Priemgetallen uitgelegd: hoe je ze herkent en waarom ze ertoe doen

Je kind komt thuis met een werkblad waarop staat welke getallen priem zijn, omcirkelt 9 en 51, en laat 2 staan. Priemgetallen lijken vanzelfsprekend tot er een getal als 91 voorbijkomt, en dan begint het gokken. Achter een priemgetal zit één regel en een korte test die elk getal onder de 100 in ongeveer een minuut beslist.

Wat is een priemgetal?

Een priemgetal is een heel getal groter dan 1 waarvan de enige delers 1 en het getal zelf zijn. Een samengesteld getal heeft er minstens één deler bij, en daardoor kun je het op meer dan één manier in gelijke groepjes leggen.

Met fiches zie je dat meteen: zeven vormen één rij van 7 en verder niets, terwijl twaalf 1 × 12, 2 × 6 en 3 × 4 vormen.

De priemgetallen onder de 50 zijn 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 en 47. Vijftien getallen, die je net zo goed op het zicht kunt kennen als de tafels.

Het getal 2 is het enige even priemgetal. Elk ander even getal heeft 2 als deler bovenop 1 en zichzelf, en dat zijn drie delers, dus samengesteld.

Waarom 1 geen priemgetal is

Het getal 1 is niet priem en niet samengesteld, want het heeft maar één deler. De definitie vraagt om precies twee verschillende delers, en 1 levert er één.

Wiskundigen laten 1 met opzet buiten de lijst. Elk heel getal boven 1 valt op precies één manier uiteen in een product van priemgetallen, een resultaat dat de hoofdstelling van de rekenkunde heet. Telde 1 als priemgetal mee, dan kon je 12 schrijven als 2 × 2 × 3, of 1 × 2 × 2 × 3, of 1 × 1 × 2 × 2 × 3, en betekende "precies één manier" niets meer.

Dat is het antwoord voor een kind dat ernaar vraagt: 1 valt af zodat de ontbinding in priemfactoren uniek blijft.

Waarom priemgetallen ertoe doen, op school en daarbuiten

Priemgetallen dragen de hele delerlijn van het rekenonderwijs. Standaard 4.OA.B.4 van de Amerikaanse Common Core vraagt in het vierde schooljaar, vergelijkbaar met groep 6, om "alle delerparen van een heel getal in het bereik 1–100" te vinden en te bepalen "of een gegeven heel getal in het bereik 1–100 priem of samengesteld is".

In Nederland staat het woord zelf in de kerndoelen. De uitwerking van kerndoel 26 noemt bij getalbegrip "bijzondere getallen, zoals kwadraten, gemene veelvouden, delers en priemgetallen"; in Engeland valt dezelfde stof in Year 5, waar het nationale curriculum vraagt vast te stellen "of een getal tot 100 priem is" en de priemgetallen tot 19 uit het hoofd te kennen. Dat is ongeveer groep 7.

Buiten school zijn priemgetallen de reden dat een online betaling privé blijft. Versleuteling met een publieke sleutel vermenigvuldigt twee heel grote priemgetallen en publiceert het product, en de veiligheid zit in hoe moeilijk dat product weer uit elkaar te halen is.

Het verband met delers en breuken

Ontbinden in priemfactoren is het gereedschap waarmee je een breuk zo eenvoudig mogelijk maakt, en daarom komt het vóór het werken met breuken. Om 84/126 te vereenvoudigen splits je beide getallen in priemfactoren: 84 = 2 × 2 × 3 × 7 en 126 = 2 × 3 × 3 × 7. De gedeelde factoren zijn 2 × 3 × 7 = 42, dus 84 ÷ 42 = 2, 126 ÷ 42 = 3, en 84/126 = 2/3.

Standaard 6.NS.B.4 van de Common Core maakt die klus expliciet in het zesde schooljaar, ruwweg groep 8: leerlingen zoeken daar "de grootste gemene deler van twee hele getallen tot en met 100 en het kleinste gemene veelvoud van twee hele getallen tot en met 12". Het spel met veelvouden oefent dezelfde relatie van de andere kant, door te vragen welke getallen een gegeven deler bereikt.

Gratis spelen in je browserVeelvouden-raceGroep 5–7

Hoe test je stap voor stap of een getal priem is?

Een getal onder de 100 is priem als geen van de getallen 2, 3, 5 en 7 erin gaat. Die vier controles dekken alles tot 120, want het volgende priemgetal, 11, bijt pas bij 11 × 11 = 121.

