Liczby pierwsze: jak je rozpoznać i dlaczego są ważne

Dziecko przynosi ze szkoły kartę pracy z poleceniem „zakreśl liczby pierwsze”, zakreśla 9 i 51, a 2 zostawia w spokoju. Liczby pierwsze wydają się oczywiste do chwili, gdy pojawia się coś w rodzaju 91 — i wtedy zaczyna się zgadywanie. Za liczbami pierwszymi stoi jedna zasada i krótki test, który rozstrzyga każdą liczbę poniżej 100 w mniej więcej minutę.

Co to jest liczba pierwsza?

Liczba pierwsza to liczba naturalna większa od 1, której jedynymi dzielnikami są 1 i ona sama. Liczba złożona ma co najmniej jeden dzielnik więcej, dzięki czemu można ją podzielić na równe grupy na więcej niż jeden sposób.

Widać to na liczmanach: siedem układa się tylko w jeden rząd po 7, a dwanaście w 1 × 12, 2 × 6 i 3 × 4.

Liczby pierwsze mniejsze od 50 to 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 i 47. Piętnaście liczb, które warto znać na pamięć tak samo jak tabliczkę mnożenia.

Liczba 2 jest jedyną parzystą liczbą pierwszą. Każda inna liczba parzysta ma dzielnik 2 oprócz 1 i samej siebie, czyli trzy dzielniki, więc jest złożona.

Dlaczego 1 nie jest liczbą pierwszą

Liczba 1 nie jest ani pierwsza, ani złożona, bo ma tylko jeden dzielnik. Definicja wymaga dokładnie dwóch różnych dzielników, a 1 dostarcza jednego.

Matematycy wykluczyli 1 celowo. Każda liczba naturalna większa od 1 rozkłada się na iloczyn liczb pierwszych dokładnie na jeden sposób — to podstawowe twierdzenie arytmetyki. Gdyby 1 liczyła się jako pierwsza, 12 można by zapisać jako 2 × 2 × 3, albo 1 × 2 × 2 × 3, albo 1 × 1 × 2 × 2 × 3, a „dokładnie jeden sposób” nic by nie znaczyło.

Taką odpowiedź warto dać dziecku, które pyta: 1 jest poza listą po to, żeby rozkład na czynniki pierwsze pozostał jednoznaczny.

Do czego liczby pierwsze przydają się w szkole i poza nią

Liczby pierwsze trzymają cały dział dzielników w szkole podstawowej. Polska podstawa programowa z matematyki wymaga w klasach 4–6, żeby uczeń „rozpoznawał wielokrotności danej liczby, kwadraty, sześciany, liczby pierwsze, liczby złożone”, a także rozkładał liczby naturalne na czynniki pierwsze.

Amerykański standard Common Core 4.OA.B.4 stawia to samo zadanie w klasie 4: znaleźć wszystkie pary dzielników liczby z zakresu 1–100 i rozstrzygnąć, czy dana liczba jest pierwsza, czy złożona.

Anglia umieszcza ten materiał rok później. Krajowa podstawa programowa z matematyki w Anglii wymaga, żeby uczeń rozstrzygał, czy liczba do 100 jest pierwsza, i znał z pamięci liczby pierwsze do 19.

Poza szkołą liczby pierwsze są powodem, dla którego płatność w internecie zostaje prywatna. Szyfrowanie z kluczem publicznym mnoży dwie bardzo duże liczby pierwsze i ogłasza ich iloczyn, a bezpieczeństwo opiera się na tym, jak trudno ten iloczyn rozłożyć z powrotem.

Związek z dzielnikami i ułamkami

Rozkład na czynniki pierwsze to narzędzie, które skraca ułamek do postaci nieskracalnej — dlatego pojawia się przed pracą z ułamkami. Żeby skrócić 84/126, rozłóż obie liczby na czynniki pierwsze: 84 = 2 × 2 × 3 × 7 i 126 = 2 × 3 × 3 × 7. Wspólne czynniki dają 2 × 3 × 7 = 42, więc 84 ÷ 42 = 2, 126 ÷ 42 = 3, a 84/126 = 2/3.

Standard Common Core 6.NS.B.4 nazywa to zadanie wprost w klasie 6, gdzie uczniowie wyznaczają największy wspólny dzielnik dwóch liczb naturalnych nie większych od 100 i najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch liczb nie większych od 12. Gra z wielokrotnościami ćwiczy tę samą zależność z drugiej strony: pyta, do których liczb dociera dany czynnik.

Zagraj za darmo w przeglądarceWyścig wielokrotnościKlasa 3–5

Jak sprawdzić, czy liczba jest pierwsza, krok po kroku

Liczba mniejsza od 100 jest pierwsza, gdy nie dzieli jej żadna z liczb 2, 3, 5 i 7. Te cztery sprawdzenia wystarczają dla wszystkiego do 120, bo kolejna liczba pierwsza, 11, zaczyna działać dopiero przy 11 × 11 = 121.

