Så räknar du ut cirkelns omkrets och area (och vad pi är)

Ditt barn i årskurs 7 har ett arbetsblad fullt av cirklar, en miniräknare och två formler som ser nästan likadana ut. Omkretsen av en cirkel är sträckan runt den, arean är ytan innanför, och båda bygger på ett och samma tal som kallas pi. När du vet vilket mått uppgiften ger dig (radien eller diametern) tar det två eller tre steg att räkna ut både omkretsen och arean av en cirkel.

Vad är pi, och varför behöver varje cirkel det?

Pi (π) är antalet gånger som en cirkels diameter får plats runt kanten, och det är samma tal för varje cirkel i världen. Wikipedias artikel om pi anger värdet till ungefär 3,14159 och påpekar att decimalformen aldrig tar slut och aldrig hamnar i ett mönster som upprepas för alltid.

Pi är ett irrationellt tal, så inget bråk och ingen decimal är exakt lika med det. OpenStax Prealgebra 2e säger åt eleverna att avrunda π till 3,14 eller 22/7, beroende på om radien är given som ett decimaltal eller ett bråk.

Radie och diameter

Radien och diametern är de två längder som varje cirkelformel utgår från. Radien (r) går från medelpunkten till kanten, och diametern (d) går från kant till kant genom medelpunkten, så diametern är alltid dubbelt så lång som radien: d = 2 × r.

En pizza som är 30 cm i diameter har radien 15 cm. Skriv upp båda talen innan du rör en formel. De flesta felsvar i cirkelläxan börjar med fel tal av de två.

Så räknar du ut omkretsen av en cirkel, steg för steg

Omkretsen av en cirkel är π × diametern, skrivet O = π × d, eller 2 × π × radien, skrivet O = 2 × π × r. Båda formlerna ger samma svar, eftersom 2 × r är diametern. I svenska läroböcker heter omkretsen O, medan engelska böcker skriver C. OpenStax kallar omkretsen för cirkelns perimeter, vilket kopplar den till area och omkrets för kvadrater och rektanglar.

1. Ta reda på diametern. Mät tvärs över cirkeln genom medelpunkten, eller dubbla radien. En tallrik mäter 26 cm tvärs över, så d = 26 cm.
2. Välj ett värde för pi. Använd 3,14 för decimaltal och heltal, 22/7 när radien är en multipel av 7, eller π-knappen på miniräknaren för det mest exakta svaret.
3. Multiplicera pi med diametern. 3,14 × 26 = 81,64. Guiden om att multiplicera och dividera decimaltal visar det här steget för hand.
4. Skriv enheten. Omkretsen är ungefär 81,64 cm. Omkretsen är en längd, så den anges i cm, dm eller m, utan någon liten tvåa.
5. Kontrollera storleken. Svaret ska vara lite mer än 3 diametrar: 3 × 26 = 78, och 81,64 är lite mer. Ett svar som är mindre än 3 diametrar eller större än 4 är fel.

Ett hjul med radien 30 cm använder den andra formen: O = 2 × 3,14 × 30 = 188,4 cm.

Gratis övningsblad att skriva utMultiplikation — elever i årskurs 6Arbetsblad · PDF

Där det oftast går fel: radie eller diameter

Det vanligaste felet med omkretsen är att sätta in radien i O = π × d. En cirkel med radien 5 cm får då 3,14 × 5 = 15,7 cm, vilket är hälften av det rätta svaret, 31,4 cm. Fråga ”är det här talet hela vägen tvärs över, eller bara halva?” innan du multiplicerar.

Det motsatta felet är att dubbla en diameter i O = 2 × π × r. En tallrik som är 26 cm tvärs över blir då 2 × 3,14 × 26 = 163,28 cm, dubbelt så långt som den verkliga sträckan runt den. Storlekskontrollen i steg 5 fångar båda felen på några sekunder.

