Unechte Brüche und gemischte Zahlen: was sie sind und wie man sie umwandelt

Die Bowle für das Klassenfest braucht 2 1/2 Liter Saft, und der einzige saubere Messbecher fasst 1/2 Liter. Ihr Kind zählt mit: 1, 2, 3, 4, 5. Fünf halbe Liter sind 5/2, und 5/2 ist dieselbe Menge wie 2 1/2, und das ist die ganze Idee von unechten Brüchen und gemischten Zahlen in einem Zählvorgang.

Was sind unechte Brüche und gemischte Zahlen?

Unechte Brüche und gemischte Zahlen sind zwei Schreibweisen für eine Menge von 1 oder mehr. Der unechte Bruch 7/4 zählt sieben Viertel; die gemischte Zahl 1 3/4 sagt dasselbe als ein Ganzes und drei übrige Viertel.

Ein Bruch ist echt, wenn sein Zähler kleiner ist als sein Nenner, wie bei 3/4, und unecht, wenn der Zähler gleich groß oder größer ist. OpenStax Prealgebra definiert es genauso: Der Bruch a/b ist echt, wenn a < b, und unecht, wenn a ≥ b. Dasselbe Kapitel sagt, dass eine gemischte Zahl aus einer ganzen Zahl und einem Bruch besteht.

Ganze Zahlen passen ins selbe Bild. Jede ganze Zahl lässt sich mit dem Nenner 1 schreiben, also 3 = 3/1, und ein unechter Bruch, dessen Zähler ein Vielfaches des Nenners ist, ist eine verkleidete ganze Zahl: 8/4 = 2, weil acht Viertel zwei Ganze füllen. Im Deutschen heißen solche Brüche Scheinbrüche.

Warum die Schule beide Formen unterrichtet

Die Schule unterrichtet beide Formen, weil jede für eine andere Aufgabe leichter ist. Eine gemischte Zahl zeigt die Größe einer Menge auf einen Blick (1 3/4 liegt zwischen 1 und 2), und ein unechter Bruch lässt sich leichter multiplizieren und dividieren.

In Bayern stehen beide Begriffe im Lehrplan der 6. Klasse. Der LehrplanPLUS für die 6. Klasse an der Realschule verlangt, Brüche zu deuten und dabei die Fachbegriffe Zähler, Nenner, gemischter Bruch, echter und unechter Bruch zu verwenden, und am Gymnasium addieren und subtrahieren die Kinder in der 6. Klasse Brüche, gemischte Zahlen und Dezimalbrüche. In den USA beginnen die Common-Core-Standards damit schon in der 4. Klasse (4.NF.B.3b zerlegt 2 1/8 = 1 + 1 + 1/8 = 8/8 + 8/8 + 1/8), und in England verlangt der nationale Lehrplan in Year 5, gemischte Zahlen und unechte Brüche zu erkennen und ineinander umzuwandeln.

Einen unechten Bruch in eine gemischte Zahl umwandeln: Schritt für Schritt

Einen unechten Bruch in eine gemischte Zahl umzuwandeln ist eine Division mit Rest. Der Bruchstrich bedeutet schon „geteilt durch“, und so sagt es auch der Common-Core-Standard 5.NF.B.3: Ein Bruch ist der Zähler geteilt durch den Nenner (a/b = a : b). Hier ist 17/5.

1. Den Zähler durch den Nenner teilen. 17 : 5 = 3 Rest 2, weil 3 · 5 = 15 und 17 − 15 = 2.
2. Das Ergebnis als ganze Zahl schreiben. Der Quotient ist 3, also beginnt die gemischte Zahl mit 3.
3. Den Rest als neuen Zähler schreiben. Der Rest 2 kommt oben in den Bruchteil.
4. Den Nenner behalten. Die Stücke sind immer noch Fünftel, also bleibt unten die 5, und 17/5 = 3 2/5.
5. Den Bruchteil kürzen. Bei 22/6 ist 22 : 6 = 3 Rest 4, das ergibt 3 4/6, und 4/6 gekürzt durch 2 ergibt 3 2/3.

Die Division in Schritt 1 ist dieselbe, die Kinder bei der schriftlichen Division kennenlernen, wo der Rest der Teil ist, der keine weitere Gruppe füllt. Sicheres Einmaleins rückwärts macht jede Umwandlung schneller.