1. Zacznij od 0, 1 i 2. Zero i 1 nie są ani pierwsze, ani złożone, 2 jest pierwsza, a od 3 w górę każda liczba parzysta jest złożona.
2. Podziel przez 2. Według testów podzielności serwisu nrich liczba dzieli się przez 2, gdy jej ostatnia cyfra jest parzysta, więc wszystko, co kończy się na 0, 2, 4, 6 lub 8, odpada.
3. Podziel przez 3. Dodaj cyfry: jeśli suma jest wielokrotnością 3, to liczba też. Dla 51 cyfry dają 6, a 51 = 3 × 17; dla 57 dają 12, a 57 = 3 × 19.
4. Podziel przez 5. Liczba dzieli się przez 5, gdy jej ostatnia cyfra to 0 albo 5 — wystarczy jedno spojrzenie.
5. Podziel przez 7, a powyżej 120 także przez 11. Żadna z nich nie ma reguły „na oko”, więc wykonaj dzielenie i sprawdź, czy wynik jest całkowity. Ten krok wyłapuje 91, bo 91 ÷ 7 = 13.
6. Zatrzymaj się na pierwiastku. Gdy sprawdzany dzielnik pomnożony przez samego siebie przekroczy daną liczbę, nie ma już czego szukać i liczba jest pierwsza.

Zagraj za darmo w przeglądarcePary czynnikówKlasa 3–5

Gdzie się zatrzymać: pierwiastek kwadratowy

Reguła pierwiastka skraca test: żeby udowodnić, że liczba jest pierwsza, potrzebujesz dzielników tylko do jej pierwiastka kwadratowego. Jeśli liczba ma dzielnik większy od pierwiastka, to drugi czynnik w tej parze jest mniejszy, więc już byś go spotkał.

Weź 97: ponieważ 10 × 10 = 100 jest już dalej, sprawdzanie kończy się poniżej 10, czyli na 2, 3, 5 i 7. Żadna z nich nie dzieli 97, więc 97 jest pierwsza. Gra z kwadratami liczb buduje wyczucie tego, gdzie leży każdy kwadrat.

Trzy sposoby na liczby pierwsze: dzielenie próbne, sito Eratostenesa i pary dzielników

Liczby pierwsze znajdują trzy metody: dzielenie próbne rozstrzyga jedną liczbę, sito daje całą listę, a pary dzielników pokazują, dlaczego liczba złożona jest złożona.

Którą metodę wybrać

Sito Eratostenesa wygrywa, gdy dziecko potrzebuje wszystkich liczb pierwszych do 100, bo jedno przejście daje wszystkie 25. Wypisz 1–100 w tabeli dziesięć na dziesięć, skreśl 1, potem zakreśl 2 i skreśl każdą kolejną wielokrotność dwójki. Zakreśl 3 i skreśl jej wielokrotności, a potem zrób to samo dla 5 i dla 7.

Skreślanie wielokrotności 2, 3, 5 i 7 wystarcza w tabeli setki, bo kolejna liczba pierwsza, 11, dociera do nieskreślonej liczby dopiero przy 11 × 11 = 121. Co zostanie, jest pierwsze.

Pary dzielników pasują do dziecka, które zna definicję, ale nie ma jeszcze wyczucia. Gra z parami dzielników ćwiczy tę metodę, a zobaczenie 4 × 6 obok 1 × 24 daje więcej niż usłyszenie, że 24 jest złożona.

Rozkład na czynniki pierwsze na przykładzie

Rozkład na czynniki pierwsze zapisuje liczbę jako iloczyn liczb pierwszych i każda liczba naturalna większa od 1 ma dokładnie jeden taki iloczyn. Dla 84 jest to 2 × 2 × 3 × 7, niezależnie od drogi, którą dojdziesz.

Pierwsza droga to dzielenie przez najmniejszą pasującą liczbę pierwszą, raz za razem: 84 ÷ 2 = 42, 42 ÷ 2 = 21, 21 ÷ 3 = 7, a 7 jest pierwsza. Odczytane dzielniki dają 2 × 2 × 3 × 7, zapisywane często jako 2² × 3 × 7.

Większa liczba zachowuje się tak samo: 360 ÷ 2 = 180, 180 ÷ 2 = 90, 90 ÷ 2 = 45, 45 ÷ 3 = 15, 15 ÷ 3 = 5, czyli 360 = 2³ × 3² × 5.

Drzewka czynników

Drzewko czynników rozbija liczbę na dowolne dwa czynniki, potem rozbija je dalej, aż każda gałąź skończy się na liczbie pierwszej. Start 84 jako 4 × 21 daje 4 = 2 × 2 i 21 = 3 × 7, więc końce gałęzi to 2, 2, 3, 7.

Start tego samego 84 jako 12 × 7 daje 12 = 3 × 4 i 4 = 2 × 2, a końce gałęzi to znowu 2, 2, 3, 7. Kształt drzewka się zmienia, liczby pierwsze nie — to podstawowe twierdzenie arytmetyki narysowane na kartce. Poproś dziecko, żeby zbudowało oba drzewka; moment, w którym obie listy się zgadzają, jest momentem zrozumienia.

