Rechenstrategien in der Grundschule: wofür jeder Rechenweg gut ist

Was ist Common Core in Mathe, und was entspricht ihm bei uns?

Common Core ist der Name der US-amerikanischen Bildungsstandards für Mathematik: eine Liste, Klasse für Klasse, was Kinder verstehen und können sollen. Er ist kein Schulbuch und keine einzelne Unterrichtsmethode. Das Standarddokument sagt das deutlich: „Diese Standards schreiben weder Lehrplan noch Unterrichtsmethoden vor.“

Dieser eine Satz erklärt viel Verwirrung am Küchentisch, auch bei uns. Standards sagen, was ein Kind am Ende einer Klasse erreichen soll. Das Schulbuch entscheidet, wie, und von dort kommen Zerlegungshäuser, Zwanzigerfelder und Rechenstriche. In Deutschland übernehmen die Bildungsstandards der Kultusministerkonferenz für den Primarbereich diese Rolle: Sie beschreiben, was Kinder am Ende der 4. Klasse können sollen, und jedes Bundesland macht daraus einen eigenen Lehrplan.

Der Common Core kam in den USA an vielen Orten zugleich an. Bis auf fünf Bundesstaaten übernahmen ihn zunächst alle, und viele haben ihre Fassung seither überarbeitet oder umbenannt. Die Rechenwege auf dem Hausaufgabenblatt sehen dort wie hier erstaunlich ähnlich aus.

Warum wird Mathe heute anders unterrichtet als früher?

Mathe wird heute anders unterrichtet, weil die Standards das Verständnis des Stellenwerts an die erste Stelle setzen und das schnelle schriftliche Verfahren an die zweite. Kinder lernen den Übertrag weiterhin. Sie lernen ihn, nachdem sie gesehen haben, warum er funktioniert.

Die US-Standards beschreiben Verständnis als die Fähigkeit zu erklären, „warum eine mathematische Aussage wahr ist oder woher eine Rechenregel kommt“, und nennen Verständnis und Rechenfertigkeit „gleich wichtig“. Die KMK-Standards verlangen, dass Kinder mündliche und halbschriftliche Rechenstrategien zu den vier Grundrechenarten verstehen und „flexibel einsetzen“. Denken Sie an den Übertrag. Die kleine 1 ist ein Zehner. Ein Kind, das das weiß, kann sein Ergebnis selbst prüfen. Ein Kind, das sich nur „die kleine 1 nach oben schreiben“ gemerkt hat, hat bei größeren Zahlen nichts, womit es prüfen könnte.

Der US-Fachverband NCTM argumentiert in seiner Stellungnahme zur Rechenfertigkeit ähnlich: Rechenfertigkeit heißt, Verfahren „effizient, flexibel und genau“ zu nutzen, und jedes Kind sollte mehr als einen Weg kennen, um den passenden zu wählen. Für 98 + 35 ist der flexible Weg 100 + 35 − 2 = 133. Kein Untereinanderschreiben nötig.

Was bedeuten die neuen Rechenstrategien?

Die neuen Rechenstrategien zerlegen Zahlen in handliche Teile, meist in Zehner und Einer, damit die Rechnung in Schritten abläuft, die ein Kind sehen kann. Jede davon führt zu einem Verfahren, das Sie schon kennen.

Zahlzerlegung. Ein Zerlegungshaus hat eine Zahl im Dach und darunter zwei Felder für ihre Teile. Die US-Standards verlangen schon in der Vorschule, Zahlen bis 10 auf mehr als eine Weise in Paare zu zerlegen, zum Beispiel 5 = 2 + 3 und 5 = 4 + 1. Die Paare, die 10 ergeben, zählen am meisten, weil jede spätere Strategie auf ihnen aufbaut. Deutsche Schulbücher nutzen dafür oft das Zwanzigerfeld und die „Kraft der Fünf“: Wer die 7 als 5 und 2 sieht, erkennt ohne Zählen, dass zur 10 noch 3 fehlen. Ein paar Runden Zahlzerlegung üben machen diese Paare automatisch.

