Les nombres premiers expliqués : comment les reconnaître et à quoi ils servent

Votre enfant rentre avec un exercice qui demande quels nombres sont premiers, entoure 9 et 51, et laisse 2 de côté. Les nombres premiers ont l'air évidents jusqu'à ce qu'un nombre comme 91 arrive, et là les devinettes commencent. Un nombre premier repose sur une seule règle et sur un test court qui tranche n'importe quel nombre sous 100 en une minute environ.

Qu'est-ce qu'un nombre premier ?

Un nombre premier est un entier supérieur à 1 dont les seuls diviseurs sont 1 et lui-même. Un nombre composé possède au moins un diviseur de plus, ce qui permet de le partager en groupes égaux de plusieurs façons.

Des jetons rendent cela visible : sept forment une rangée de 7 et rien d'autre, tandis que douze forment 1 × 12, 2 × 6 et 3 × 4.

Les nombres premiers inférieurs à 50 sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 et 47. Quinze nombres, qu'il vaut la peine de reconnaître au premier coup d'œil, comme les tables de multiplication.

Le nombre 2 est le seul nombre premier pair. Tout autre nombre pair a 2 pour diviseur en plus de 1 et de lui-même, ce qui lui donne trois diviseurs et le rend composé.

Pourquoi 1 n'est pas un nombre premier

Le nombre 1 n'est ni premier ni composé, parce qu'il n'a qu'un seul diviseur. La définition demande exactement deux diviseurs différents, et 1 n'en fournit qu'un.

Les mathématiciens écartent 1 volontairement. Tout entier supérieur à 1 se décompose en produit de nombres premiers d'une seule façon, un résultat appelé théorème fondamental de l'arithmétique. Si 1 comptait comme premier, 12 s'écrirait 2 × 2 × 3, ou 1 × 2 × 2 × 3, ou 1 × 1 × 2 × 2 × 3, et « d'une seule façon » ne voudrait plus rien dire.

C'est la réponse à donner à un enfant qui pose la question : 1 est mis à part pour que la décomposition en facteurs premiers reste unique.

À quoi servent les nombres premiers à l'école et au-delà

Les nombres premiers soutiennent tout le travail sur les diviseurs à l'école élémentaire. Le standard américain Common Core 4.OA.B.4 demande aux élèves de grade 4, l'équivalent du CM1, de « trouver tous les couples de facteurs d'un entier compris entre 1 et 100 » et de « déterminer si un entier donné compris entre 1 et 100 est premier ou composé ».

En Angleterre, le même contenu est placé en Year 5. Le programme national de mathématiques anglais demande aux élèves d'« établir si un nombre jusqu'à 100 est premier et de connaître les nombres premiers jusqu'à 19 ».

En France, les nombres premiers eux-mêmes n'arrivent qu'au collège, mais le travail sur les diviseurs qui les prépare commence à l'école : le programme de mathématiques du cycle 3 demande au CM2 de « déterminer tous les diviseurs d'un nombre entier inférieur ou égal à 30 » et de « déterminer les diviseurs communs à deux nombres entiers inférieurs ou égaux à 30 ».

Hors de l'école, les nombres premiers sont la raison pour laquelle un paiement en ligne reste privé. Le chiffrement à clé publique multiplie deux très grands nombres premiers et publie le produit, et la sécurité repose sur la difficulté à démonter ce produit.

Le lien avec les diviseurs et les fractions

La décomposition en facteurs premiers est l'outil qui rend une fraction irréductible, et c'est pour cela qu'elle arrive avant le travail sur les fractions. Pour simplifier 84/126, décomposez les deux nombres : 84 = 2 × 2 × 3 × 7 et 126 = 2 × 3 × 3 × 7. Les facteurs communs donnent 2 × 3 × 7 = 42, donc 84 ÷ 42 = 2, 126 ÷ 42 = 3, et 84/126 = 2/3.

Le standard Common Core 6.NS.B.4 rend ce travail explicite en grade 6, l'équivalent de la 6e, où les élèves « trouvent le plus grand diviseur commun de deux entiers inférieurs ou égaux à 100 et le plus petit multiple commun de deux entiers inférieurs ou égaux à 12 ». Le jeu des multiples travaille la même relation par l'autre bout, en demandant quels nombres un diviseur donné atteint.