Så räknar du ut arean av en cirkel

Arean av en cirkel är π × radien × radien, skrivet A = π × r². Arean räknar kvadratenheterna innanför cirkeln, så den anges alltid i kvadratenheter som cm² eller m².

En cirkel med radien 5 cm har arean 3,14 × 5 × 5 = 3,14 × 25 = 78,5 cm². Tallriken från steglistan har radien 13 cm, så dess area är 3,14 × 13 × 13 = 3,14 × 169 = 530,66 cm². En pizza på 30 cm har radien 15 cm och arean 3,14 × 225 = 706,5 cm².

Ordningen spelar roll: kvadrera radien först och multiplicera sedan med π. Den lilla tvåan i r² är en exponent, som guiden om potenser förklarar, och barn som kan kvadrattalen utantill (25, 36, 49, 64) klarar varje area i ett steg.

Spela gratis i webbläsarenKvadrattalÅk 4–6

Varför areaformeln fungerar

Areaformeln kommer från att man skär en cirkel i tunna bitar, som en pizza, och lägger dem bredvid varandra. Vänd bitarna omväxlande uppåt och nedåt, så bildar de en form som liknar ett parallellogram. Ju fler bitar du skär, desto mer liknar formen en rektangel.

Den långa sidan i den formen är halva omkretsen, alltså hälften av 2 × π × r, eller π × r. Höjden är en radie, r. En rektangel som är π × r lång och r hög har arean π × r × r, och det är formeln.

Common Core-standarden 7.G.B.4 kräver att amerikanska elever i årskurs 7 kan formlerna för cirkelns area och omkrets, använder dem för att lösa problem och ger en informell härledning av sambandet mellan dem, och bilden med tårtbitarna är just den härledningen. I Sverige tar Lgr22:s centrala innehåll för årskurs 7–9 upp metoder för beräkning av area, omkrets och volym hos geometriska objekt, efter arbetet med omkrets och area hos tvådimensionella figurer i årskurs 4–6.

Omkrets, area, diameter och radie jämförda

Omkrets, area, diameter och radie beskriver fyra olika saker hos samma cirkel.

Omkretsen växer i takt med radien, men arean växer med radien i kvadrat. En familjepizza på 40 cm har radien 20 cm och arean 3,14 × 400 = 1 256 cm², nästan 1,8 gånger så mycket som de 706,5 cm² i en pizza på 30 cm, fast den bara är en tredjedel bredare.

Vilket mått uppgiften frågar efter

Orden i en textuppgift visar vilken formel du ska använda. ”Runt”, ”kant”, ”list”, ”staket” och ”hur långt rullar hjulet” pekar på omkretsen. ”Täcka”, ”innanför”, ”måla”, ”matta” och ”hur mycket pizza” pekar på arean.

Guiden om hur man räknar ut volym använder cirkelns area som basyta i en cylinder: en burks volym är π × r² × h.

Cirkelaktiviteter vid köksbordet

Med cirkelaktiviteter vid köksbordet hittar barnet pi med sina egna händer innan formeln kommer in. Var och en tar ungefär tio minuter med en linjal, ett snöre och några runda saker.

• Snöre runt en tallrik: Lägg ett snöre runt en tallrik, markera var det möts och lägg det längs en linjal. En tallrik på 26 cm ger ungefär 81 eller 82 cm, och 82 : 26 är ungefär 3,15, nära pi.
• Mät burklock: Mät diametern och omkretsen på tre lock i olika storlekar. Dela varje omkrets med sin diameter; varje svar hamnar nära 3,1.
• Rulla en burk: Markera en punkt på kanten av en konservburk, rulla den ett helt varv längs ett papper och mät spåret. Spåret är omkretsen.
• Rita och räkna: Rita runt ett burklock på rutat papper med centimeterrutor och räkna hela och halva rutor innanför. Ett lock med radien 4 cm täcker ungefär 50 rutor, och 3,14 × 16 = 50,24.