Rechnen bis zum Zehner. Das Rechnen bis zum Zehner macht aus einer schweren Aufgabe eine leichte. Bei 8 + 5 fehlen der 8 noch 2 bis zur 10, also wird die 5 in 2 und 3 zerlegt: 8 + 2 = 10, und 10 + 3 = 13. Der US-Standard der 1. Klasse nennt diese Strategie mit fast demselben Beispiel: 8 + 6 = 8 + 2 + 4 = 10 + 4 = 14. Wenn Ihr Kind später bei 48 + 35 einen Zehner überträgt, ist das derselbe Schritt auf Papier.

Rechenstrich. Ein Rechenstrich ist eine leere Linie ohne Skala, auf die Sprünge gezeichnet werden. Für 53 − 27 beginnt man bei 27 und ergänzt in bequemen Sprüngen: +3 landet auf 30, +20 auf 50, +3 auf 53. Die Sprünge ergeben 3 + 20 + 3 = 26, also ist 53 − 27 = 26. In den USA sollen Kinder in der 2. Klasse Summen und Differenzen bis 100 am Zahlenstrahl darstellen. Der Praxisleitfaden des What Works Clearinghouse für Kinder mit Schwierigkeiten, Assisting Students Struggling with Mathematics, empfiehlt den Zahlenstrahl als Werkzeug, um Begriffe und Verfahren zu lernen. Sobald das Bündeln sitzt, ist Addition mit Zehnerübergang eine gute Übung danach.

Malkreuz. Das Malkreuz zeichnet eine Multiplikation als Rechteck, das in Teile zerlegt ist. Für 23 × 14 zerlegt man 23 in 20 und 3 und 14 in 10 und 4. Die vier Felder enthalten 20 × 10 = 200, 20 × 4 = 80, 3 × 10 = 30 und 3 × 4 = 12, und 200 + 80 + 30 + 12 = 322. Untereinander geschrieben heißen dieselben vier Zahlen Teilprodukte. Das schriftliche Verfahren findet genau diese Teile in zwei Zeilen: 23 × 4 = 92 und 23 × 10 = 230, und 92 + 230 = 322. Die US-Standards der 4. Klasse verlangen, Multiplikation mit Gleichungen, Punktefeldern und Flächenmodellen zu erklären.

Schrittweises Teilen. Beim schrittweisen Teilen dividiert ein Kind in Portionen, bei denen es sich sicher ist. Für 372 : 6 nimmt es 50 Sechser weg (300), und 72 bleiben übrig; dann 12 Sechser (72), und nichts bleibt übrig. Das Ergebnis ist 50 + 12 = 62, und 6 × 62 = 372 bestätigt es.

Verbieten die neuen Standards das schriftliche Rechnen?

Die Standards verbieten das schriftliche Rechnen nicht, sie verlangen es ausdrücklich. Die US-Standards für Mathematik nennen es an drei Stellen beim Namen:

• Klasse 4 (4.NBT.B.4): „Mehrstellige natürliche Zahlen mit dem Standardalgorithmus flüssig addieren und subtrahieren.“
• Klasse 5 (5.NBT.B.5): „Mehrstellige natürliche Zahlen mit dem Standardalgorithmus flüssig multiplizieren.“
• Klasse 6 (6.NS.B.2): „Mehrstellige Zahlen mit dem Standardalgorithmus flüssig dividieren.“

In Deutschland verlangen die KMK-Standards bis zum Ende der 4. Klasse, dass Kinder schriftliche Verfahren der Addition, Subtraktion und Multiplikation verstehen, den Algorithmus beschreiben und ihn geläufig ausführen; wann die schriftliche Division kommt, regelt der Lehrplan des Bundeslandes. Übertrag und Borgen kommen also. Was sich ändert, ist der Zeitpunkt. In den ersten Schuljahren stehen Strategien auf Grundlage des Stellenwerts im Vordergrund, und die US-Standards verlangen ausdrücklich, „die Strategie mit einem schriftlichen Verfahren zu verbinden“. Die Zeichnungen sind die Brücke, und sie verschwinden meist, sobald das schriftliche Verfahren verstanden ist. Ein Kind, das in der 2. Klasse Sprünge zeichnet, liegt im Plan. Ein Kind, das am Ende der Grundschule nie eine schriftliche Addition gesehen hat, ist ein Thema für das Gespräch mit der Lehrkraft.

