Números primos explicados: cómo reconocerlos y por qué importan

Tu hijo llega a casa con una ficha que pregunta qué números son primos, rodea el 9 y el 51 y deja el 2 sin marcar. Los números primos parecen evidentes hasta que aparece un número como el 91, y entonces empiezan las adivinanzas. Detrás de un número primo hay una sola regla y una prueba corta que resuelve cualquier número menor que 100 en un minuto.

¿Qué es un número primo?

Un número primo es un número natural mayor que 1 cuyos únicos divisores son 1 y él mismo. Un número compuesto tiene al menos un divisor más, lo que permite repartirlo en grupos iguales de más de una forma.

Las fichas lo hacen visible: siete forman una fila de 7 y nada más, mientras que doce forman 1 × 12, 2 × 6 y 3 × 4.

Los números primos menores que 50 son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 y 47. Quince números, que conviene reconocer de vista igual que las tablas de multiplicar.

El número 2 es el único primo par. Cualquier otro número par tiene el 2 como divisor además del 1 y de sí mismo, lo que le da tres divisores y lo convierte en compuesto.

Por qué el 1 no es un número primo

El número 1 no es primo ni compuesto, porque tiene un solo divisor. La definición pide exactamente dos divisores distintos, y el 1 aporta uno.

Los matemáticos dejan el 1 fuera a propósito. Todo número natural mayor que 1 se descompone en un producto de números primos de una única forma, un resultado que se llama teorema fundamental de la aritmética. Si el 1 contara como primo, 12 se podría escribir 2 × 2 × 3, o 1 × 2 × 2 × 3, o 1 × 1 × 2 × 2 × 3, y "de una única forma" no significaría nada.

Esa es la respuesta que hay que dar a un niño que pregunta: el 1 se queda fuera para que la descomposición en factores primos siga siendo única.

Para qué sirven los números primos dentro y fuera del colegio

Los números primos sostienen toda la parte de divisibilidad del currículo de primaria. El estándar Common Core 4.OA.B.4 de Estados Unidos pide en cuarto que el alumnado encuentre todas las parejas de factores de un número del 1 al 100 y decida si un número de ese rango es primo o compuesto.

En España, el currículo de Educación Primaria de la LOMLOE coloca ese contenido en el tercer ciclo, es decir, en 5.º y 6.º de primaria (10 a 12 años), con el saber "Relación de divisibilidad: múltiplos y divisores". Inglaterra lo sitúa en Year 5: el currículo nacional de matemáticas de Inglaterra pide decidir si un número hasta 100 es primo y recordar los primos hasta 19.

Fuera del colegio, los números primos son la razón de que un pago por internet siga siendo privado. El cifrado de clave pública multiplica dos primos enormes y publica el producto, y la seguridad se apoya en lo difícil que resulta separarlo otra vez.

La relación con los divisores y las fracciones

La descomposición en factores primos es la herramienta que simplifica una fracción hasta su forma irreducible, y por eso llega antes que el trabajo con fracciones. Para simplificar 84/126, descompón los dos números: 84 = 2 × 2 × 3 × 7 y 126 = 2 × 3 × 3 × 7. Los factores comunes son 2 × 3 × 7 = 42, así que 84 ÷ 42 = 2, 126 ÷ 42 = 3 y 84/126 = 2/3.

El estándar Common Core 6.NS.B.4 hace explícita esa tarea en sexto, donde el alumnado busca el máximo común divisor de dos números hasta 100 y el mínimo común múltiplo de dos números hasta 12. El juego de múltiplos entrena la misma relación desde el otro lado, preguntando a qué números llega un divisor dado.

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Cómo saber si un número es primo, paso a paso

Un número menor que 100 es primo cuando ninguno de estos cuatro lo divide: 2, 3, 5 y 7. Esas cuatro comprobaciones cubren todo hasta 120, porque el siguiente primo, el 11, no muerde hasta 11 × 11 = 121.

