Grundpotensform förklarat: tiopotenser för stora och små tal, med exempel

Din räknare svarar på en kemiuppgift med 6,02E23, och läxbladet vill ha avståndet till solen, ungefär 150 000 000 km, skrivet ”i grundpotensform”. Båda väcker samma fråga, vad grundpotensform är, och svaret är ett kort tal gånger en tiopotens. Grundpotensform gör om 150 000 000 till 1,5 × 10⁸, och när du ser hur decimaltecknet flyttas går varje omvandling snabbt.

Vad är grundpotensform?

Grundpotensform är ett sätt att skriva vilket tal som helst som a × 10ⁿ, där a är minst 1 och mindre än 10 och n är ett heltal. Läroboken Prealgebra från OpenStax anger regeln som a ≥ 1 och a < 10 och n ett heltal; på engelska heter formen scientific notation. I 4,5 × 10⁴ är talet framför 4,5 och exponenten 4.

Exponenten säger hur många gånger talet ska multipliceras eller divideras med 10. En positiv exponent gör talet större, så 4,5 × 10⁴ = 45 000, och en negativ exponent gör det mindre, så 7,2 × 10⁻⁴ = 0,00072.

Om tiopotenserna känns osäkra tar guiden om potenser upp 10³ = 1 000 och de negativa exponenterna bakom 10⁻⁴.

I Sverige hör grundpotensform till högstadiet: kursplanen i matematik i Lgr22 tar i årskurs 7–9 upp tal i potensform och grundpotensform för att uttrycka små och stora tal samt användning av prefix. I USA är det ett ämne i årskurs 8, och Common Core-standarden 8.EE.A.3 använder USA:s befolkning som 3 × 10⁸ och världens befolkning som 7 × 10⁹ som exempel.

Varför forskare och räknare använder den

Forskare och räknare använder grundpotensform eftersom den behåller de siffror som betyder något och skalar bort nollorna. NASA anger solens avstånd till ungefär 150 miljoner kilometer, vilket är 1,5 × 10⁸ km. NIST anger Avogadros konstant till 6,022 140 76 × 10²³ per mol, ett tal med 24 siffror före decimaltecknet.

Exponenten visar också storleken på ett tal med en gång, så 3 × 10⁸ och 7 × 10⁹ skiljer sig med en faktor över 20 utan att någon behöver räkna nollor. Samma vana finns i måttenheterna: NIST:s tabell över SI-prefix definierar kilo som 10³, mega som 10⁶, giga som 10⁹, milli som 10⁻³, mikro som 10⁻⁶ och nano som 10⁻⁹.

Så skriver du ett tal i grundpotensform, steg för steg

Att skriva ett tal i grundpotensform tar fem steg, och de fungerar likadant för stora och små tal.

1. Sätt decimaltecknet efter den första siffran som inte är noll. I 45 000 är den första sådana siffran 4, så talet framför blir 4,5. I 0,00072 är den första sådana siffran 7, så talet framför blir 7,2.
2. Räkna flyttningarna. I 45 000 står decimaltecknet efter den sista nollan och flyttas 4 steg åt vänster till platsen mellan 4 och 5. I 0,00072 flyttas det 4 steg åt höger till platsen mellan 7 och 2.
3. Välj exponentens tecken. Ett tal från 10 och uppåt får en positiv exponent, och ett tal mellan 0 och 1 får en negativ. Alltså är 45 000 = 4,5 × 10⁴ och 0,00072 = 7,2 × 10⁻⁴.
4. Stryk nollorna på slutet. Talet framför behåller bara de siffror som betyder något, så 4,5000 blir 4,5. Nollor i mitten står kvar, så 306 000 = 3,06 × 10⁵.
5. Kontrollera genom att skriva tillbaka. Flytta decimaltecknet åt andra hållet lika många steg som exponenten: 4,5 × 10⁴ ger 45 000, och 5,1 × 10⁻³ ger 0,0051. OpenStax ger samma omvända regel: en positiv exponent flyttar decimaltecknet åt höger och en negativ åt vänster.

Varje hopp med decimaltecknet är en position, och därför är grundpotensform positionssystemet i kompakt form. Guiden om positionssystemet för föräldrar visar kolumnerna bakom varje hopp, och spelet om positionssystemet drillar dem i webbläsaren.

