Notación científica: cómo escribir números muy grandes y muy pequeños

La calculadora responde a un problema de química con 6,02E23, y la ficha de deberes pide escribir «en notación científica» la distancia al Sol, unos 150 000 000 km. Las dos cosas plantean la misma pregunta, qué es la notación científica, y la respuesta es un número corto multiplicado por una potencia de 10. La notación científica convierte 150 000 000 en 1,5 × 10⁸, y cuando ves cómo se desplaza la coma, cada conversión es rápida.

¿Qué es la notación científica?

La notación científica es una forma de escribir cualquier número como a × 10ⁿ, donde a es mayor o igual que 1 y menor que 10, y n es un número entero. El libro de texto OpenStax Prealgebra da la regla como «a ≥ 1 y a < 10 y n es un entero». En 4,5 × 10⁴, el número de delante es 4,5 y el exponente es 4.

El exponente dice cuántas veces hay que multiplicar o dividir entre 10. Un exponente positivo agranda el número, así que 4,5 × 10⁴ = 45 000, y un exponente negativo lo achica, así que 7,2 × 10⁻⁴ = 0,00072.

Si las potencias de 10 se tambalean, la guía de potencias cubre 10³ = 1000 y los exponentes negativos que hay detrás de 10⁻⁴.

En España, el currículo de la ESO (Real Decreto 217/2022) incluye de 1.º a 3.º de ESO (12 a 15 años) los «números grandes y pequeños: notación exponencial y científica y uso de la calculadora». En Estados Unidos es un tema de 8.º grado (13 a 14 años): el estándar Common Core 8.EE.A.3 pide «usar números expresados como una sola cifra por una potencia entera de 10 para estimar cantidades muy grandes o muy pequeñas», con el ejemplo de la población de Estados Unidos, 3 × 10⁸, y la población mundial, 7 × 10⁹.

Por qué la usan los científicos y las calculadoras

Los científicos y las calculadoras usan la notación científica porque conserva las cifras que importan y elimina los ceros. La NASA da la distancia al Sol como «unos 150 millones de kilómetros», que son 1,5 × 10⁸ km. El NIST da la constante de Avogadro como 6,022 140 76 × 10²³ por mol, un número con 24 cifras antes de la coma.

El exponente también muestra el tamaño de un número de un vistazo, así que 3 × 10⁸ y 7 × 10⁹ se diferencian en un factor de más de 20 sin contar ceros. El mismo hábito aparece en las unidades del sistema métrico: la tabla de prefijos del SI del NIST define kilo como 10³, mega como 10⁶, giga como 10⁹, mili como 10⁻³, micro como 10⁻⁶ y nano como 10⁻⁹.

Cómo escribir un número en notación científica paso a paso

Escribir un número en notación científica lleva cinco pasos, y funcionan igual con números grandes y pequeños.

1. Pon la coma después de la primera cifra distinta de cero. En 45 000 la primera cifra distinta de cero es el 4, así que el número de delante pasa a 4,5. En 0,00072 la primera cifra distinta de cero es el 7, así que el número de delante pasa a 7,2.
2. Cuenta los saltos. En 45 000 la coma está detrás del último 0 y salta 4 lugares a la izquierda hasta quedar entre el 4 y el 5. En 0,00072 salta 4 lugares a la derecha hasta quedar entre el 7 y el 2.
3. Elige el signo del exponente. Un número de 10 o más lleva exponente positivo, y un número entre 0 y 1 lo lleva negativo. Así, 45 000 = 4,5 × 10⁴ y 0,00072 = 7,2 × 10⁻⁴.
4. Quita los ceros del final. El número de delante conserva solo las cifras que importan, así que 4,5000 pasa a 4,5. Los ceros de en medio se quedan, así que 306 000 = 3,06 × 10⁵.
5. Comprueba volviendo atrás. Desplaza la coma en sentido contrario tantos lugares como diga el exponente: 4,5 × 10⁴ da 45 000, y 5,1 × 10⁻³ da 0,0051. OpenStax da la misma regla inversa: un exponente positivo desplaza la coma a la derecha y uno negativo a la izquierda.

Cada salto de la coma es un orden de unidades, y por eso la notación científica es el valor posicional en forma compacta. La guía del valor posicional para padres muestra las columnas que hay detrás de cada salto, y el juego del valor posicional las entrena en el navegador.