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Der häufigste Fehler: den Nenner ändern

Der Nenner ändert sich bei einer Umwandlung nie, und ihn doch zu ändern ist der häufigste Fehler. Ein Kind, das 17 durch 5 teilt, schreibt manchmal 3 2/3 und setzt das Ergebnis nach unten, oder 3 2/17 und setzt den alten Zähler dorthin.

Fragen Sie, wie groß die Stücke sind. Siebzehn Fünftel sind vor der Umwandlung Fünftel und danach auch; wer je fünf davon zu einem Ganzen bündelt, lässt jedes Stück ein Fünftel bleiben. Die Einheiten laut zu sagen („siebzehn Fünftel sind drei Ganze und zwei Fünftel“) fängt den Fehler ab.

Eine gemischte Zahl in einen unechten Bruch umwandeln

Eine gemischte Zahl in einen unechten Bruch umzuwandeln ist die Division rückwärts: die ganze Zahl mit dem Nenner multiplizieren, den Zähler addieren und den Nenner behalten. Bei 3 2/5 enthalten die drei Ganzen 3 · 5 = 15 Fünftel, mit 2 weiteren Fünfteln sind es 17 Fünftel, also 3 2/5 = (3 · 5 + 2)/5 = 17/5.

Der Saft vom Anfang funktioniert genauso. Bei 2 1/2 Litern enthalten die zwei ganzen Liter 2 · 2 = 4 halbe Liter, mit einem weiteren halben Liter sind es 5/2, also fünf Füllungen des Halbliterbechers. OpenStax nennt dieselben drei Schritte: die ganze Zahl mit dem Nenner multiplizieren, den Zähler zu diesem Produkt addieren und die Summe über den ursprünglichen Nenner schreiben.

Warum das Umwandeln zuerst die Rechnung leichter macht

Wer eine gemischte Zahl zuerst in einen unechten Bruch umwandelt, multipliziert sicher, weil der ganze Teil und der Bruchteil zusammenbleiben. Wer 2 1/2 · 2 Teil für Teil rechnet, vergisst leicht die Hälfte; 5/2 · 2 = 10/2 = 5 lässt nichts zum Vergessen übrig. Der Leitfaden Brüche multiplizieren zeigt den ganzen Weg für gemischte Zahlen, und der Leitfaden Brüche subtrahieren zeigt, wann man aus einer gemischten Zahl ein Ganzes entbündelt.

Tipps für den Küchentisch zu unechten Brüchen und gemischten Zahlen

Gegenstände aus der Küche machen unechte Brüche und gemischte Zahlen sichtbar, weil ein Kind die Stücke zählen und zusehen kann, wie Ganze entstehen. Zehn Minuten mit Essen und einem Bleistift bringen mehr als eine Seite Drill.

• Pizzastücke: Schneiden Sie zwei Pizzen in Viertel und legen Sie 7 Stücke hin. Fragen Sie, wie viele Viertel es sind (7/4), dann wie viele ganze Pizzen sich wieder zusammensetzen lassen (1) und wie viele Stücke übrig bleiben (3).
• Messbecher: Füllen Sie mit einem Halbliterbecher 2 1/2 Liter Wasser in einen Topf und zählen Sie die Füllungen. Wiederholen Sie es mit einem Viertelliterglas für 1 3/4 Liter, das sind 7 Gläser, also 1 3/4 = 7/4.
• Ein Zahlenstrahl: Zeichnen Sie einen Strahl von 0 bis 4 und markieren Sie jedes Fünftel. Zählen Sie 17 Fünftel ab 0 und schauen Sie, wo Sie landen: 2 Striche hinter der 3, also 17/5 = 3 2/5.

Die Einheiten laut sagen

Den Namen der Einheit zu sagen hält den Nenner an seinem Platz. „Neun Halbe sind vier Ganze und ein Halbes“ gelingt leichter als „neun durch zwei ist vier und eins durch zwei“, und die gesprochene Form zeigt, warum die untere Zahl sich nicht ändern kann. Der Leitfaden Brüche für Eltern erklärt nutzt dieselbe Zählsprache für Zähler und Nenner.

So prüfen Sie, ob unechte Brüche und gemischte Zahlen sitzen

Fünf kurze Fragen zeigen, ob unechte Brüche und gemischte Zahlen verstanden sind. Bitten Sie Ihr Kind, jeden Schritt zu sagen, denn eine geratene richtige Antwort verdeckt eine Lücke.

