Wetenschappelijke notatie: zo schrijf je grote en kleine getallen

Je rekenmachine beantwoordt een scheikundevraag met 6,02E23, en het huiswerkblad wil de afstand tot de zon, ongeveer 150.000.000 km, "in de wetenschappelijke notatie". Beide roepen dezelfde vraag op, wat de wetenschappelijke notatie is, en het antwoord is een kort getal keer een macht van 10. De wetenschappelijke notatie maakt van 150.000.000 het getal 1,5 × 10⁸, en zodra je ziet hoe de komma verschuift, is elke omzetting snel gedaan.

Wat is de wetenschappelijke notatie?

De wetenschappelijke notatie is een manier om elk getal te schrijven als a × 10ⁿ, waarbij a minstens 1 en kleiner dan 10 is en n een geheel getal. Het leerboek Prealgebra van OpenStax geeft de regel als "a≥1 en a<10 en n is een geheel getal". In 4,5 × 10⁴ is het voorgetal 4,5 en de exponent 4.

De exponent zegt hoe vaak je met 10 vermenigvuldigt of door 10 deelt. Een positieve exponent maakt het getal groter, dus 4,5 × 10⁴ = 45.000, en een negatieve exponent maakt het kleiner, dus 7,2 × 10⁻⁴ = 0,00072.

Voelen machten van 10 wankel, dan behandelt de gids over machten 10³ = 1000 en de negatieve exponenten achter 10⁻⁴.

In Nederland noemen de conceptkerndoelen rekenen en wiskunde van SLO in de aanvulling voor de onderbouw van havo en vwo het "gebruiken van de wetenschappelijke notatie van grote en kleine getallen". In de VS is het een onderwerp van grade 8. Common Core-standaard 8.EE.A.3 vraagt leerlingen "getallen in de vorm van één cijfer keer een gehele macht van 10 te gebruiken om zeer grote of zeer kleine hoeveelheden te schatten", met de bevolking van de VS als 3 × 10⁸ en de wereldbevolking als 7 × 10⁹ als voorbeeld.

Waarom wetenschappers en rekenmachines het gebruiken

Wetenschappers en rekenmachines gebruiken de wetenschappelijke notatie omdat die de betekenisvolle cijfers houdt en de nullen weglaat. NASA geeft de afstand tot de zon als "ongeveer 93 miljoen mijl (150 miljoen kilometer)", en dat is 1,5 × 10⁸ km. NIST geeft de constante van Avogadro als 6,022 140 76 × 10²³ per mol, een getal met 24 cijfers voor de komma.

De exponent laat ook in één oogopslag de grootte van een getal zien, dus 3 × 10⁸ en 7 × 10⁹ verschillen meer dan een factor 20 zonder dat je nullen telt. Dezelfde gewoonte zit in de metrische eenheden: de tabel met SI-voorvoegsels van NIST definieert kilo als 10³, mega als 10⁶, giga als 10⁹, milli als 10⁻³, micro als 10⁻⁶ en nano als 10⁻⁹.

Een getal in de wetenschappelijke notatie schrijven, stap voor stap

Een getal in de wetenschappelijke notatie schrijven gaat in vijf stappen, en die werken hetzelfde voor grote en kleine getallen.

1. Zet de komma na het eerste cijfer dat geen nul is. In 45.000 is dat de 4, dus het voorgetal wordt 4,5. In 0,00072 is dat de 7, dus het voorgetal wordt 7,2.
2. Tel de verschuivingen. In 45.000 staat de komma na de laatste 0 en schuift hij 4 plaatsen naar links, tot tussen de 4 en de 5. In 0,00072 schuift hij 4 plaatsen naar rechts, tot tussen de 7 en de 2.
3. Kies het teken van de exponent. Een getal van 10 of meer krijgt een positieve exponent, een getal tussen 0 en 1 een negatieve. Dus 45.000 = 4,5 × 10⁴ en 0,00072 = 7,2 × 10⁻⁴.
4. Laat de nullen aan het eind weg. Het voorgetal houdt alleen de cijfers die ertoe doen, dus 4,5000 wordt 4,5. Nullen in het midden blijven staan, dus 306.000 = 3,06 × 10⁵.
5. Controleer door terug te rekenen. Verschuif de komma de andere kant op, zoveel plaatsen als de exponent zegt: 4,5 × 10⁴ geeft 45.000, en 5,1 × 10⁻³ geeft 0,0051. OpenStax geeft dezelfde omgekeerde regel: een positieve exponent schuift de komma naar rechts en een negatieve naar links.

Elke sprong van de komma is één plaatswaarde, en daarom is de wetenschappelijke notatie plaatswaarde in compacte vorm. De gids over plaatswaarde voor ouders laat de kolommen achter elke sprong zien, en het spel met plaatswaarde oefent ze in de browser.

