Primtall: slik kjenner du dem igjen, og hvorfor de betyr noe

Barnet ditt kommer hjem med en oppgave som spør hvilke tall som er primtall, ringer rundt 9 og 51, og lar 2 stå. Primtall ser opplagte ut helt til et tall som 91 dukker opp, og da begynner gjettingen. Bak primtall ligger én regel og en kort test som avgjør ethvert tall under 100 på omtrent ett minutt.

Hva er et primtall?

Et primtall er et helt tall større enn 1 der de eneste faktorene er 1 og tallet selv. Et sammensatt tall har minst én faktor til, og det gjør at tallet kan deles i like grupper på mer enn én måte.

Brikker gjør det synlig: sju danner én rad med 7 og ingenting annet, mens tolv danner 1 × 12, 2 × 6 og 3 × 4.

Primtallene under 50 er 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 og 47. Femten tall, verdt å kjenne igjen på synet slik gangetabellen er det.

Tallet 2 er det eneste primtallet som er partall. Alle andre partall har 2 som faktor i tillegg til 1 og seg selv, og da har de tre faktorer og er sammensatte.

Hvorfor 1 ikke er et primtall

Tallet 1 er verken primtall eller sammensatt, fordi det har bare én faktor. Definisjonen krever nøyaktig to ulike faktorer, og 1 leverer én.

Matematikere holder 1 utenfor med vilje. Hvert hele tall over 1 kan deles opp i et produkt av primtall på nøyaktig én måte, et resultat som heter aritmetikkens fundamentalteorem. Hvis 1 talte som primtall, kunne 12 skrives som 2 × 2 × 3, eller 1 × 2 × 2 × 3, eller 1 × 1 × 2 × 2 × 3, og «nøyaktig én måte» ville ikke betydd noe.

Det er svaret du kan gi et barn som spør: 1 er holdt utenfor for at primtallsfaktoriseringen skal forbli entydig.

Hvorfor primtall betyr noe i skolematematikken og utenfor

Primtall bærer hele faktorarbeidet i matematikken på barnetrinnet. Common Core-standarden 4.OA.B.4 ber amerikanske elever i fjerde klasse om å «finne alle faktorpar for et helt tall i området 1–100» og å «avgjøre om et gitt helt tall i området 1–100 er primtall eller sammensatt».

England legger det samme innholdet til Year 5. Den nasjonale læreplanen i matematikk i England ber elevene «avgjøre om et tall opp til 100 er et primtall, og gjengi primtallene opp til 19».

I Norge kommer selve ordet senere. Læreplanen i matematikk MAT01-06 setter et kompetansemål etter 8. trinn om å beskrive og utforske faktorisering og primtallsfaktorisering og bruke det i brøkregning, mens faktorer, multipler og divisjonsstrategier ligger på 3. og 4. trinn. Et barn på mellomtrinnet møter altså tanken lenge før begrepet står i læreplanen.

Utenfor skolen er primtall grunnen til at en betaling på nett forblir privat. Kryptering med offentlig nøkkel ganger sammen to svært store primtall og publiserer produktet, og sikkerheten hviler på hvor vanskelig det produktet er å dele opp igjen.

Koblingen til faktorer og brøk

Primtallsfaktorisering er verktøyet som forkorter en brøk så langt det går, og derfor kommer den før brøkregningen. For å forkorte 84/126 deler du begge tallene i primtall: 84 = 2 × 2 × 3 × 7 og 126 = 2 × 3 × 3 × 7. De felles faktorene er 2 × 3 × 7 = 42, så 84 ÷ 42 = 2, 126 ÷ 42 = 3, og 84/126 = 2/3.

Common Core-standarden 6.NS.B.4 gjør den jobben eksplisitt i sjette klasse, der elevene skal «finne største felles faktor for to hele tall mindre enn eller lik 100 og minste felles multiplum for to hele tall mindre enn eller lik 12». Spillet med multipler trener den samme sammenhengen fra motsatt kant, ved å spørre hvilke tall en gitt faktor når fram til.

Spill gratis i nettleserenMultipler i fart3.–5. trinn

Slik tester du om et tall er et primtall, steg for steg

Et tall under 100 er et primtall når ingen av de mindre tallene 2, 3, 5 og 7 går opp i det. De fire sjekkene dekker alt opp til 120, fordi neste primtall, 11, først biter ved 11 × 11 = 121.