Jak sprawdzić, czy dziecko to rozumie

Pięć sygnałów pokazuje, czy liczby pierwsze weszły do głowy, a każdy zajmuje mniej niż minutę.

• Definicja powiedziana na głos: zapytaj, co to jest liczba pierwsza, bez podawania przykładu. „Dokładnie dwa dzielniki, 1 i ona sama” to odpowiedź; „liczba, której nie da się podzielić” nie jest.
• Nazwany wyjątek: zapytaj, czy liczba parzysta może być pierwsza. Odpowiedź to 2 i tylko 2.
• Liczby pierwsze do 50 w 30 sekund: poproś o nie po kolei. Piętnaście liczb od 2 do 47, bez 1 i bez 9.
• Trudna liczba z uzasadnieniem: podaj 91 i poproś o werdykt razem z obliczeniem. Dziecko, które odpowiada „7 × 13, więc złożona”, ma metodę; dziecko, które mówi „pierwsza”, zgaduje po wyglądzie.
• Rozkład, który się zgadza: poproś o rozkład 60 na czynniki pierwsze, a potem o iloczyn z powrotem. Odpowiedź 2 × 2 × 3 × 5 = 60 pokazuje obie strony tej umiejętności.

Pięciominutowy sprawdzian

Pięciominutowe sprawdzenie bije długi test. Poradnik What Works Clearinghouse Assisting Students Struggling with Mathematics zaleca nauczycielom, żeby regularnie włączali krótkie ćwiczenia na czas jako jeden ze sposobów budowania biegłości rachunkowej.

Ten sam poradnik każe uczyć jasnego i zwięzłego języka matematycznego, co tutaj znaczy cztery pojęcia używane precyzyjnie: liczba pierwsza, liczba złożona, dzielnik i wielokrotność. Dziecko, które myli dzielnik z wielokrotnością, przegrywa na słownictwie, a nie na rozumowaniu.

Gra z dzieleniem dostarcza pamięciowej podstawy, na której stoi cała procedura, bo każde sprawdzenie podzielności jest pytaniem o dzielenie.

Najczęstsze błędy przy liczbach pierwszych

Sześć błędów odpowiada za większość złych odpowiedzi na karcie pracy z liczbami pierwszymi, a każdy ma jednozdaniową poprawkę.

• 1 zaznaczona jako pierwsza: liczba 1 ma jeden dzielnik, więc nie spełnia zasady „dokładnie dwa” i nie jest ani pierwsza, ani złożona.
• 2 zaznaczona jako złożona: liczba 2 jest jedyną parzystą liczbą pierwszą, a dziecko, które nauczyło się „parzysta znaczy złożona”, potrzebuje tego wyjątku zapisanego na górze kartki.
• Sprawdzanie 0: zero nie jest ani pierwsze, ani złożone, bo dzieli je każda liczba naturalna większa od 0.
• 9 i 21 uznane za pierwsze: nieparzysta nie znaczy pierwsza, bo 9 = 3 × 3, a 21 = 3 × 7.
• 51 i 57 uznane za pierwsze: obie wpadają na teście sumy cyfr dla 3, bo 51 = 3 × 17, a 57 = 3 × 19.
• 91 uznana za pierwszą: liczba 91 przechodzi testy dla 2, 3 i 5, więc sprawdzenie kończące się na 5 ogłasza ją pierwszą. Dzielenie przez 7 daje 13, a 91 = 7 × 13.

Liczby ujemne i ułamki są poza tym pytaniem, bo pojęcia liczby pierwszej i złożonej definiuje się dla liczb naturalnych większych od 1.

Twoja lista kontrolna

• Powiedz definicję: dokładnie dwa dzielniki, 1 i ona sama.
• Pamiętaj o 2: jedyna parzysta liczba pierwsza i wyjątek, który skraca każdą listę o połowę.
• Sprawdzaj po kolei: 2, 3, 5, 7, a powyżej 120 także 11.
• Zatrzymaj się na pierwiastku: gdy dzielnik razy on sam przekroczy liczbę, liczba jest pierwsza.
• Sprawdź odpowiedź: pomnóż czynniki pierwsze z powrotem i porównaj z liczbą, od której zacząłeś.

Ćwiczenie poprawia dwa ostatnie punkty szybciej niż tłumaczenie. Karta pracy z mnożenia dla 4 klasy do wydruku ma klucz odpowiedzi, a poradnik jak szybko nauczyć się tabliczki mnożenia zajmuje się pamięcią, która stoi za każdym sprawdzeniem podzielności. Przegląd czego z matematyki powinno się nauczyć dziecko w każdej klasie pokazuje, gdzie w programie leżą liczby pierwsze.

Darmowa aplikacja MathIt na iOS i Android ma trudność dopasowaną do dziecka, więc ćwiczenie dzielników robi się trudniejsze dopiero wtedy, gdy łatwiejsze liczby wychodzą poprawnie, a 22 z jej około 90 rodzajów gier działają za darmo w przeglądarce, bez zakładania konta.