Vad är primtal, och hur förklarar man dem för ett barn?

Ett primtal är ett heltal större än 1 som har exakt två faktorer: 1 och talet självt. Primtalen under 50 är 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 och 47. Alla andra heltal över 1 är sammansatta tal, eftersom de har en tredje faktor. Talet 1 är varken primtal eller sammansatt.

Ett primtal är ett heltal större än 1 som har exakt två faktorer, 1 och talet självt. Talet 7 är ett primtal eftersom bara 1 och 7 går jämnt upp i det. Talet 8 är sammansatt eftersom 1, 2, 4 och 8 alla går jämnt upp i det. Varje heltal större än 1 är antingen ett primtal eller ett sammansatt tal.

Varför är 1 inte ett primtal?

Talet 1 är inte ett primtal eftersom det bara har en faktor, sig självt, och definitionen kräver exakt två olika faktorer. Matematiker håller 1 utanför så att varje heltal över 1 har exakt en primtalsfaktorisering. Om 1 räknades som primtal kunde 12 skrivas som 2 × 2 × 3 eller som 1 × 2 × 2 × 3, och den entydigheten vore borta.

Vilka är primtalen upp till 50?

Primtalen upp till 50 är 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 och 47, femton tal sammanlagt. Listan utelämnar 1, som varken är primtal eller sammansatt, och alla jämna tal utom 2. Mellan 50 och 100 finns tio till, och det sista är 97.

Talet 91 är inget primtal, eftersom 91 = 7 × 13. Det klarar snabbtesten för 2, 3 och 5, och därför slinker det igenom ett test som slutar för tidigt. Division med 7 avslöjar det, och varje ärligt test av ett tvåsiffrigt tal måste nå fram till 7.

Hur kontrollerar man om ett tal är ett primtal?

Du kontrollerar om ett tal är ett primtal genom att dividera det med 2, 3, 5, 7 och 11 i tur och ordning, och sluta när delaren gånger sig själv passerar talet. För 97 går gränsen vid 10, eftersom 10 × 10 = 100, så bara 2, 3, 5 och 7 behöver prövas. När ingen av dem går jämnt upp är talet ett primtal.

Primtal förklarat: regler, lista och exempel

Ditt barn kommer hem med ett arbetsblad där primtalen ska ringas in, ringar in 9 och 51 och låter 2 stå kvar. Primtal ser självklara ut tills ett tal som 91 dyker upp, och då börjar gissandet. Bakom primtalen ligger en enda regel och ett kort test som avgör vilket tal som helst under 100 på ungefär en minut.

Vad är ett primtal?

Ett primtal är ett heltal större än 1 vars enda faktorer är 1 och talet självt. Ett sammansatt tal har minst en faktor till, och den extra faktorn gör att talet kan delas i lika stora grupper på mer än ett sätt.

Marker på bordet gör det synligt: sju bildar en rad med 7 och ingenting annat, medan tolv bildar 1 × 12, 2 × 6 och 3 × 4.

Primtalen under 50 är 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 och 47. Femton tal, värda att känna igen på syn på samma sätt som multiplikationstabellen.

Talet 2 är det enda jämna primtalet. Varje annat jämnt tal har 2 som faktor utöver 1 och sig självt, vilket ger tre faktorer och gör talet sammansatt.

Varför 1 inte är ett primtal

Talet 1 är varken primtal eller sammansatt, eftersom det bara har en faktor. Definitionen kräver exakt två olika faktorer, och 1 levererar en.

Matematiker håller 1 utanför med flit. Varje heltal över 1 går att dela upp i en produkt av primtal på exakt ett sätt, ett resultat som kallas aritmetikens fundamentalsats. Om 1 räknades som primtal kunde 12 skrivas som 2 × 2 × 3, eller 1 × 2 × 2 × 3, eller 1 × 1 × 2 × 2 × 3, och "exakt ett sätt" skulle inte betyda någonting.

Det är svaret att ge ett barn som frågar: 1 hålls utanför för att primtalsfaktoriseringen ska förbli entydig.