Juega gratis en el navegadorValor posicional1.º–2.º de primaria

El fallo más común: hacia dónde va el signo

El signo del exponente es el paso que más se falla, porque con los números grandes la coma se desplaza a la izquierda y el exponente sigue siendo positivo. Olvida la regla de la dirección y hazte una sola pregunta: ¿el número original es mayor que 10 o menor que 1?

Un número grande necesita un exponente positivo para que 4,5 vuelva a crecer hasta 45 000. Un número pequeño necesita un exponente negativo para que 7,2 encoja hasta 0,00072. Un alumno que escribe 45 000 = 4,5 × 10⁻⁴ puede detectar el error en segundos, porque 10⁻⁴ deja el 4,5 por debajo de 1.

Notación decimal, notación científica y notación E

La notación decimal ordinaria, la notación científica y la notación E son tres formas de escribir el mismo valor, y en inglés los nombres cambian de un país a otro. En los libros de texto de Estados Unidos, «standard form» significa el número con todas sus cifras: el capítulo de OpenStax Prealgebra sobre los números naturales escribe un presupuesto de 77 000 millones de dólares «en forma estándar» como 77 000 000 000 $. En Inglaterra, «standard form» es el nombre de la propia a × 10ⁿ. Ojo también con «billion»: en inglés son mil millones (10⁹), y el billón en español es un millón de millones (10¹²).

El currículo nacional de matemáticas de Inglaterra pide en Key Stage 3 (11 a 14 años) «interpretar y comparar números en la forma A × 10ⁿ, 1 ≤ A < 10, donde n es un entero positivo, negativo o 0». Si usas una ficha en inglés, mira de qué país viene antes de interpretar su «standard form».

Cómo leer la E de la calculadora

La E de la calculadora significa «por 10 elevado a», así que 6,02E23 es 6,02 × 10²³ y 7,2E-4 es 7,2 × 10⁻⁴. La pantalla pasa a la E cuando el resultado no cabe. Una hoja de cálculo puede mostrar el mismo número como 1,5E+08, donde el signo más indica un exponente positivo.

Para escribir notación científica en una calculadora, usa la tecla marcada EXP, EE o ×10ˣ, que introduce «por 10 elevado a» de una sola pulsación. El estándar Common Core 8.EE.A.4 nombra esta habilidad directamente: «interpretar la notación científica generada por la tecnología».

Cómo multiplicar, dividir, sumar y restar en notación científica

La notación científica facilita multiplicar y dividir, porque los números de delante y las potencias de 10 se tratan por separado. OpenStax lo resume en una línea: «usamos las propiedades de las potencias para multiplicar y dividir números en notación científica».

• Multiplicar: multiplica los números de delante y suma los exponentes. (3 × 10⁴) × (2 × 10⁵) = (3 × 2) × 10⁴⁺⁵ = 6 × 10⁹.
• Dividir: divide los números de delante y resta los exponentes. (8 × 10⁶) ÷ (2 × 10²) = (8 ÷ 2) × 10⁶⁻² = 4 × 10⁴.
• Reajustar: si el nuevo número de delante es 10 o más, desplaza la coma un lugar a la izquierda y suma 1 al exponente. (4 × 10²) × (3 × 10¹) = 12 × 10³ = 1,2 × 10⁴.
• Reajustar hacia abajo: si el nuevo número de delante es menor que 1, desplaza la coma un lugar a la derecha y resta 1. (2 × 10³) ÷ (5 × 10⁷) = 0,4 × 10⁻⁴ = 4 × 10⁻⁵.

Los números de delante son decimales, así que las cuentas son cuentas con decimales. La guía de multiplicar y dividir decimales cubre 1,5 × 2,4 y 7,5 ÷ 0,25 cuando los números de delante son menos redondos.

Sumar y restar: iguala primero los exponentes

Sumar y restar en notación científica solo funciona cuando los dos números tienen la misma potencia de 10. Para (3,2 × 10⁵) + (4,5 × 10⁴), escribe 4,5 × 10⁴ como 0,45 × 10⁵. Luego suma los números de delante: 3,2 + 0,45 = 3,65, así que la suma es 3,65 × 10⁵ = 365 000.