Spela gratis i webbläsarenPlatsvärdeÅk 1–2

Det många gör fel: åt vilket håll tecknet går

Exponentens tecken är det steg elever oftast gör fel på, eftersom decimaltecknet flyttas åt vänster för stora tal och exponenten ändå är positiv. Hoppa över riktningsregeln och ställ en enda fråga i stället: är det ursprungliga talet större än 10 eller mindre än 1?

Ett stort tal behöver en positiv exponent för att 4,5 ska växa tillbaka till 45 000. Ett litet tal behöver en negativ exponent för att 7,2 ska krympa till 0,00072. En elev som skriver 45 000 = 4,5 × 10⁻⁴ kan hitta felet på några sekunder, eftersom 10⁻⁴ gör 4,5 mindre än 1.

Utskrivet tal, grundpotensform och E-form

Utskrivet tal, grundpotensform och E-form är tre sätt att skriva samma värde, och de engelska namnen skiljer sig mellan länder. I amerikanska läroböcker betyder standard form det vanliga utskrivna talet: OpenStax kapitel om naturliga tal skriver en budget på 77 miljarder dollar ”in standard form” som 77 000 000 000 dollar. I England är standard form namnet på själva a × 10ⁿ, alltså det som heter grundpotensform på svenska.

Den engelska läroplanen i matematik ber elever i Key Stage 3 att tolka och jämföra tal i standard form A × 10ⁿ, 1 ≤ A < 10, där n är ett positivt eller negativt heltal eller 0. Kontrollera vilket land ett engelskt arbetsblad kommer från innan du läser dess standard form.

Så läser du räknarens E

Räknarens E betyder ”gånger 10 upphöjt till”, så 6,02E23 är 6,02 × 10²³ och 7,2E-4 är 7,2 × 10⁻⁴. Displayen går över till E när svaret är för långt för skärmen. Ett kalkylark kan visa samma tal som 1,5E+08, där plustecknet markerar en positiv exponent.

För att skriva in grundpotensform på en räknare använder du knappen märkt EE eller EXP, som matar in ”gånger 10 upphöjt till” med ett tryck. Common Core-standarden 8.EE.A.4 nämner färdigheten direkt: att tolka grundpotensform som har tagits fram av tekniska hjälpmedel.

Så multiplicerar, dividerar, adderar och subtraherar du i grundpotensform

Grundpotensform gör multiplikation och division lätta, eftersom talen framför och tiopotenserna hanteras var för sig. OpenStax säger det på en rad: potenslagarna används för att multiplicera och dividera tal i grundpotensform.

• Multiplicera: multiplicera talen framför och addera exponenterna. (3 × 10⁴) × (2 × 10⁵) = (3 × 2) × 10⁴⁺⁵ = 6 × 10⁹.
• Dividera: dividera talen framför och subtrahera exponenterna. (8 × 10⁶) : (2 × 10²) = (8 : 2) × 10⁶⁻² = 4 × 10⁴.
• Justera uppåt: om det nya talet framför är 10 eller mer flyttar du decimaltecknet ett steg åt vänster och adderar 1 till exponenten. (4 × 10²) × (3 × 10¹) = 12 × 10³ = 1,2 × 10⁴.
• Justera nedåt: om det nya talet framför är mindre än 1 flyttar du decimaltecknet ett steg åt höger och subtraherar 1. (2 × 10³) : (5 × 10⁷) = 0,4 × 10⁻⁴ = 4 × 10⁻⁵.

Talen framför är decimaltal, så räkningen är räkning med decimaltal. Guiden om multiplikation och division med decimaltal tar upp 1,5 × 2,4 och 7,5 : 0,25 när talen framför är mindre prydliga.

Addition och subtraktion: matcha exponenterna först

Addition och subtraktion i grundpotensform fungerar bara när båda talen har samma tiopotens. För (3,2 × 10⁵) + (4,5 × 10⁴) skriver du om 4,5 × 10⁴ som 0,45 × 10⁵. Addera sedan talen framför: 3,2 + 0,45 = 3,65, så summan är 3,65 × 10⁵ = 365 000.

Subtraktion följer samma regel. (5 × 10⁶) − (2 × 10⁵) blir (5 × 10⁶) − (0,2 × 10⁶) = 4,8 × 10⁶, vilket är 4 800 000. Att addera exponenterna här, som vid multiplikation, ger ett felsvar som 3 × 10¹¹, ett tal ungefär 60 000 gånger för stort.