Ett rutnät med talen 1 till 50 där varje primtal är markerat och alla andra tal är överkryssade.

Varför primtal spelar roll i skolmatten och utanför

Primtalen bär upp hela faktordelen av matten på mellanstadiet. Common Core-standarden 4.OA.B.4 ber amerikanska elever i årskurs 4 att hitta alla faktorpar till ett heltal mellan 1 och 100, och att avgöra om ett givet heltal mellan 1 och 100 är ett primtal eller ett sammansatt tal.

England lägger samma innehåll i Year 5, alltså årskurs 5. Den engelska nationella kursplanen i matematik ber eleverna att avgöra om ett tal upp till 100 är ett primtal och att kunna primtalen upp till 19 utantill.

Den svenska kursplanen nämner inte primtal vid namn. Lgr22:s kursplan i matematik tar i årskurs 4–6 upp rationella tal och deras egenskaper samt hur talen kan delas upp och användas, och det är där faktorer, delbarhet och primtal hör hemma. I svenska läromedel dyker de upp i årskurs 5 och 6.

Utanför skolan är primtalen skälet till att en betalning på nätet förblir privat. Kryptering med öppen nyckel multiplicerar två mycket stora primtal och publicerar produkten, och säkerheten vilar på hur svårt det är att plocka isär den produkten igen.

Kopplingen till faktorer och bråk

Primtalsfaktorisering är verktyget som förkortar ett bråk till enklaste form, och därför kommer den före bråkräkningen. För att förkorta 84/126 delar du upp båda talen i primtal: 84 = 2 × 2 × 3 × 7 och 126 = 2 × 3 × 3 × 7. De gemensamma faktorerna är 2 × 3 × 7 = 42, så 84 ÷ 42 = 2, 126 ÷ 42 = 3, och 84/126 = 2/3.

Common Core-standarden 6.NS.B.4 gör det arbetet uttalat i årskurs 6, där eleverna ska hitta största gemensamma delare till två heltal upp till 100 och minsta gemensamma multipel till två heltal upp till 12. Spelet om multipler tränar samma samband från andra hållet, genom att fråga vilka tal en given faktor når fram till.

Spela gratis i webbläsarenMultipeljaktÅk 3–5

Så testar du om ett tal är ett primtal, steg för steg

Ett tal under 100 är ett primtal när inget av de mindre talen 2, 3, 5 och 7 går jämnt upp i det. De fyra kontrollerna täcker allt upp till 120, eftersom nästa primtal, 11, biter först vid 11 × 11 = 121.

Gör klart 0, 1 och 2 först. Noll och 1 är varken primtal eller sammansatta, 2 är ett primtal, och från 3 och uppåt är varje jämnt tal sammansatt.
Dividera med 2. Enligt nrich delbarhetsregler är ett tal delbart med 2 om dess sista siffra är jämn, så allt som slutar på 0, 2, 4, 6 eller 8 faller bort.
Dividera med 3. Addera siffrorna: när siffersumman är en multipel av 3 är talet det också. För 51 ger siffrorna 6, och 51 = 3 × 17; för 57 ger de 12, och 57 = 3 × 19.
Dividera med 5. Ett tal är delbart med 5 när sista siffran är 0 eller 5, vilket syns på en blick.
Dividera med 7, och med 11 över 120. Ingen av dem har en regel som syns på en blick, så gör divisionen och leta efter ett helt svar. Det här steget fångar 91, eftersom 91 ÷ 7 = 13.
Sluta vid kvadratroten. När delaren du prövar, gånger sig själv, passerar talet finns ingen delare kvar att hitta och talet är ett primtal.

Spela gratis i webbläsarenFaktorparÅk 3–5

Var man slutar: kvadratroten

Kvadratrotsregeln håller testet kort: för att bevisa att ett tal är ett primtal behöver du bara delare upp till kvadratroten ur talet. Har talet en faktor som är större än kvadratroten, så är den andra faktorn i det paret mindre, och den hade du redan mött.

