Pourquoi on n'apprend plus à calculer comme avant : chaque méthode décodée

Qu'est-ce que le Common Core, et que dit-il des méthodes ?

Le Common Core est le standard de mathématiques américain : une liste, année par année, de ce que les enfants doivent comprendre et savoir faire. Ce n'est pas un manuel, ni une méthode d'enseignement unique. Le texte le dit clairement : ces standards « n'imposent ni programme d'études ni méthodes d'enseignement ».

Cette seule phrase explique beaucoup de malentendus autour de la table de la cuisine. Le standard dit ce que l'enfant doit atteindre à la fin du grade 2 ou du grade 4, l'équivalent du CE1 ou du CM1. Le manuel choisi par le district décide comment, et c'est de là que viennent les décompositions, les boîtes de dix et les droites numériques vierges.

Le Common Core a aussi débarqué partout en même temps. Tous les États sauf cinq l'ont d'abord adopté, et beaucoup l'ont depuis révisé ou renommé. Les parents français voient pourtant les mêmes stratégies sur les fiches de leurs enfants, parce que la même idée a gagné les deux côtés de l'Atlantique.

Pourquoi on n'apprend plus à calculer comme avant ?

Le calcul s'enseigne autrement parce que les programmes placent la compréhension de la numération d'abord et la technique écrite rapide ensuite. Les enfants apprennent toujours la retenue. Ils la rencontrent après avoir vu pourquoi elle fonctionne.

En France, le programme de mathématiques du cycle 2 le dit sans détour : au CP, « l'addition posée n'est introduite qu'en période 4 ou 5 », et avant cela les élèves calculent avec des faits mémorisés ou « des procédures de calcul par étapes ». Ces étapes, c'est le calcul en ligne. Pour 47 + 28, l'enfant écrit sur son ardoise 60 (les dizaines), puis 15 (les unités), puis 75. Le même programme prévoit des séances quotidiennes de calcul mental tout au long du cycle 2.

Aux États-Unis, le standard décrit la compréhension comme la capacité à expliquer « pourquoi un énoncé mathématique est vrai ou d'où vient une règle », et ajoute que compréhension et maîtrise des procédures sont « tout aussi importantes ». Pensez à la retenue. La petite retenue est une dizaine. Un enfant qui le sait peut vérifier son résultat. Un enfant qui retient seulement « j'écris le 1 en haut » n'a plus rien pour vérifier quand les nombres grandissent.

Le National Council of Teachers of Mathematics défend une idée proche dans sa prise de position sur la fluidité procédurale : être fluide, c'est utiliser les procédures « de façon efficace, souple et exacte », et chaque élève devrait apprendre plus d'une méthode pour choisir celle qui convient au calcul. Pour 98 + 35, le geste souple est 100 + 35 − 2 = 133. Aucune opération posée n'est nécessaire.

Que veulent dire les nouvelles stratégies de calcul ?

Les nouvelles stratégies de calcul découpent toutes les nombres en morceaux faciles, en général des dizaines et des unités, pour que le calcul se fasse en étapes que l'enfant voit. Chacune correspond à une méthode que vous connaissez déjà.

Décomposition. Une décomposition est un cercle avec un nombre dedans et deux cercles en dessous pour ses parties. Le standard américain de maternelle demande de décomposer les nombres jusqu'à 10 en paires de plusieurs façons, par exemple 5 = 2 + 3 et 5 = 4 + 1. Les paires qui font 10 comptent le plus, parce que toutes les stratégies suivantes s'appuient sur elles. Quelques parties d'entraînement aux décompositions rendent ces paires automatiques.

Passer par la dizaine. Passer par la dizaine transforme un calcul difficile en calcul facile. Pour 8 + 5, il manque 2 au 8 pour arriver à 10, donc le 5 se coupe en 2 et 3 : 8 + 2 = 10, et 10 + 3 = 13. Le standard américain de grade 1 cite cette stratégie avec presque le même exemple : 8 + 6 = 8 + 2 + 4 = 10 + 4 = 14. Quand votre enfant posera plus tard une retenue dans 48 + 35, ce sera le même geste sur papier.

Droite numérique vierge. Une droite numérique vierge est une ligne sans graduations, sur laquelle on dessine des sauts. Pour 53 − 27, on part de 27 et on avance par sauts faciles : +3 mène à 30, +20 mène à 50, +3 mène à 53. Les sauts font 3 + 20 + 3 = 26, donc 53 − 27 = 26. Le grade 2 demande de représenter sommes et différences jusqu'à 100 sur une droite numérique, et le programme français du CP montre déjà 47 + 8 en deux sauts, +3 jusqu'à 50 puis +5 jusqu'à 55. Le guide pratique du What Works Clearinghouse pour les élèves en difficulté, Assisting Students Struggling with Mathematics, recommande la droite numérique pour apprendre notions et procédures. Une fois la retenue comprise, l'addition avec retenue est un bon entraînement.