Wie helfe ich bei Hausaufgaben, die ich selbst nicht verstehe?

Die nützlichste Hilfe ist, sich die Strategie von Ihrem Kind erklären zu lassen. Einen Rechenweg laut zu erklären ist genau die Fähigkeit, die die Hausaufgabe übt.

1. Fragen, bevor Sie zeigen. „Wie hat eure Lehrerin das gemacht?“ Die meisten Kinder können eine halb verstandene Strategie erklären, und das Erklären bringt sie oft zu Ende.
2. Das Musterbeispiel suchen. Arbeitsblätter und Schulbuchseiten beginnen meist mit einer vorgerechneten Aufgabe. Übernehmen Sie deren Aufbau für die nächste Aufgabe, Schritt für Schritt.
3. In Zehner und Einer übersetzen. Egal welche Darstellung, fragen Sie „Wie viele Zehner, wie viele Einer?“. Diese Frage passt zum Zerlegungshaus, zum Rechenstrich und zum Malkreuz.
4. Die Abkürzung zurückhalten. Verlangt die Aufgabe einen Rechenstrich, bringt eine Abkürzung ohne ihn einen Fehler im Heft und ein verwirrtes Kind. Zeigen Sie Ihren Weg danach, als Probe für das Ergebnis.
5. Eine Notiz schreiben. Wenn Sie beide nicht weiterkommen, ist eine kurze Notiz an die Lehrkraft („Beim Rechenstrich sind wir hängen geblieben“) eine nützliche Information für die nächste Stunde.

Ein Kind in der 2. Klasse, das den Zehnerübergang auf Papier übt, kann ein Additions-Arbeitsblatt für die 2. Klasse nutzen, mit Lösungsblatt. Den Überblick, was in welchem Schuljahr drankommt, gibt der Beitrag was Kinder in jeder Klasse in Mathe können sollten.

Welche Rolle spielen die Grundaufgaben?

Die Grundaufgaben müssen weiterhin auswendig sitzen, und die Standards setzen dafür klare Fristen. Jede Strategie oben läuft schneller, wenn die kleinen Aufgaben ohne Zählen kommen.

• Klasse 2 (2.OA.B.2, USA): „Bis zum Ende der 2. Klasse alle Summen zweier einstelliger Zahlen auswendig kennen.“
• Klasse 3 (3.OA.C.7, USA): „Bis zum Ende der 3. Klasse alle Produkte zweier einstelliger Zahlen auswendig kennen.“

Beide Zeilen stehen in den US-Standards für Mathematik. Die KMK-Standards verlangen bis zum Ende der 4. Klasse, dass Kinder die Grundaufgaben des Kopfrechnens, also Zahlzerlegungen, Einspluseins und Einmaleins, „gedächtnismäßig“ beherrschen. Die Strategien helfen den Kindern dorthin. Die NCTM-Stellungnahme zur Rechenfertigkeit empfiehlt, Grundaufgaben über Zahlbeziehungen wie das Ergänzen zur 10 zu lehren, und der Leitfaden des What Works Clearinghouse, Assisting Students Struggling with Mathematics, empfiehlt regelmäßige kurze Übungen auf Zeit als einen Weg zur Sicherheit, sobald die Idee verstanden ist.

Zu Hause wirken ein paar Minuten am Tag besser als eine lange Sitzung am Wochenende. Zuerst kommen die Paare, die 10 ergeben, dann die Verdopplungen, dann die übrigen Plusaufgaben. Wenn das Einmaleins in der 2. Klasse beginnt, zeigt Einmaleins schnell lernen eine Reihenfolge, die das Gitter auf zehn schwere Aufgaben schrumpfen lässt. MathIt ist eine kostenlose App für iOS und Android mit rund 90 Spielarten und anpassbarem Schwierigkeitsgrad, und ein Mathespiel für Eltern und Kinder macht aus dem Üben eine kurze Runde zu zweit am Tisch.

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