴ bommer med en faktor på 10⁸. Spør om det opprinnelige tallet var stort eller lite.
• Å legge sammen eksponentene i en sum: (2 × 10³) + (3 × 10³) er 5 × 10³, ikke 5 × 10⁶. Eksponentene legges sammen bare ved ganging.
• Å telle nuller i stedet for plasser: 2,5 × 10³ er 2 500, ikke 2 500 000. Eksponenten teller flytt av kommaet, og 2,5 trenger bare 3 flytt for å bli 2 500.

Negative eksponenter, negative tall og 10⁰

En negativ eksponent gir ikke et negativt tall: 7,2 × 10⁻⁴ er 0,00072, en liten positiv verdi. Et negativt tall beholder minustegnet foran, så −45 000 = −4,5 × 10⁴. Guiden om negative tall dekker minustegnet for seg.

Eksponenten 0 tar seg av tall fra 1 opp til 10, fordi 10⁰ = 1. Så 7 = 7 × 10⁰ og 3,9 = 3,9 × 10⁰. Guiden om desimaltall for foreldre viser hvorfor 0,00072 har 7-tallet på titusendelsplassen, faktumet bak eksponenten −4.

Sjekklisten din for standardform, og neste steg

• Tallet foran: minst 1 og mindre enn 10, uten nuller på slutten.
• Eksponenten: antall plasser kommaet flyttet seg; positiv for store tall, negativ for små.
• Kontroll: gjør om tilbake til et fullt tall hver gang.
• Gange eller dele: regn med tallene foran, legg sammen eller trekk fra eksponentene, og juster så.
• Legge sammen eller trekke fra: gjør tierpotensene like først.
• Kalkulator: les E som «ganger 10 opphøyd i».

Standardform hviler på plassverdi, tierpotenser og rask hoderegning med ganging, og det er de ferdighetene MathIt trener. MathIt er en gratis app for iOS og Android med rundt 90 spilltyper, adaptiv vanskegrad, daglig øving og sanntidsdueller for 2–5 spillere, på 33 språk.