Så kontrollerar du framstegen med grundpotensform

Fem snabba signaler visar om grundpotensform har landat, för en elev i högstadiet eller för en vuxen som kommer tillbaka till den.

• Omvandling åt båda hållen: Kan du skriva 82 000 som 8,2 × 10⁴ och 3 × 10⁻² som 0,03 utan räknare?
• Tecknet med förnuftet: Kan du säga, innan du räknar, om 0,0009 får en positiv eller en negativ exponent?
• Rätt form: Ser du att 45 × 10³ och 0,5 × 10³ inte är skrivna i grundpotensform, och kan du rätta dem till 4,5 × 10⁴ och 5 × 10²?
• Läsa räknaren: Kan du läsa 3,1E-5 högt som 3,1 × 10⁻⁵ och skriva det som 0,000031?
• Räknesätt: Kan du multiplicera (4 × 10³) × (5 × 10⁶) och justera 20 × 10⁹ till 2 × 10¹⁰?

Ett test på tio minuter för elever och vuxna

Ett test på tio minuter använder en uppgift av varje sort från listan, med nya tal två gånger i veckan i två veckor. Rätta varje svar genom att skriva tillbaka det som ett utskrivet tal, vilket fångar teckenfel.

Vuxna möter grundpotensform i labbrapporter, lagringsstorlekar, statsbudgetar och celler i kalkylark som plötsligt visar E+12. Guiden om hur du blir bättre på matte som vuxen beskriver en kort daglig rutin, och sidan med mattespel för vuxna samlar övning för vuxna.

Vanliga fel och gränsfall i grundpotensform

Fem fel orsakar de flesta felsvaren i grundpotensform, och vart och ett har en snabb fix.

• Ett tal framför som är 10 eller mer: 45 × 10³ är lika med 45 000, men det är inte grundpotensform. Flytta decimaltecknet ett steg åt vänster och addera 1: 4,5 × 10⁴.
• Ett tal framför som är under 1: 0,5 × 10³ är lika med 500, och den rätta formen är 5 × 10².
• Fel tecken på exponenten: 0,00072 = 7,2 × 10⁴ är fel med en faktor 10⁸. Fråga om det ursprungliga talet var stort eller litet.
• Att addera exponenterna i en summa: (2 × 10³) + (3 × 10³) är 5 × 10³, inte 5 × 10⁶. Exponenterna adderas bara vid multiplikation.
• Att räkna nollor i stället för steg: 2,5 × 10³ är 2 500, inte 2 500 000. Exponenten räknar hur många steg decimaltecknet flyttas, och 2,5 behöver bara 3 steg för att bli 2 500.

Negativa exponenter, negativa tal och 10⁰

En negativ exponent ger inget negativt tal: 7,2 × 10⁻⁴ är 0,00072, ett litet positivt värde. Ett negativt tal behåller sitt minustecken framför, så −45 000 = −4,5 × 10⁴. Guiden om negativa tal tar upp minustecknet för sig.

Exponenten 0 tar hand om tal från 1 upp till 10, eftersom 10⁰ = 1. Alltså är 7 = 7 × 10⁰ och 3,9 = 3,9 × 10⁰. Guiden om decimaltal för föräldrar visar varför 0,00072 har sin 7:a på tiotusendelspositionen, faktumet bakom exponenten −4.

Din checklista för grundpotensform och nästa steg

• Talet framför: minst 1 och mindre än 10, utan nollor på slutet.
• Exponenten: antalet steg decimaltecknet flyttades; positiv för stora tal, negativ för små.
• Kontroll: skriv tillbaka till ett utskrivet tal varje gång.
• Multiplicera eller dividera: hantera talen framför, addera eller subtrahera exponenterna och justera sedan.
• Addera eller subtrahera: matcha tiopotenserna först.
• Räknaren: läs E som ”gånger 10 upphöjt till”.

Grundpotensform vilar på positionssystemet, tiopotenser och snabb multiplikation i huvudet, och det är de färdigheterna MathIt tränar. MathIt är en gratis app för iOS och Android med ungefär 90 speltyper, anpassad svårighetsgrad, daglig övning och realtidsdueller för 2–5 spelare, på 33 språk.