Números primos explicados: como reconhecer e por que eles importam

Seu filho chega em casa com uma atividade que pergunta quais números são primos, circula o 9 e o 51 e deixa o 2 de lado. Os números primos parecem óbvios até aparecer um número como 91, e aí começa o chute. Um número primo tem uma regra só por trás dele e um teste curto que resolve qualquer número até 100 em mais ou menos um minuto.

O que é um número primo?

Um número primo é um número natural maior que 1 cujos únicos divisores são 1 e ele mesmo. Um número composto tem pelo menos um divisor a mais, o que permite reparti-lo em grupos iguais de mais de um jeito.

As fichas deixam isso visível: sete formam uma fila de 7 e nada mais, enquanto doze formam 1 × 12, 2 × 6 e 3 × 4.

Os números primos menores que 50 são 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 e 47. Quinze números, que vale a pena reconhecer de bate-pronto, como a tabuada.

O número 2 é o único número primo par. Todo outro número par tem o 2 como divisor além do 1 e dele mesmo, o que dá três divisores e o torna composto.

Por que o 1 não é um número primo

O número 1 não é primo nem composto, porque tem um único divisor. A definição exige exatamente dois divisores diferentes, e o 1 oferece um.

Os matemáticos deixam o 1 de fora de propósito. Todo número natural acima de 1 se reparte em um produto de números primos de um único jeito, resultado conhecido como teorema fundamental da aritmética. Se o 1 valesse como primo, 12 poderia virar 2 × 2 × 3, ou 1 × 2 × 2 × 3, ou 1 × 1 × 2 × 2 × 3, e "um único jeito" não significaria nada.

Essa é a resposta para dar à criança que pergunta: o 1 fica de fora para que a decomposição em fatores primos continue única.

Por que os números primos importam na escola e fora dela

Os números primos sustentam todo o eixo de divisores e múltiplos do ensino fundamental. No Brasil, a Base Nacional Comum Curricular coloca esse conteúdo no 6º ano: a habilidade EF06MA05 pede "classificar números naturais em primos e compostos, estabelecer relações entre números, expressas pelos termos 'é múltiplo de', 'é divisor de', 'é fator de'", e ainda estabelecer critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 100 e 1000. Nos Estados Unidos, o padrão 4.OA.B.4 do Common Core pede o mesmo dois anos antes, no grade 4: "encontrar todos os pares de fatores de um número natural de 1 a 100" e "determinar se um número natural de 1 a 100 é primo ou composto".

A Inglaterra coloca esse conteúdo no Year 5. O currículo nacional de matemática da Inglaterra pede que o aluno "estabeleça se um número até 100 é primo e saiba de memória os números primos até 19".

Fora da escola, os números primos são a razão de um pagamento on-line continuar privado. A criptografia de chave pública multiplica dois números primos enormes e publica o produto, e a segurança depende de como é difícil desmontar esse produto.

A ligação com divisores e frações

A decomposição em fatores primos é a ferramenta que simplifica uma fração até a forma irredutível, e por isso ela chega antes do trabalho com frações. Para simplificar 84/126, reparta os dois números em primos: 84 = 2 × 2 × 3 × 7 e 126 = 2 × 3 × 3 × 7. Os fatores comuns são 2 × 3 × 7 = 42, então 84 ÷ 42 = 2, 126 ÷ 42 = 3, e 84/126 = 2/3.

O padrão 6.NS.B.4 do Common Core torna esse trabalho explícito no grade 6, em que o aluno "encontra o máximo divisor comum de dois números naturais menores ou iguais a 100 e o mínimo múltiplo comum de dois números naturais menores ou iguais a 12". O jogo de múltiplos treina a mesma relação pelo outro lado, perguntando quais números um divisor dado alcança.

Jogue grátis no navegadorCaça aos múltiplos3.º–5.º ano

Como testar se um número é primo, passo a passo

Um número até 100 é primo quando nenhum dos números menores 2, 3, 5 e 7 o divide. Essas quatro verificações cobrem tudo até 120, porque o primo seguinte, 11, só morde a partir de 11 × 11 = 121.