1. Avklar 0, 1 og 2 først. Null og 1 er verken primtall eller sammensatte, 2 er et primtall, og fra 3 og oppover er hvert partall sammensatt.
2. Del på 2. Ifølge delelighetsreglene hos nrich er «et tall delelig med 2 hvis siste siffer er et partall», så alt som ender på 0, 2, 4, 6 eller 8 er ute.
3. Del på 3. Legg sammen sifrene: når summen er et multiplum av 3, er tallet det også. For 51 gir sifrene 6, og 51 = 3 × 17; for 57 gir de 12, og 57 = 3 × 19.
4. Del på 5. Et tall er delelig med 5 når siste siffer er 0 eller 5, og det ser du på ett blikk.
5. Del på 7, og på 11 over 120. Ingen av dem har en regel du ser på ett blikk, så utfør divisjonen og se etter et helt svar. Dette steget fanger 91, for 91 ÷ 7 = 13.
6. Stopp ved kvadratroten. Når divisoren du tester, ganget med seg selv, passerer tallet, er det ingen divisor igjen å finne, og tallet er et primtall.

Spill gratis i nettleserenFaktorpar3.–5. trinn

Hvor du skal stoppe: kvadratroten

Kvadratrotregelen holder testen kort: for å vise at et tall er et primtall trenger du bare divisorer opp til kvadratroten av tallet. Hvis et tall har en faktor som er større enn kvadratroten, er den andre faktoren i paret mindre, og da ville du allerede møtt den.

Ta 97: siden 10 × 10 = 100 ligger forbi, stopper sjekkene under 10, og igjen står 2, 3, 5 og 7. Ingen av dem går opp i 97, så 97 er et primtall. Spillet med kvadrattall bygger følelsen av hvor hvert kvadrat ligger.

Tre måter å finne primtall på: prøvedivisjon, Eratosthenes' sil og faktorpar

Tre metoder finner primtall: prøvedivisjon avgjør ett tall, silen produserer en hel liste, og faktorpar viser hvorfor et sammensatt tall er sammensatt.

Hvilken metode du bør velge

Eratosthenes' sil vinner når et barn trenger alle primtall til 100, fordi én runde produserer alle 25. Skriv 1 til 100 i et rutenett på ti ganger ti, strek ut 1, ring så rundt 2 og strek ut alle andre multipler av 2. Ring rundt 3 og strek ut multiplene, og gjør det samme for 5 og for 7.

Å streke ut multipler av 2, 3, 5 og 7 er nok for et hundrerutenett, fordi neste primtall, 11, først når et tall som ikke er strøket ut ved 11 × 11 = 121. Det som blir stående, er primtall.

Faktorpar passer for barnet som kan definisjonen, men ikke har følelsen for den. Spillet med faktorpar dekker den metoden, der det å se 4 × 6 ved siden av 1 × 24 gjør mer enn å få høre at 24 er sammensatt.

Primtallsfaktorisering, gjennomgått

Primtallsfaktorisering skriver et tall som et produkt av primtall, og hvert hele tall over 1 har nøyaktig ett slikt produkt. For 84 er produktet 2 × 2 × 3 × 7, uansett hvilken vei arbeidet tar.

Den første veien deler på det minste primtallet som passer, om og om igjen: 84 ÷ 2 = 42, 42 ÷ 2 = 21, 21 ÷ 3 = 7, og 7 er et primtall. Leser du av divisorene, får du 2 × 2 × 3 × 7, ofte skrevet 2² × 3 × 7.

Et større tall oppfører seg likedan: 360 ÷ 2 = 180, 180 ÷ 2 = 90, 90 ÷ 2 = 45, 45 ÷ 3 = 15, 15 ÷ 3 = 5, så 360 = 2³ × 3² × 5.

Faktortre

Et faktortre deler et tall i to vilkårlige faktorer, og deler så dem videre, til hver gren ender på et primtall. Starter du 84 som 4 × 21, gir det 4 = 2 × 2 og 21 = 3 × 7, så grenendene leser 2, 2, 3, 7.

Starter du det samme tallet 84 som 12 × 7, gir det 12 = 3 × 4 og 4 = 2 × 2, og grenendene leser 2, 2, 3, 7 igjen. Formen på treet endrer seg, primtallene gjør det ikke, og det er aritmetikkens fundamentalteorem tegnet på et ark. Be barnet ditt bygge begge trærne; øyeblikket de to listene stemmer overens, er øyeblikket ideen lander.