Gratis spelen in je browserPlaatswaardeGroep 3–4

Waar het misgaat: welke kant het teken op gaat

Het teken van de exponent is de stap waar leerlingen het vaakst de fout in gaan, omdat de komma bij grote getallen naar links schuift en de exponent toch positief is. Sla de regel over de richting over en stel één vraag: is het oorspronkelijke getal groter dan 10 of kleiner dan 1?

Een groot getal heeft een positieve exponent nodig om 4,5 weer tot 45.000 te laten groeien. Een klein getal heeft een negatieve exponent nodig om 7,2 tot 0,00072 te laten krimpen. Een leerling die 45.000 = 4,5 × 10⁻⁴ schrijft, ziet de fout binnen seconden, want 10⁻⁴ maakt 4,5 kleiner dan 1.

Gewone schrijfwijze, wetenschappelijke notatie en E-notatie

De gewone schrijfwijze, de wetenschappelijke notatie en de E-notatie zijn drie manieren om dezelfde waarde te schrijven, en Engelstalige werkbladen gebruiken verwarrende namen. In Amerikaanse leerboeken betekent "standard form" het gewone getal: het hoofdstuk van OpenStax Prealgebra over hele getallen schrijft een begroting van 77 miljard dollar "in standard form" als 77.000.000.000. In Engeland is "standard form" juist de naam voor a × 10ⁿ zelf.

Het nationale curriculum wiskunde van Engeland vraagt leerlingen in Key Stage 3 om "getallen in standard form A × 10ⁿ 1≤A<10 te interpreteren en te vergelijken, waarbij n een positief of negatief geheel getal of 0 is". Kijk uit welk land een Engelstalig werkblad komt voordat je "standard form" leest.

Zo lees je de E van een rekenmachine

De E van een rekenmachine betekent "keer 10 tot de macht", dus 6,02E23 is 6,02 × 10²³ en 7,2E-4 is 7,2 × 10⁻⁴. Het scherm schakelt over op E als het antwoord te lang is. Veel rekenmachines tonen het voorgetal met een punt, zoals 6.02E23, en een Nederlandstalige spreadsheet toont hetzelfde soort getal als 1,5E+08, waarbij het plusteken een positieve exponent aangeeft.

Om een getal in de wetenschappelijke notatie in te typen, gebruik je de toets met EE, EXP of ×10ˣ, die "keer 10 tot de macht" in één druk invoert. Common Core-standaard 8.EE.A.4 noemt deze vaardigheid letterlijk: "interpreteer wetenschappelijke notatie die door technologie is gemaakt."

Vermenigvuldigen, delen, optellen en aftrekken in de wetenschappelijke notatie

De wetenschappelijke notatie maakt vermenigvuldigen en delen makkelijk, omdat je de voorgetallen en de machten van 10 apart behandelt. OpenStax zegt het in één zin: "we gebruiken de eigenschappen van exponenten om getallen in de wetenschappelijke notatie te vermenigvuldigen en te delen."

• Vermenigvuldigen: vermenigvuldig de voorgetallen en tel de exponenten op. (3 × 10⁴) × (2 × 10⁵) = (3 × 2) × 10⁴⁺⁵ = 6 × 10⁹.
• Delen: deel de voorgetallen en trek de exponenten van elkaar af. (8 × 10⁶) : (2 × 10²) = (8 : 2) × 10⁶⁻² = 4 × 10⁴.
• Terugbrengen naar de goede vorm: is het nieuwe voorgetal 10 of meer, verschuif de komma dan één plaats naar links en tel 1 op bij de exponent. (4 × 10²) × (3 × 10¹) = 12 × 10³ = 1,2 × 10⁴.
• Terugbrengen naar beneden: is het nieuwe voorgetal kleiner dan 1, verschuif de komma dan één plaats naar rechts en trek 1 af. (2 × 10³) : (5 × 10⁷) = 0,4 × 10⁻⁴ = 4 × 10⁻⁵.

De voorgetallen zijn kommagetallen, dus het rekenwerk is rekenen met kommagetallen. De gids over kommagetallen vermenigvuldigen en delen behandelt 1,5 × 2,4 en 7,5 : 0,25 als de voorgetallen minder netjes zijn.

Optellen en aftrekken: eerst de exponenten gelijk maken

Optellen en aftrekken in de wetenschappelijke notatie werken alleen als beide getallen dezelfde macht van 10 hebben. Bij (3,2 × 10⁵) + (4,5 × 10⁴) schrijf je 4,5 × 10⁴ als 0,45 × 10⁵. Tel dan de voorgetallen op: 3,2 + 0,45 = 3,65, dus de som is 3,65 × 10⁵ = 365.000.