1. Resuelve primero el 0, el 1 y el 2. El cero y el 1 no son primos ni compuestos, el 2 es primo y, del 3 en adelante, todo número par es compuesto.
2. Divide entre 2. Según los criterios de divisibilidad de nrich, un número es divisible entre 2 si su última cifra es par, así que queda descartado todo lo que termina en 0, 2, 4, 6 u 8.
3. Divide entre 3. Suma las cifras: si la suma es múltiplo de 3, el número también lo es. En el 51 las cifras suman 6, y 51 = 3 × 17; en el 57 suman 12, y 57 = 3 × 19.
4. Divide entre 5. Un número es divisible entre 5 cuando su última cifra es 0 o 5, y eso se ve de un vistazo.
5. Divide entre 7, y entre 11 por encima de 120. Ninguno de los dos tiene una regla de un vistazo, así que hay que hacer la división y mirar si el resultado es entero. Este paso caza al 91, porque 91 ÷ 7 = 13.
6. Párate en la raíz cuadrada. En cuanto el divisor que estás probando, multiplicado por sí mismo, supera al número, ya no queda ningún divisor por encontrar y el número es primo.

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Dónde parar: la raíz cuadrada

La regla de la raíz cuadrada mantiene corta la prueba: para demostrar que un número es primo solo hacen falta divisores hasta su raíz cuadrada. Si un número tuviera un divisor mayor que su raíz cuadrada, el otro miembro de esa pareja sería menor, así que ya te lo habrías encontrado.

Toma el 97: como 10 × 10 = 100 se pasa, las comprobaciones se quedan por debajo de 10, y eso deja 2, 3, 5 y 7. Ninguno divide a 97, así que 97 es primo. El juego de números cuadrados construye la intuición de dónde cae cada cuadrado.

Tres formas de encontrar números primos: divisiones sucesivas, la criba de Eratóstenes y las parejas de factores

Hay tres métodos para encontrar números primos: las divisiones sucesivas deciden sobre un número, la criba produce una lista entera y las parejas de factores enseñan por qué un número compuesto es compuesto.

Qué método elegir

La criba de Eratóstenes gana cuando un niño necesita todos los primos hasta 100, porque una sola pasada produce los 25. Escribe del 1 al 100 en una cuadrícula de diez por diez, tacha el 1, rodea el 2 y tacha los demás múltiplos de 2. Rodea el 3 y tacha sus múltiplos, y haz lo mismo con el 5 y con el 7.

Tachar los múltiplos de 2, 3, 5 y 7 basta para una tabla del cien, porque el siguiente primo, el 11, no alcanza un número sin tachar hasta 11 × 11 = 121. Lo que quede en pie es primo.

Las parejas de factores le van bien al niño que tiene la definición pero no la intuición. El juego de parejas de factores trabaja ese método, donde ver 4 × 6 al lado de 1 × 24 explica más que oír que 24 es compuesto.

La descomposición en factores primos, resuelta

La descomposición en factores primos escribe un número como producto de números primos, y todo número natural mayor que 1 tiene un único producto así. Para 84 ese producto es 2 × 2 × 3 × 7, se llegue por el camino que se llegue.

El primer camino divide una y otra vez entre el primo más pequeño que encaje: 84 ÷ 2 = 42, 42 ÷ 2 = 21, 21 ÷ 3 = 7, y 7 es primo. Leer los divisores da 2 × 2 × 3 × 7, que suele escribirse 2² × 3 × 7.

Un número mayor se comporta igual: 360 ÷ 2 = 180, 180 ÷ 2 = 90, 90 ÷ 2 = 45, 45 ÷ 3 = 15, 15 ÷ 3 = 5, así que 360 = 2³ × 3² × 5.

Árboles de factores

Un árbol de factores parte un número en dos factores cualesquiera, luego parte esos, y así hasta que cada rama termina en un número primo. Empezar el 84 como 4 × 21 da 4 = 2 × 2 y 21 = 3 × 7, así que los extremos de las ramas son 2, 2, 3 y 7.