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Comment tester si un nombre est premier, étape par étape

Un nombre inférieur à 100 est premier quand aucun des nombres 2, 3, 5 et 7 ne le divise. Ces quatre vérifications couvrent tout jusqu'à 120, car le nombre premier suivant, 11, ne mord qu'à partir de 11 × 11 = 121.

1. Réglez d'abord le cas de 0, 1 et 2. Zéro et 1 ne sont ni premiers ni composés, 2 est premier, et à partir de 3 tout nombre pair est composé.
2. Divisez par 2. D'après les critères de divisibilité de nrich, « un nombre est divisible par 2 si son dernier chiffre est pair » : tout ce qui se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8 est éliminé.
3. Divisez par 3. Additionnez les chiffres : quand la somme est un multiple de 3, le nombre l'est aussi. Pour 51, les chiffres donnent 6, et 51 = 3 × 17 ; pour 57, ils donnent 12, et 57 = 3 × 19.
4. Divisez par 5. Un nombre est divisible par 5 quand son dernier chiffre est 0 ou 5, ce qui se voit d'un coup d'œil.
5. Divisez par 7, et par 11 au-delà de 120. Aucun des deux n'a de règle immédiate : posez la division et cherchez un résultat entier. Cette étape attrape 91, car 91 ÷ 7 = 13.
6. Arrêtez-vous à la racine carrée. Dès que le diviseur testé, multiplié par lui-même, dépasse le nombre, il ne reste plus de diviseur à trouver et le nombre est premier.

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Où s'arrêter : la racine carrée

La règle de la racine carrée garde le test court : pour prouver qu'un nombre est premier, il suffit de tester les diviseurs jusqu'à sa racine carrée. Si un nombre a un diviseur plus grand que sa racine carrée, l'autre diviseur du couple est plus petit, et vous l'auriez donc déjà rencontré.

Prenez 97 : comme 10 × 10 = 100 le dépasse, les vérifications s'arrêtent sous 10, ce qui laisse 2, 3, 5 et 7. Aucun ne divise 97, donc 97 est premier. Le jeu des nombres carrés construit le sens de l'endroit où se situe chaque carré.

Trois façons de trouver les nombres premiers : divisions successives, crible d'Ératosthène et couples de diviseurs

Trois méthodes trouvent les nombres premiers : les divisions successives tranchent pour un nombre, le crible produit une liste entière, et les couples de diviseurs montrent pourquoi un nombre composé l'est.

Quelle méthode choisir

Le crible d'Ératosthène gagne quand un enfant a besoin de tous les nombres premiers jusqu'à 100, car un seul passage les produit tous les 25. Écrivez 1 à 100 dans une grille de dix sur dix, barrez 1, puis entourez 2 et barrez tous les autres multiples de 2. Entourez 3 et barrez ses multiples, puis faites de même pour 5 et pour 7.

Barrer les multiples de 2, 3, 5 et 7 suffit pour une grille de cent nombres, car le nombre premier suivant, 11, n'atteint un nombre non barré qu'à 11 × 11 = 121. Tout ce qui reste debout est premier.

Les couples de diviseurs conviennent à l'enfant qui connaît la définition sans la sentir. Le jeu des couples de facteurs travaille cette méthode : voir 4 × 6 à côté de 1 × 24 fait plus d'effet que s'entendre dire que 24 est composé.

La décomposition en facteurs premiers, pas à pas

La décomposition en facteurs premiers écrit un nombre comme un produit de nombres premiers, et tout entier supérieur à 1 possède exactement un tel produit. Pour 84, ce produit est 2 × 2 × 3 × 7, quel que soit le chemin emprunté.

Le premier chemin divise par le plus petit nombre premier qui convient, encore et encore : 84 ÷ 2 = 42, 42 ÷ 2 = 21, 21 ÷ 3 = 7, et 7 est premier. En relisant les diviseurs, on obtient 2 × 2 × 3 × 7, souvent écrit 2² × 3 × 7.

Un nombre plus grand se comporte de la même façon : 360 ÷ 2 = 180, 180 ÷ 2 = 90, 90 ÷ 2 = 45, 45 ÷ 3 = 15, 15 ÷ 3 = 5, donc 360 = 2³ × 3² × 5.

Les arbres de facteurs

Un arbre de facteurs coupe un nombre en deux facteurs quelconques, puis coupe ceux-ci, jusqu'à ce que chaque branche se termine sur un nombre premier. Partir de 84 comme 4 × 21 donne 4 = 2 × 2 et 21 = 3 × 7, donc les bouts de branches se lisent 2, 2, 3, 7.