Ta 97: eftersom 10 × 10 = 100 ligger förbi det, slutar kontrollerna under 10, och kvar blir 2, 3, 5 och 7. Ingen av dem går jämnt upp i 97, alltså är 97 ett primtal. Spelet om kvadrattal bygger känslan för var varje kvadrat ligger.

Tre sätt att hitta primtal: provdivision, Eratosthenes såll och faktorpar

Tre metoder hittar primtal: provdivision avgör ett enskilt tal, sållet producerar en hel lista, och faktorpar visar varför ett sammansatt tal är sammansatt.

Metod	Så fungerar den	Bäst för	Fart för hand	Största risken
Provdivision	Dividera med 2, 3, 5, 7 och 11 upp till kvadratroten	Att avgöra ett bestämt tal	Under en minut per tal	Att sluta före kvadratroten
Eratosthenes såll	Skriv 1 till 100 och kryssa sedan bort varje multipel av 2, 3, 5 och 7	Att få fram alla primtal till 100 på en gång	Runt 10 minuter för hela rutnätet	Att kryssa bort primtalet självt
Faktorpar	Skriv varje par som multipliceras till talet: 1 × 24, 2 × 12, 3 × 8, 4 × 6	Att visa ett barn varför ett tal är sammansatt	Två till tre minuter per tal	Att missa ett par i mitten

Vilken metod du ska välja

Eratosthenes såll vinner när ett barn behöver alla primtal upp till 100, eftersom en genomgång ger alla 25. Skriv 1 till 100 i ett rutnät med tio rader och tio kolumner, kryssa bort 1, ringa sedan in 2 och kryssa bort varannan multipel av 2. Ringa in 3 och kryssa bort dess multipler, och gör sedan samma sak för 5 och för 7.

Att kryssa bort multiplerna av 2, 3, 5 och 7 räcker för ett hundrarutnät, eftersom nästa primtal, 11, når ett okryssat tal först vid 11 × 11 = 121. Det som står kvar är primtal.

Faktorpar passar barnet som kan definitionen men saknar känslan för den. Spelet med faktorpar tränar den metoden, där det gör mer att se 4 × 6 bredvid 1 × 24 än att få höra att 24 är sammansatt.

Primtalsfaktorisering, räknat

Primtalsfaktorisering skriver ett tal som en produkt av primtal, och varje heltal över 1 har exakt en sådan produkt. För 84 är produkten 2 × 2 × 3 × 7, vilken väg räkningen än tar.

Den första vägen dividerar med det minsta primtal som passar, om och om igen: 84 ÷ 2 = 42, 42 ÷ 2 = 21, 21 ÷ 3 = 7, och 7 är ett primtal. Läser man av delarna får man 2 × 2 × 3 × 7, ofta skrivet 2² × 3 × 7.

Ett större tal beter sig likadant: 360 ÷ 2 = 180, 180 ÷ 2 = 90, 90 ÷ 2 = 45, 45 ÷ 3 = 15, 15 ÷ 3 = 5, alltså 360 = 2³ × 3² × 5.

Faktorträd

Ett faktorträd delar ett tal i vilka två faktorer som helst, delar sedan dem, tills varje gren slutar på ett primtal. Startar man 84 som 4 × 21 blir 4 = 2 × 2 och 21 = 3 × 7, så grenarnas ändar läser 2, 2, 3, 7.

Startar man samma 84 som 12 × 7 blir 12 = 3 × 4 och 4 = 2 × 2, och grenarnas ändar läser 2, 2, 3, 7 igen. Trädets form ändras och primtalen gör det inte, och det är aritmetikens fundamentalsats ritad på ett papper. Be ditt barn bygga båda träden; ögonblicket då de två listorna stämmer överens är ögonblicket då tanken landar.

Ett faktorträd som delar 60 i 6 och 10, och sedan i primtalsfaktorerna 2, 3, 2 och 5.

Så kontrollerar du att ditt barn har förstått

Fem signaler visar om primtalen har landat, och var och en tar under en minut att kontrollera.