1. Regel eerst 0, 1 en 2. Nul en 1 zijn niet priem en niet samengesteld, 2 is priem, en vanaf 3 is elk even getal samengesteld.
2. Deel door 2. Volgens de deelbaarheidsregels van nrich is "een getal deelbaar door 2 als het laatste cijfer even is", dus alles wat op 0, 2, 4, 6 of 8 eindigt valt af.
3. Deel door 3. Tel de cijfers op: is de som een veelvoud van 3, dan het getal ook. Bij 51 geven de cijfers 6, en 51 = 3 × 17; bij 57 geven ze 12, en 57 = 3 × 19.
4. Deel door 5. Een getal is deelbaar door 5 als het laatste cijfer een 0 of een 5 is, en dat zie je in één oogopslag.
5. Deel door 7, en boven 120 ook door 11. Voor allebei bestaat geen regel op het zicht, dus doe de deling en kijk of er een heel getal uitkomt. Deze stap betrapt 91, want 91 ÷ 7 = 13.
6. Stop bij de wortel. Zodra de deler die je test, maal zichzelf, boven het getal uitkomt, valt er geen deler meer te vinden en is het getal priem.

Gratis spelen in je browserFactorparenGroep 5–7

Waar je stopt: de wortel

De wortelregel houdt de test kort: om te bewijzen dat een getal priem is, heb je alleen delers tot aan de wortel nodig. Heeft een getal een deler die groter is dan zijn wortel, dan is de bijbehorende deler uit dat paar kleiner, en die was je dus al tegengekomen.

Neem 97: omdat 10 × 10 = 100 er al voorbij is, stoppen de controles onder de 10, en dat laat 2, 3, 5 en 7 over. Geen ervan gaat in 97, dus 97 is priem. Het spel met kwadraten bouwt het gevoel op voor waar elk kwadraat ligt.

Drie manieren om priemgetallen te vinden: proefdelen, de zeef van Eratosthenes en delerparen

Drie methoden vinden priemgetallen: proefdelen beslist over één getal, de zeef levert een hele lijst, en delerparen laten zien waarom een samengesteld getal samengesteld is.

Welke methode je kiest

De zeef van Eratosthenes wint als een kind elk priemgetal tot 100 nodig heeft, want één ronde levert alle 25 op. Schrijf 1 tot 100 in een rooster van tien bij tien, streep 1 door, omcirkel dan 2 en streep elk ander veelvoud van 2 door. Omcirkel 3 en streep de veelvouden door, en doe daarna hetzelfde voor 5 en voor 7.

Veelvouden van 2, 3, 5 en 7 doorstrepen is genoeg voor een honderdveld, want het volgende priemgetal, 11, bereikt pas bij 11 × 11 = 121 een getal dat nog niet doorgestreept is. Wat blijft staan, is priem.

Delerparen passen bij het kind dat de definitie wel heeft, maar er geen gevoel bij. Het spel met delerparen oefent die methode, waarbij 4 × 6 naast 1 × 24 zien meer doet dan te horen krijgen dat 24 samengesteld is.

Ontbinden in priemfactoren, uitgewerkt

Ontbinden in priemfactoren schrijft een getal als een product van priemgetallen, en elk heel getal boven 1 heeft precies één zo'n product. Voor 84 is dat product 2 × 2 × 3 × 7, welke route het werk ook neemt.

De eerste route deelt telkens door het kleinste priemgetal dat past: 84 ÷ 2 = 42, 42 ÷ 2 = 21, 21 ÷ 3 = 7, en 7 is priem. De delers op een rij geven 2 × 2 × 3 × 7, vaak geschreven als 2² × 3 × 7.

Een groter getal gedraagt zich net zo: 360 ÷ 2 = 180, 180 ÷ 2 = 90, 90 ÷ 2 = 45, 45 ÷ 3 = 15, 15 ÷ 3 = 5, dus 360 = 2³ × 3² × 5.

Factorbomen

Een factorboom splitst een getal in twee willekeurige factoren, splitst die weer, en gaat door tot elke tak op een priemgetal eindigt. Begin je 84 als 4 × 21, dan geeft 4 = 2 × 2 en 21 = 3 × 7, dus de takuiteinden lezen 2, 2, 3, 7.

Begin je datzelfde getal 84 als 12 × 7, dan geeft 12 = 3 × 4 en 4 = 2 × 2, en lezen de takuiteinden opnieuw 2, 2, 3, 7. De vorm van de boom verandert en de priemgetallen niet, en dat is de hoofdstelling van de rekenkunde op papier getekend. Laat je kind allebei de bomen bouwen; op het moment dat de twee lijstjes gelijk zijn, valt het kwartje.