Så kontrollerar du framstegen

Fem korta frågor visar om ett barn förstår cirklar eller bara skriver av en formel.

• Ordkontrollen: Peka på en cirkel och be om radien, diametern och omkretsen. Ett barn som kan visa alla tre med fingret vet vad orden betyder.
• Grundparet: Ge radien 10 cm. Omkretsen är 62,8 cm och arean 314 cm², med rätt enhet på varje.
• Diameterfällan: Ge diametern 8 cm och fråga efter arean. Radien är 4, så arean är 3,14 × 16 = 50,24 cm².
• Storlekskontrollen: Fråga om omkretsen 9 cm är möjlig för en cirkel som är 4 cm tvärs över. Det är den inte, eftersom 3 × 4 redan är 12.
• Den omvända frågan: Ge omkretsen 31,4 cm och fråga efter diametern: 31,4 : 3,14 = 10 cm.

Ett barn som kan metoden men fastnar på 3,14 × 16 behöver mer träning i multiplikation än i geometri. Mattespel för årskurs 6 tränar räknandet, och vuxna som vill fräscha upp kunskaperna kan använda mattespel för vuxna för samma fakta.

Vanliga fel och gränsfall med cirklar

Fyra fel orsakar de flesta felsvar om cirklar, och vart och ett har en snabb lösning.

• Att skriva (π × r)² i stället för π × r²: Med r = 5 blir (3,14 × 5)² = 15,7 × 15,7 = 246,49, mer än 3 gånger den verkliga arean 78,5. Kvadrera bara radien och multiplicera sedan med π.
• Att kvadrera diametern: En cirkel som är 10 cm tvärs över får 3,14 × 10 × 10 = 314, vilket är 4 gånger den verkliga arean 78,5 cm². Halvera diametern först.
• Att blanda ihop enheterna: En omkrets i cm² eller en area i cm beskriver fel sorts mått. Omkretsen är en längd i cm; arean anges i cm².
• Att avrunda radien för tidigt: En radie på 2,45 m som avrundas till 2 m tappar ungefär en tredjedel av arean. Avrunda bara det slutliga svaret.

Gränsfall: 22/7 eller 3,14?

Bråket 22/7 och decimaltalet 3,14 är båda närmevärden till pi, och de ger lite olika svar. 22/7 är ungefär 3,1429 och 3,14 är lite mindre än pi, så det verkliga värdet, ungefär 3,1416, ligger mellan dem.

Använd 22/7 när radien eller diametern är en multipel av 7, eftersom sjuorna tar ut varandra. En cirkel med radien 7 cm har omkretsen 2 × 22/7 × 7 = 44 cm och arean 22/7 × 7 × 7 = 154 cm², medan 3,14 ger 43,96 cm och 153,86 cm². π-knappen på miniräknaren ger 153,94 cm².

För att räkna baklänges från en area till en radie delar du med π och drar roten ur, vilket guiden om kvadratrötter går igenom.

Din checklista för cirklar och nästa steg

• Radie eller diameter: skriv upp båda innan du använder en formel, med d = 2 × r.
• Omkrets: multiplicera π × d, eller 2 × π × r, och ange svaret i cm eller m.
• Area: kvadrera radien först, multiplicera sedan med π och ange svaret i cm² eller m².
• Värdet på pi: använd 3,14 för det mesta, 22/7 för multiplar av 7, eller π-knappen när uppgiften ber om det.
• Storlekskontroll: omkretsen är lite mer än 3 diametrar, och arean är lite mer än 3 kvadrater med radien som sida.

MathIt är en gratis app för iOS och Android med ungefär 90 speltyper, anpassad svårighetsgrad och en kort daglig övning som håller kvadrattalen och multiplikationstabellen bakom varje cirkeluppgift snabba. Du kan också utmana 1 till 4 vänner eller familjemedlemmar i matteduell i realtid, på något av 33 språk.