Definitionen, sagd högt: Fråga vad ett primtal är, utan exempel. "Exakt två faktorer, 1 och talet självt" är svaret; "ett tal man inte kan dividera" är det inte.
Undantaget, namngivet: Fråga om ett jämnt tal kan vara ett primtal. Svaret är 2, och bara 2.
Primtalen till 50, på 30 sekunder: Be om dem i ordning. Femton tal från 2 till 47, utan 1 och utan 9.
Ett svårt tal, avgjort med ett skäl: Ge 91 och be om domen plus uträkningen. Ett barn som svarar "7 × 13, alltså sammansatt" har metoden; ett barn som svarar "primtal" mönsterletar.
En faktorisering som går ihop: Be om primtalsfaktoriseringen av 60, och sedan om produkten tillbaka. Svaret 2 × 2 × 3 × 5 = 60 visar båda riktningarna av färdigheten.

Ett test på fem minuter

En kontroll på fem minuter slår ett långt prov. What Works Clearinghouse-guiden om att hjälpa elever som kämpar med matematik rekommenderar att lärare regelbundet lägger in tidtagna aktiviteter som ett sätt att bygga flyt i matematik.

Samma guide ber lärare att undervisa ett tydligt och koncist matematiskt språk, vilket här betyder fyra ord använda med precision: primtal, sammansatt tal, faktor och multipel. Ett barn som blandar ihop faktor och multipel faller på orden, inte på tänkandet.

Spelet med divisionsfakta ger den snabbhet som metoden lutar sig mot, eftersom varje delbarhetskontroll är en divisionsfråga.

Vanliga misstag och gränsfall med primtal

Sex misstag orsakar de flesta felsvaren på ett arbetsblad om primtal, och vart och ett har en fix på en rad.

1 markerat som primtal: Talet 1 har en enda faktor, så det faller på regeln om "exakt två" och är varken primtal eller sammansatt.
2 markerat som sammansatt: Talet 2 är det enda jämna primtalet, och ett barn som har lärt sig "jämnt betyder sammansatt" behöver det undantaget skrivet överst på sidan.
0 prövat över huvud taget: Noll är varken primtal eller sammansatt, eftersom varje heltal över 0 går jämnt upp i det.
9 och 21 kallade primtal: Udda betyder inte primtal, eftersom 9 = 3 × 3 och 21 = 3 × 7.
51 och 57 kallade primtal: Båda faller på siffersumman för 3, eftersom 51 = 3 × 17 och 57 = 3 × 19.
91 kallat primtal: Talet 91 klarar 2, 3 och 5, så ett test som slutar vid 5 utropar det till primtal. Division med 7 ger 13, och 91 = 7 × 13.

Negativa tal och bråk ligger utanför frågan, eftersom primtal och sammansatta tal är definierade för heltal större än 1.

Din checklista för primtal

Säg definitionen: exakt två faktorer, 1 och talet självt.
Kan 2: det enda jämna primtalet, och undantaget som halverar varje lista.
Kör kontrollerna i ordning: 2, 3, 5, 7, och sedan 11 över 120.
Sluta vid kvadratroten: när delaren gånger sig själv passerar talet är talet ett primtal.
Kontrollera svaret: multiplicera ihop primtalsfaktorerna och jämför med talet du utgick från.

Träning fixar de två sista raderna snabbare än förklaringar gör. Det utskrivbara övningsbladet i multiplikation för årskurs 4 kommer med facit, och guiden om hur man lär sig multiplikationstabellen snabbt täcker minnet bakom varje delbarhetskontroll. Översikten över vilken matte varje årskurs ska kunna visar var primtalen hör hemma i kursplanen.

MathIt-appen är gratis för iOS och Android och har anpassad svårighetsgrad, så faktorträningen blir svårare först när de enklare talen kommer rätt, och 22 av dess ungefär 90 speltyper går att spela gratis i en webbläsare utan konto.

Öva vidare i appen MathIt

Ungefär 90 mattespel med anpassad svårighetsgrad, daglig träning och dueller för 2–5 spelare — gratis till iOS och Android.

Primtal förklarat: så känner du igen dem och varför de spelar roll

Kort sammanfattat