1. Resolva 0, 1 e 2 primeiro. Zero e 1 não são primos nem compostos, o 2 é primo e, do 3 em diante, todo número par é composto.
2. Divida por 2. Segundo os testes de divisibilidade do nrich, "um número é divisível por 2 se o último algarismo for par", então tudo que termina em 0, 2, 4, 6 ou 8 está fora.
3. Divida por 3. Some os algarismos: quando a soma é múltiplo de 3, o número também é. Em 51 os algarismos somam 6, e 51 = 3 × 17; em 57 somam 12, e 57 = 3 × 19.
4. Divida por 5. Um número é divisível por 5 quando o último algarismo é 0 ou 5, o que se vê de relance.
5. Divida por 7, e por 11 acima de 120. Nenhum dos dois tem regra de relance, então faça a divisão e veja se o resultado é inteiro. Esse passo pega o 91, porque 91 ÷ 7 = 13.
6. Pare na raiz quadrada. Assim que o divisor em teste, multiplicado por ele mesmo, passar do número, não sobra divisor a encontrar e o número é primo.

Jogue grátis no navegadorPares de fatores3.º–5.º ano

Onde parar: a raiz quadrada

A regra da raiz quadrada mantém o teste curto: para provar que um número é primo, você precisa de divisores só até a raiz quadrada dele. Se um número tem um divisor maior que a raiz quadrada, o divisor que faz par com ele é menor, então você já o teria encontrado.

Veja o 97: como 10 × 10 = 100 já passa dele, as verificações param abaixo de 10, o que deixa 2, 3, 5 e 7. Nenhum divide 97, então 97 é primo. O jogo de números quadrados constrói a noção de onde cada quadrado fica.

Três jeitos de achar números primos: divisões sucessivas, crivo de Eratóstenes e pares de fatores

Três métodos acham números primos: as divisões sucessivas decidem um número, o crivo produz uma lista inteira e os pares de fatores mostram por que um número composto é composto.

Qual método escolher

O crivo de Eratóstenes ganha quando a criança precisa de todos os primos até 100, porque uma passagem só produz os 25. Escreva de 1 a 100 em uma grade de dez por dez, risque o 1, depois circule o 2 e risque todos os outros múltiplos de 2. Circule o 3 e risque os múltiplos dele, e faça o mesmo com o 5 e com o 7.

Riscar os múltiplos de 2, 3, 5 e 7 já basta para um quadro de cem, porque o primo seguinte, 11, só alcança um número não riscado em 11 × 11 = 121. O que ficar de pé é primo.

Os pares de fatores servem à criança que tem a definição mas não tem a noção. O jogo de pares de fatores cobre esse método, em que ver 4 × 6 ao lado de 1 × 24 faz mais efeito do que ouvir que 24 é composto.

Decomposição em fatores primos, resolvida

A decomposição em fatores primos escreve um número como produto de números primos, e todo número natural acima de 1 tem exatamente um produto desses. Para 84 esse produto é 2 × 2 × 3 × 7, seja qual for o caminho.

O primeiro caminho divide pelo menor primo que cabe, várias vezes: 84 ÷ 2 = 42, 42 ÷ 2 = 21, 21 ÷ 3 = 7, e 7 é primo. Lendo os divisores sai 2 × 2 × 3 × 7, muitas vezes escrito 2² × 3 × 7.

Um número maior se comporta igual: 360 ÷ 2 = 180, 180 ÷ 2 = 90, 90 ÷ 2 = 45, 45 ÷ 3 = 15, 15 ÷ 3 = 5, então 360 = 2³ × 3² × 5.

Árvore de fatores

A árvore de fatores reparte um número em dois fatores quaisquer, depois reparte esses, até todo galho terminar em um número primo. Começar 84 como 4 × 21 dá 4 = 2 × 2 e 21 = 3 × 7, então as pontas dos galhos são 2, 2, 3, 7.