Hoe je nagaat of je kind het doorheeft

Vijf signalen laten zien of priemgetallen zijn ingedaald, en elk kost minder dan een minuut.

• De definitie, hardop: Vraag wat een priemgetal is, zonder voorbeeld. "Precies twee delers, 1 en zichzelf" is het antwoord; "een getal dat je niet kunt delen" niet.
• De uitzondering genoemd: Vraag of een even getal priem kan zijn. Het antwoord is 2, en alleen 2.
• De priemgetallen tot 50, in 30 seconden: Vraag ze op volgorde. Vijftien getallen van 2 tot 47, zonder 1 en zonder 9.
• Een lastig getal, met een reden beslist: Geef 91 en vraag om het oordeel plus het werk. Een kind dat "7 × 13, dus samengesteld" antwoordt, heeft de methode; een kind dat "priem" antwoordt, herkent een patroon.
• Een ontbinding die klopt: Vraag om de priemfactoren van 60, en daarna om het product terug. Het antwoord 2 × 2 × 3 × 5 = 60 laat beide richtingen van de vaardigheid zien.

Een toets van vijf minuten

Een controle van vijf minuten verslaat een lange overhoring. De gids van de What Works Clearinghouse over hulp aan leerlingen die met rekenen worstelen raadt leerkrachten aan "regelmatig getimede oefeningen op te nemen als een manier om vlotheid in rekenen op te bouwen".

Dezelfde gids vraagt leerkrachten "heldere en beknopte wiskundetaal aan te leren", en dat betekent hier vier woorden die precies worden gebruikt: priem, samengesteld, deler en veelvoud. Een kind dat deler en veelvoud verwisselt, zakt op woordgebruik, niet op redeneren.

Het spel met deelsommen levert het paraat hebben waar de procedure op leunt, want elke deelbaarheidscontrole is een deelsom.

Veelgemaakte fouten met priemgetallen en de randgevallen

Zes fouten veroorzaken de meeste foute antwoorden op een werkblad over priemgetallen, en elk heeft een oplossing van één regel.

• 1 aangekruist als priem: Het getal 1 heeft één deler, dus het zakt op de regel "precies twee" en is niet priem en niet samengesteld.
• 2 aangekruist als samengesteld: Het getal 2 is het enige even priemgetal, en een kind dat "even betekent samengesteld" heeft geleerd, heeft die uitzondering boven aan het blad nodig.
• 0 überhaupt getest: Nul is niet priem en niet samengesteld, want elk heel getal boven 0 gaat erin.
• 9 en 21 priem genoemd: Oneven betekent niet priem, want 9 = 3 × 3 en 21 = 3 × 7.
• 51 en 57 priem genoemd: Allebei vallen ze door de cijfersomcontrole op 3, want 51 = 3 × 17 en 57 = 3 × 19.
• 91 priem genoemd: Het getal 91 komt langs 2, 3 en 5, dus een test die bij 5 stopt, noemt het priem. Delen door 7 geeft 13, en 91 = 7 × 13.

Negatieve getallen en breuken vallen buiten de vraag, want priem en samengesteld zijn gedefinieerd voor hele getallen groter dan 1.

Je checklist voor priemgetallen

• Zeg de definitie: precies twee delers, 1 en zichzelf.
• Ken de 2: het enige even priemgetal, en de uitzondering die elke lijst halveert.
• Loop de controles op volgorde af: 2, 3, 5, 7, en boven 120 ook 11.
• Stop bij de wortel: komt de deler maal zichzelf boven het getal uit, dan is het getal priem.
• Controleer het antwoord: vermenigvuldig de priemfactoren terug en vergelijk met het getal waarmee je begon.

Oefenen repareert die laatste twee regels sneller dan uitleg. Het printbare werkblad vermenigvuldigen voor groep 6 heeft een antwoordblad, en de gids over de tafels snel leren behandelt het paraat hebben achter elke deelbaarheidscontrole. Het overzicht van welke rekenstof bij welke groep hoort laat zien waar priemgetallen in de leerlijn zitten.

De gratis app van MathIt voor iOS en Android past de moeilijkheid aan, dus het oefenen met delers wordt pas lastiger als de makkelijkere getallen goed gaan, en 22 van de ongeveer 90 speltypen spelen gratis in de browser zonder account.