Partir du même 84 comme 12 × 7 donne 12 = 3 × 4 et 4 = 2 × 2, et les bouts de branches se lisent encore 2, 2, 3, 7. La forme de l'arbre change, les nombres premiers non : c'est le théorème fondamental de l'arithmétique dessiné sur une page. Demandez à votre enfant de construire les deux arbres ; le moment où les deux listes coïncident est le moment où l'idée entre.

Comment vérifier que votre enfant a compris

Cinq signaux montrent si les nombres premiers sont acquis, et chacun se vérifie en moins d'une minute.

• La définition, dite à voix haute : demandez ce qu'est un nombre premier, sans exemple. « Exactement deux diviseurs, 1 et lui-même » est la réponse ; « un nombre qu'on ne peut pas diviser » ne l'est pas.
• L'exception nommée : demandez si un nombre pair peut être premier. La réponse est 2, et seulement 2.
• Les nombres premiers jusqu'à 50, en 30 secondes : demandez-les dans l'ordre. Quinze nombres de 2 à 47, sans 1 et sans 9.
• Un nombre difficile, tranché avec une raison : donnez 91 et demandez le verdict avec le calcul. Un enfant qui répond « 7 × 13, donc composé » a la méthode ; un enfant qui répond « premier » reconnaît une forme, rien de plus.
• Une décomposition qui se vérifie : demandez la décomposition de 60 en facteurs premiers, puis le produit en retour. La réponse 2 × 2 × 3 × 5 = 60 montre les deux sens de la compétence.

Un test de cinq minutes

Une vérification de cinq minutes vaut mieux qu'un long contrôle. Le guide du What Works Clearinghouse sur l'aide aux élèves en difficulté en mathématiques recommande aux enseignants de « prévoir régulièrement des activités chronométrées comme un des moyens de construire l'aisance en mathématiques ».

Le même guide demande d'« enseigner un langage mathématique clair et précis », ce qui veut dire ici quatre mots employés avec justesse : premier, composé, diviseur et multiple. Un enfant qui échange diviseur et multiple échoue sur le vocabulaire, pas sur le raisonnement.

Le jeu des divisions fournit la mémoire sur laquelle la procédure s'appuie, puisque chaque critère de divisibilité est une question de division.

Les erreurs fréquentes sur les nombres premiers et les cas limites

Six erreurs causent la plupart des mauvaises réponses sur un exercice de nombres premiers, et chacune a une correction en une ligne.

• 1 marqué comme premier : le nombre 1 n'a qu'un seul diviseur, il échoue donc à la règle des « exactement deux » et n'est ni premier ni composé.
• 2 marqué comme composé : le nombre 2 est le seul nombre premier pair, et un enfant qui a retenu « pair veut dire composé » a besoin de cette exception écrite en haut de la page.
• 0 testé tout court : zéro n'est ni premier ni composé, car tout entier supérieur à 0 le divise.
• 9 et 21 déclarés premiers : impair ne veut pas dire premier, puisque 9 = 3 × 3 et 21 = 3 × 7.
• 51 et 57 déclarés premiers : les deux tombent au critère de la somme des chiffres pour 3, puisque 51 = 3 × 17 et 57 = 3 × 19.
• 91 déclaré premier : le nombre 91 passe 2, 3 et 5, donc un test qui s'arrête à 5 le déclare premier. La division par 7 donne 13, et 91 = 7 × 13.

Les nombres négatifs et les fractions sortent de la question, car premier et composé se définissent pour les entiers supérieurs à 1.

Votre pense-bête des nombres premiers

• Dites la définition : exactement deux diviseurs, 1 et lui-même.
• Connaissez 2 : le seul nombre premier pair, et l'exception qui coupe toute liste en deux.
• Faites les vérifications dans l'ordre : 2, 3, 5, 7, puis 11 au-delà de 120.
• Arrêtez-vous à la racine carrée : quand le diviseur multiplié par lui-même dépasse le nombre, le nombre est premier.
• Vérifiez la réponse : remultipliez les facteurs premiers et comparez au nombre de départ.

L'entraînement corrige les deux dernières lignes plus vite que l'explication. La fiche de multiplication à imprimer pour le CM1 est fournie avec son corrigé, et le guide sur comment apprendre vite les tables de multiplication couvre la mémoire derrière chaque critère de divisibilité. Le panorama de ce qu'il faut savoir en maths à chaque niveau montre où se placent les nombres premiers dans le programme.

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