Aftrekken volgt dezelfde regel. (5 × 10⁶) − (2 × 10⁵) wordt (5 × 10⁶) − (0,2 × 10⁶) = 4,8 × 10⁶, en dat is 4.800.000. Tel je hier de exponenten op zoals bij vermenigvuldigen, dan krijg je een fout antwoord als 3 × 10¹¹, een getal dat ongeveer 60.000 keer te groot is.

Zo controleer je de vooruitgang met de wetenschappelijke notatie

Vijf snelle signalen laten zien of de wetenschappelijke notatie is ingedaald, bij een leerling in de onderbouw of bij een volwassene die het weer oppakt.

• Heen en terug omzetten: Kun je 82.000 schrijven als 8,2 × 10⁴ en 3 × 10⁻² als 0,03, zonder rekenmachine?
• Het teken op gevoel: Kun je voor het tellen zeggen of 0,0009 een positieve of een negatieve exponent krijgt?
• De goede vorm: Zie je dat 45 × 10³ en 0,5 × 10³ niet in de wetenschappelijke notatie staan, en verbeter je ze tot 4,5 × 10⁴ en 5 × 10²?
• De rekenmachine lezen: Kun je 3,1E-5 hardop lezen als 3,1 × 10⁻⁵ en opschrijven als 0,000031?
• Bewerkingen: Kun je (4 × 10³) × (5 × 10⁶) uitrekenen en 20 × 10⁹ terugbrengen tot 2 × 10¹⁰?

Een toets van tien minuten voor leerlingen en volwassenen

Een toets van tien minuten neemt van elke soort uit de lijst één vraag, met nieuwe getallen, twee keer per week, twee weken lang. Controleer elk antwoord door het terug te zetten in een gewoon getal, want dat vangt tekenfouten.

Volwassenen komen de wetenschappelijke notatie tegen in labverslagen, opslaggroottes, rijksbegrotingen en spreadsheetcellen die opeens E+12 tonen. De gids over beter worden in rekenen als volwassene beschrijft een korte dagelijkse routine, en de pagina met het rekenspel voor volwassenen bundelt oefening voor volwassen leerders.

Veelgemaakte fouten en randgevallen bij de wetenschappelijke notatie

Vijf fouten veroorzaken de meeste foute antwoorden in de wetenschappelijke notatie, en elke fout heeft een snelle oplossing.

• Een voorgetal van 10 of meer: 45 × 10³ is 45.000, maar het staat niet in de wetenschappelijke notatie. Verschuif de komma één plaats naar links en tel 1 op: 4,5 × 10⁴.
• Een voorgetal onder 1: 0,5 × 10³ is 500, en de goede vorm is 5 × 10².
• Het verkeerde teken bij de exponent: 0,00072 = 7,2 × 10⁴ zit er een factor 10⁸ naast. Vraag of het oorspronkelijke getal groot of klein was.
• Exponenten optellen bij een som: (2 × 10³) + (3 × 10³) is 5 × 10³, niet 5 × 10⁶. Exponenten tel je alleen op bij vermenigvuldigen.
• Nullen tellen in plaats van plaatsen: 2,5 × 10³ is 2500, niet 2.500.000. De exponent telt verschuivingen van de komma, en 2,5 heeft maar 3 verschuivingen nodig om 2500 te worden.

Negatieve exponenten, negatieve getallen en 10⁰

Een negatieve exponent maakt geen negatief getal: 7,2 × 10⁻⁴ is 0,00072, een klein positief getal. Een negatief getal houdt zijn minteken vooraan, dus −45.000 = −4,5 × 10⁴. De gids over negatieve getallen behandelt het minteken zelf.

De exponent 0 hoort bij getallen van 1 tot 10, want 10⁰ = 1. Dus 7 = 7 × 10⁰ en 3,9 = 3,9 × 10⁰. De gids over kommagetallen voor ouders laat zien waarom de 7 in 0,00072 op de plaats van de tienduizendsten staat, het feit achter de exponent −4.

Je checklist voor de wetenschappelijke notatie en de volgende stappen

• Voorgetal: minstens 1 en kleiner dan 10, zonder nullen aan het eind.
• Exponent: het aantal plaatsen dat de komma verschoof; positief bij grote getallen, negatief bij kleine.
• Controle: zet elk antwoord terug in een gewoon getal.
• Vermenigvuldigen of delen: reken met de voorgetallen, tel de exponenten op of trek ze af, en breng terug naar de goede vorm.
• Optellen of aftrekken: maak eerst de machten van 10 gelijk.
• Rekenmachine: lees E als "keer 10 tot de macht".

De wetenschappelijke notatie rust op plaatswaarde, machten van 10 en snel vermenigvuldigen uit het hoofd, en precies die vaardigheden traint MathIt. MathIt is een gratis app voor iOS en Android met ongeveer 90 speltypen, een moeilijkheid die zich aanpast aan elke speler, dagelijkse oefening en live wedstrijden met 2 tot 5 spelers, in 33 talen.