• Einfache Umwandlung: Schreibe 11/4 als gemischte Zahl. Die Antwort ist 2 3/4, weil 11 : 4 = 2 Rest 3.
• Zurück: Schreibe 4 1/3 als unechten Bruch. Die Antwort ist 13/3, weil 4 · 3 + 1 = 13.
• Mit Kürzen: Schreibe 14/4 als gemischte Zahl. Die Antwort ist 3 2/4, gekürzt 3 1/2.
• Vergleichen: Fragen Sie, was größer ist, 9/4 oder 2 1/2. Der Bruch 9/4 ist 2 1/4, also ist 2 1/2 größer.
• Einordnen: Fragen Sie, zwischen welchen zwei ganzen Zahlen 23/5 liegt. Der Bruch 23/5 = 4 3/5, also liegt er zwischen 4 und 5.

Ein Test in beide Richtungen

Ein Test in beide Richtungen wandelt dieselbe Menge auf einer Seite hin und zurück um: 19/6 in eine gemischte Zahl (3 1/6), dann das Ergebnis zurück. Kommt bei der Rundreise wieder 19/6 heraus, sitzt der Weg. Wiederholen Sie das wöchentlich mit neuen Zahlen und gehen Sie nach zwei fehlerfreien Wochen weiter.

Die Seite mit dem Mathespiel für die 4. Klasse sammelt Übungen zum Teilen mit Rest, auf dem diese Fähigkeit aufbaut.

Typische Fehler und Sonderfälle

Vier Fehler verursachen die meisten falschen Antworten bei unechten Brüchen und gemischten Zahlen.

• Den Nenner ändern: Wer 17/5 als 3 2/3 schreibt, tauscht Fünftel gegen Drittel. Behalten Sie den ursprünglichen Nenner.
• Addieren statt multiplizieren: Wer 3 2/5 in (3 + 2)/5 = 5/5 umwandelt, zählt jedes Ganze als ein einziges Fünftel. Zuerst multiplizieren: 3 · 5 + 2 = 17, also ist die Antwort 17/5.
• Das Kürzen vergessen: 22/6 als 3 4/6 stehen zu lassen ist richtig, aber unfertig, wenn die Aufgabe vollständig gekürzt verlangt; 3 2/3 ist die erwartete Antwort. Der Leitfaden Brüche kürzen erklärt den Bruchteil.
• Den Rest weglassen: Wer 17/5 als 3 schreibt, verliert zwei Fünftel. Der Rest ist der Bruchteil, also muss er erscheinen.

Sonderfälle, die eine Minute wert sind

Sonderfälle treten auf, wenn der Rest 0 ist oder die Zahl negativ. Ein unechter Bruch mit dem Rest 0 ist ein Scheinbruch und damit eine ganze Zahl: 12 : 4 = 3 Rest 0, also 12/4 = 3, und niemand schreibt 3 0/4.

Bei einer negativen gemischten Zahl steht das Minus vor der ganzen Menge. Die Zahl −1 1/2 bedeutet −(1 + 1/2), also −3/2, und nicht −1 + 1/2, was −1/2 wäre. Wandeln Sie den positiven Teil um, 1 1/2 = 3/2, und setzen Sie das Vorzeichen wieder davor.

Ihre Checkliste und die nächsten Schritte zu gemischten Zahlen

• Erkennen: ein Bruch ist unecht, wenn sein Zähler gleich groß oder größer ist als sein Nenner.
• Zur gemischten Zahl: teilen; das Ergebnis ist der ganze Teil, der Rest der neue Zähler.
• Zum unechten Bruch: die ganze Zahl mit dem Nenner multiplizieren, dann den Zähler addieren.
• Gleicher Nenner: die Größe der Stücke ändert sich in keiner Richtung.
• Abschließen: den Bruchteil kürzen und in der Aufgabe nachlesen, welche Form verlangt ist.

Das Teilen mit Rest trägt jeden dieser Schritte, also lohnt sich kurzes tägliches Üben. MathIt ist eine kostenlose App für iOS und Android mit rund 90 Spieltypen, angepasster Schwierigkeit und täglichem Üben in 33 Sprachen, dazu Echtzeit-Duelle mit 2–5 Spielern für die Familie. 22 der Spiele laufen kostenlos im Browser ohne Anmeldung, und 30 druckbare Arbeitsblätter haben Lösungen.