Empezar ese mismo 84 como 12 × 7 da 12 = 3 × 4 y 4 = 2 × 2, y los extremos vuelven a ser 2, 2, 3 y 7. La forma del árbol cambia y los primos no, y eso es el teorema fundamental de la aritmética dibujado en un papel. Pídele a tu hijo que construya los dos árboles; el momento en que las dos listas coinciden es el momento en que la idea aterriza.

Cómo comprobar que tu hijo lo ha entendido

Cinco señales indican si los números primos han calado, y cada una se comprueba en menos de un minuto.

• La definición, dicha en voz alta: Pregunta qué es un número primo, sin ejemplos. "Exactamente dos divisores, 1 y él mismo" es la respuesta; "un número que no se puede dividir" no lo es.
• La excepción, con nombre: Pregunta si un número par puede ser primo. La respuesta es el 2, y solo el 2.
• Los primos hasta 50, en 30 segundos: Pídelos en orden. Quince números del 2 al 47, sin el 1 y sin el 9.
• Un número difícil, decidido con razones: Dale el 91 y pide el veredicto y el razonamiento. Un niño que responde "7 × 13, así que compuesto" tiene el método; un niño que responde "primo" está adivinando por parecido.
• Una descomposición que cuadra: Pide la descomposición en factores primos de 60 y luego el producto de vuelta. La respuesta 2 × 2 × 3 × 5 = 60 demuestra la destreza en los dos sentidos.

Una prueba de cinco minutos

Una comprobación de cinco minutos rinde más que un examen largo. La guía del What Works Clearinghouse Assisting Students Struggling with Mathematics recomienda incluir con regularidad actividades cronometradas como una vía para construir fluidez en matemáticas.

Esa misma guía pide enseñar un lenguaje matemático claro y preciso, lo que aquí significa cuatro palabras usadas con exactitud: primo, compuesto, divisor y múltiplo. Un niño que intercambia divisor y múltiplo falla en vocabulario, no en razonamiento.

El juego de divisiones básicas aporta el recuerdo en el que se apoya todo el procedimiento, ya que cada comprobación de divisibilidad es una pregunta de división.

Errores frecuentes con los números primos y casos límite

Seis errores explican casi todas las respuestas falladas en una ficha de números primos, y cada uno tiene un remedio de una línea.

• Marcar el 1 como primo: El número 1 tiene un solo divisor, así que incumple la regla de "exactamente dos" y no es primo ni compuesto.
• Marcar el 2 como compuesto: El número 2 es el único primo par, y un niño que ha aprendido "par significa compuesto" necesita esa excepción escrita arriba del todo.
• Probar siquiera con el 0: El cero no es primo ni compuesto, porque todo número natural mayor que 0 lo divide.
• Llamar primos al 9 y al 21: Impar no significa primo, ya que 9 = 3 × 3 y 21 = 3 × 7.
• Llamar primos al 51 y al 57: Los dos caen con la suma de cifras del 3, ya que 51 = 3 × 17 y 57 = 3 × 19.
• Llamar primo al 91: El número 91 supera el 2, el 3 y el 5, así que una prueba que se detiene en el 5 lo declara primo. Al dividir entre 7 da 13, y 91 = 7 × 13.

Los números negativos y las fracciones quedan fuera de la pregunta, porque primo y compuesto se definen para los números naturales mayores que 1.

Tu lista de comprobación de números primos

• Di la definición: exactamente dos divisores, 1 y él mismo.
• Ten claro el 2: el único primo par, y la excepción que parte cualquier lista.
• Haz las comprobaciones en orden: 2, 3, 5, 7, y el 11 por encima de 120.
• Párate en la raíz cuadrada: cuando el divisor por sí mismo supera al número, el número es primo.
• Comprueba la respuesta: multiplica los factores primos de vuelta y compara con el número de partida.

La práctica arregla las dos últimas líneas más rápido que una explicación. La ficha imprimible de multiplicación para cuarto trae solucionario, y la guía sobre cómo aprenderse las tablas de multiplicar rápido cubre el recuerdo que hay detrás de cada comprobación de divisibilidad. El repaso de qué matemáticas toca en cada curso muestra dónde encajan los números primos en el currículo.

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