Começar o mesmo 84 como 12 × 7 dá 12 = 3 × 4 e 4 = 2 × 2, e as pontas dos galhos são 2, 2, 3, 7 de novo. O formato da árvore muda e os primos não, e isso é o teorema fundamental da aritmética desenhado no papel. Peça ao seu filho para montar as duas árvores; a hora em que as duas listas batem é a hora em que a ideia entra.

Como saber se seu filho entendeu

Cinco sinais mostram se os números primos entraram, e cada um leva menos de um minuto para conferir.

• A definição, dita em voz alta: pergunte o que é um número primo, sem exemplo. "Exatamente dois divisores, 1 e ele mesmo" é a resposta; "um número que não dá para dividir" não é.
• A exceção citada: pergunte se um número par pode ser primo. A resposta é o 2, e só o 2.
• Os primos até 50, em 30 segundos: peça a lista em ordem. Quinze números, de 2 a 47, sem o 1 e sem o 9.
• Um número difícil, decidido com justificativa: dê o 91 e peça o veredito mais a conta. A criança que responde "7 × 13, então é composto" tem o método; a que responde "primo" está chutando por semelhança.
• Uma decomposição que fecha: peça a decomposição de 60 em fatores primos e depois o produto de volta. A resposta 2 × 2 × 3 × 5 = 60 mostra os dois sentidos da habilidade.

Um teste de cinco minutos

Uma conferida de cinco minutos vale mais que uma prova longa. O guia de práticas do What Works Clearinghouse para alunos com dificuldade em matemática recomenda que os professores "incluam regularmente atividades cronometradas como uma forma de desenvolver a fluência em matemática".

O mesmo guia pede que os professores "ensinem uma linguagem matemática clara e concisa", o que aqui significa quatro palavras usadas com precisão: primo, composto, divisor e múltiplo. A criança que troca divisor por múltiplo erra no vocabulário, não no raciocínio.

O jogo de tabuada da divisão dá a memória rápida em que o procedimento se apoia, já que toda verificação de divisibilidade é uma pergunta de divisão.

Erros comuns com números primos e casos de fronteira

Seis erros causam a maioria das respostas erradas numa atividade de números primos, e cada um tem um conserto de uma linha.

• 1 marcado como primo: o número 1 tem um único divisor, então falha na regra dos "exatamente dois" e não é primo nem composto.
• 2 marcado como composto: o 2 é o único primo par, e a criança que aprendeu "par quer dizer composto" precisa dessa exceção escrita no alto da página.
• 0 chegar a ser testado: o zero não é primo nem composto, porque todo número natural acima de 0 divide o zero.
• 9 e 21 chamados de primos: ímpar não quer dizer primo, já que 9 = 3 × 3 e 21 = 3 × 7.
• 51 e 57 chamados de primos: os dois caem na soma dos algarismos para o 3, já que 51 = 3 × 17 e 57 = 3 × 19.
• 91 chamado de primo: o 91 passa pelo 2, pelo 3 e pelo 5, então um teste que para no 5 o declara primo. Dividir por 7 dá 13, e 91 = 7 × 13.

Números negativos e frações ficam fora da pergunta, porque primo e composto são definidos para números naturais maiores que 1.

Sua lista de conferência dos números primos

• Diga a definição: exatamente dois divisores, 1 e ele mesmo.
• Conheça o 2: o único primo par, e a exceção que corta toda lista pela metade.
• Faça as verificações em ordem: 2, 3, 5, 7, depois 11 acima de 120.
• Pare na raiz quadrada: quando o divisor vezes ele mesmo passa do número, o número é primo.
• Confira a resposta: multiplique os fatores primos de volta e compare com o número de partida.

O treino conserta as duas últimas linhas mais rápido que a explicação. A atividade de multiplicação para imprimir do 4º ano vem com gabarito, e o guia de como aprender a tabuada rápido cobre a memória por trás de toda verificação de divisibilidade. O panorama do que a criança deve saber de matemática em cada ano mostra onde os números primos ficam no currículo.

O app gratuito do MathIt para iOS e Android tem dificuldade adaptativa, então o treino com divisores só fica mais difícil depois que os números mais fáceis saem certos, e 22 de seus cerca de 90 tipos de jogo funcionam de graça no navegador, sem cadastro.