Slik sjekker du at barnet ditt har forstått det

Fem signaler viser om primtall har landet, og hvert av dem tar under ett minutt å sjekke.

• Definisjonen, sagt høyt: Spør hva et primtall er, uten eksempel. «Nøyaktig to faktorer, 1 og seg selv» er svaret; «et tall du ikke kan dele» er det ikke.
• Unntaket navngitt: Spør om et partall kan være et primtall. Svaret er 2, og bare 2.
• Primtallene til 50, på 30 sekunder: Be om dem i rekkefølge. Femten tall fra 2 til 47, uten 1 og uten 9.
• Et vanskelig tall, avgjort med en begrunnelse: Gi 91 og be om dommen pluss utregningen. Et barn som svarer «7 × 13, altså sammensatt», har metoden; et barn som svarer «primtall», gjenkjenner bare et mønster.
• En faktorisering som stemmer: Be om primtallsfaktoriseringen av 60, og så om produktet tilbake. Svaret 2 × 2 × 3 × 5 = 60 viser begge retninger av ferdigheten.

En test på fem minutter

En sjekk på fem minutter slår en lang prøve. Veilederen fra What Works Clearinghouse om å hjelpe elever som strever med matematikk anbefaler at lærere «jevnlig tar med aktiviteter på tid som én måte å bygge matteflyt på».

Den samme veilederen ber lærere «undervise i et klart og presist matematisk språk», som her betyr fire ord brukt nøyaktig: primtall, sammensatt tall, faktor og multiplum. Et barn som bytter om faktor og multiplum, faller på ordene, ikke på resonnementet.

Spillet med divisjonsfakta leverer gjenkallingen som framgangsmåten hviler på, siden hver delelighetssjekk er et divisjonsspørsmål.

Vanlige feil med primtall og grensetilfeller

Seks feil står bak de fleste gale svarene på en oppgave om primtall, og hver av dem har en løsning på én linje.

• 1 markert som primtall: Tallet 1 har bare én faktor, så det faller på regelen om «nøyaktig to» og er verken primtall eller sammensatt.
• 2 markert som sammensatt: Tallet 2 er det eneste primtallet som er partall, og et barn som har lært «partall betyr sammensatt», trenger det unntaket skrevet øverst på arket.
• 0 testet i det hele tatt: Null er verken primtall eller sammensatt, fordi hvert hele tall over 0 går opp i det.
• 9 og 21 kalt primtall: Oddetall betyr ikke primtall, siden 9 = 3 × 3 og 21 = 3 × 7.
• 51 og 57 kalt primtall: Begge faller på sifferssummen for 3, siden 51 = 3 × 17 og 57 = 3 × 19.
• 91 kalt primtall: Tallet 91 klarer 2, 3 og 5, så en test som stopper ved 5 erklærer det som primtall. Divisjon med 7 gir 13, og 91 = 7 × 13.

Negative tall og brøker ligger utenfor spørsmålet, fordi primtall og sammensatt tall er definert for hele tall større enn 1.

Sjekklisten din for primtall

• Si definisjonen: nøyaktig to faktorer, 1 og seg selv.
• Kjenn 2: det eneste primtallet som er partall, og unntaket som halverer enhver liste.
• Kjør sjekkene i rekkefølge: 2, 3, 5, 7, og så 11 over 120.
• Stopp ved kvadratroten: når divisoren ganget med seg selv passerer tallet, er tallet et primtall.
• Sjekk svaret: gang primtallsfaktorene sammen igjen og sammenlign med tallet du startet fra.

Øving retter de to siste linjene raskere enn forklaring gjør. Oppgavearket for multiplikasjon på 4. trinn kommer med fasit, og guiden om hvordan lære gangetabellen raskt dekker gjenkallingen bak hver delelighetssjekk. Oversikten over hva elevene skal kunne på hvert trinn viser hvor primtall hører hjemme i læreplanen.

MathIt sin gratis app for iOS og Android har adaptiv vanskegrad, så faktorøvingen blir hardere først når de lettere tallene kommer riktig ut, og 22 av de rundt 90 spilltypene spilles gratis i nettleseren uten innlogging.