La resta sigue la misma regla. (5 × 10⁶) − (2 × 10⁵) pasa a (5 × 10⁶) − (0,2 × 10⁶) = 4,8 × 10⁶, que es 4 800 000. Sumar aquí los exponentes, como en la multiplicación, da un resultado erróneo como 3 × 10¹¹, un número unas 60 000 veces demasiado grande.

Cómo comprobar los avances con la notación científica

Cinco señales rápidas muestran si la notación científica se ha asentado, tanto en un alumno de ESO como en un adulto que vuelve a ella.

• Conversión en los dos sentidos: ¿Sabes escribir 82 000 como 8,2 × 10⁴ y 3 × 10⁻² como 0,03 sin calculadora?
• Signo con sentido: ¿Sabes decir, antes de contar, si 0,0009 lleva exponente positivo o negativo?
• Forma normalizada: ¿Ves que 45 × 10³ y 0,5 × 10³ no están en notación científica y sabes corregirlos a 4,5 × 10⁴ y 5 × 10²?
• Lectura de la calculadora: ¿Sabes leer 3,1E-5 en voz alta como 3,1 × 10⁻⁵ y escribirlo como 0,000031?
• Operaciones: ¿Sabes multiplicar (4 × 10³) × (5 × 10⁶) y reajustar 20 × 10⁹ a 2 × 10¹⁰?

Una prueba de diez minutos para alumnos y adultos

Una prueba de diez minutos usa una pregunta de cada tipo de la lista anterior, con números nuevos dos veces por semana durante dos semanas. Corrige cada respuesta pasándola al número completo, lo que detecta los errores de signo.

Los adultos se encuentran la notación científica en informes de laboratorio, tamaños de almacenamiento de datos, presupuestos nacionales y celdas de hoja de cálculo que de repente muestran E+12. La guía de cómo mejorar en matemáticas de adulto propone una rutina diaria corta, y la página del juego de matemáticas para adultos reúne práctica para quien aprende de mayor.

Errores frecuentes y casos límite en la notación científica

Cinco errores explican la mayoría de los fallos en notación científica, y cada uno tiene un remedio rápido.

• Un número de delante de 10 o más: 45 × 10³ vale 45 000, pero no está en notación científica. Desplaza la coma un lugar a la izquierda y suma 1: 4,5 × 10⁴.
• Un número de delante menor que 1: 0,5 × 10³ vale 500, y la forma correcta es 5 × 10².
• El signo equivocado en el exponente: 0,00072 = 7,2 × 10⁴ se equivoca en un factor de 10⁸. Pregúntate si el original era grande o pequeño.
• Sumar los exponentes en una suma: (2 × 10³) + (3 × 10³) es 5 × 10³, no 5 × 10⁶. Los exponentes solo se suman al multiplicar.
• Contar ceros en lugar de lugares: 2,5 × 10³ es 2500, no 2 500 000. El exponente cuenta los saltos de la coma, y 2,5 solo necesita 3 saltos para llegar a 2500.

Exponentes negativos, números negativos y 10⁰

Un exponente negativo no da un número negativo: 7,2 × 10⁻⁴ es 0,00072, un valor positivo pequeño. Un número negativo conserva su signo menos delante, así que −45 000 = −4,5 × 10⁴. La guía de los números negativos trata el signo menos por separado.

El exponente 0 sirve para los números del 1 al 10, porque 10⁰ = 1. Así, 7 = 7 × 10⁰ y 3,9 = 3,9 × 10⁰. La guía de los decimales para padres muestra por qué el 7 de 0,00072 está en las diezmilésimas, el dato que hay detrás del exponente −4.

Tu lista de comprobación de la notación científica y siguientes pasos

• Número de delante: mayor o igual que 1 y menor que 10, sin ceros al final.
• Exponente: el número de lugares que se desplazó la coma; positivo para números grandes, negativo para pequeños.
• Comprueba: pasa siempre el resultado al número completo.
• Multiplica o divide: opera los números de delante, suma o resta los exponentes y reajusta.
• Suma o resta: iguala primero las potencias de 10.
• Calculadora: lee la E como «por 10 elevado a».

La notación científica se apoya en el valor posicional, las potencias de 10 y la multiplicación mental rápida, y esas son las habilidades que entrena MathIt. MathIt es una app gratuita para iOS y Android con unos 90 tipos de juego, dificultad adaptativa, práctica diaria y batallas en tiempo real de 2 a 5 jugadores, disponible en 33 idiomas.