Multiplication en grille. La multiplication en grille dessine le produit comme un rectangle découpé en parties. Pour 23 × 14, on coupe 23 en 20 et 3, et 14 en 10 et 4. Les quatre cases contiennent 20 × 10 = 200, 20 × 4 = 80, 3 × 10 = 30 et 3 × 4 = 12, et 200 + 80 + 30 + 12 = 322. Écrits en colonne, ces quatre nombres s'appellent des produits partiels. La multiplication posée trouve exactement ces morceaux en deux lignes : 23 × 4 = 92 et 23 × 10 = 230, et 92 + 230 = 322. Le grade 4 demande d'expliquer la multiplication avec des égalités, des dispositions rectangulaires et des modèles d'aire.

Quotients partiels. Les quotients partiels permettent de diviser par morceaux dont l'enfant est sûr. Pour 372 ÷ 6, on enlève 50 fois 6 (300) et il reste 72 ; on enlève 12 fois 6 (72) et il ne reste rien. Le résultat est 50 + 12 = 62, et 6 × 62 = 372 le vérifie.

Les nouvelles méthodes remplacent-elles l'opération posée ?

Les nouvelles méthodes ne remplacent pas l'opération posée : les programmes l'exigent, en France comme aux États-Unis. Le programme de mathématiques du cycle 2 fixe les étapes françaises : l'addition posée arrive au CP en période 4 ou 5, un algorithme de soustraction posée au CE1 « en période 3 au plus tard », et la multiplication posée au CE2 « en période 4 au plus tard ». Les standards Common Core de mathématiques nomment la technique aux États-Unis :

• Grade 4, l'équivalent du CM1 (4.NBT.B.4) : « additionner et soustraire couramment des nombres entiers à plusieurs chiffres avec l'algorithme standard ».
• Grade 5, l'équivalent du CM2 (5.NBT.B.5) : « multiplier couramment des nombres entiers à plusieurs chiffres avec l'algorithme standard ».
• Grade 6, l'équivalent de la 6e (6.NS.B.2) : « diviser couramment des nombres à plusieurs chiffres avec l'algorithme standard ».

La retenue arrive donc. Ce qui change, c'est le moment. Dans les premières années, le standard américain demande des stratégies « fondées sur la valeur de position » et de « relier la stratégie à une méthode écrite ». Les dessins servent de pont, et ils s'effacent en général dès que la technique écrite a du sens. Un enfant de CE1 qui dessine des sauts est dans les temps. Un enfant de CM2 qui n'a jamais vu d'addition posée, c'est une question à poser à l'enseignant.

Comment aider aux devoirs quand on ne comprend pas la méthode ?

L'aide la plus utile consiste à laisser votre enfant vous enseigner la stratégie. Expliquer une méthode à voix haute est justement la compétence que les devoirs travaillent.

1. Demandez avant de montrer. « Qu'est-ce que ta maîtresse a fait avec celui-là ? » La plupart des enfants savent expliquer une stratégie à moitié comprise, et en parler suffit souvent à finir le travail.
2. Trouvez l'exemple résolu. Les fiches et les pages de manuel commencent souvent par un exemple modèle. Recopiez sa présentation pour la question suivante, étape par étape.
3. Traduisez en dizaines et en unités. Quel que soit le schéma, demandez « combien de dizaines, combien d'unités ? ». Cette question marche pour les décompositions, les droites numériques et les grilles.
4. Gardez le raccourci pour plus tard. Si l'exercice demande une droite numérique, un raccourci qui la saute vaut une croix rouge et un enfant perdu. Montrez votre méthode après, comme moyen de vérifier le résultat.
5. Écrivez un mot. Quand ni vous ni votre enfant ne venez à bout de la fiche, un petit mot à l'enseignant (« nous avons bloqué sur la droite numérique ») est une information utile pour la leçon suivante.

Un enfant de CE1 qui s'entraîne à la retenue sur papier peut utiliser une fiche d'additions pour le CE1, fournie avec son corrigé. Pour la vue d'ensemble de chaque année, lisez ce qu'un enfant doit savoir en maths à chaque niveau.

Quelle place pour les faits numériques ?

Les faits numériques doivent toujours être mémorisés, et les standards fixent des échéances claires. Toutes les stratégies ci-dessus vont plus vite quand les petits résultats arrivent sans compter.

• Grade 2, l'équivalent du CE1 (2.OA.B.2) : « à la fin du grade 2, connaître de mémoire toutes les sommes de deux nombres à un chiffre ».
• Grade 3, l'équivalent du CE2 (3.OA.C.7) : « à la fin du grade 3, connaître de mémoire tous les produits de deux nombres à un chiffre ».

Les deux phrases viennent des standards Common Core de mathématiques. Les stratégies aident les enfants à y arriver. La prise de position du NCTM sur la fluidité procédurale recommande d'enseigner les faits de base par les relations entre nombres, comme passer par 10, et le guide du What Works Clearinghouse Assisting Students Struggling with Mathematics recommande de courtes activités chronométrées régulières pour construire la fluidité une fois l'idée comprise.

À la maison, quelques minutes par jour valent mieux qu'une longue séance le week-end. Les compléments à 10 viennent d'abord, puis les doubles, puis le reste des additions. Quand la multiplication arrive, apprendre les tables de multiplication rapidement propose un ordre qui réduit la grille à dix résultats difficiles. MathIt est une application gratuite pour iOS et Android avec environ 90 types de jeux et une difficulté adaptative, et un jeu de maths pour parents et enfants transforme l'entraînement en une courte manche à deux à table.

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