Symmetri och symmetrilinjer förklarat: vad de är och hur många varje figur har

Ditt barn i trean viker ett papper på mitten, klipper ut ett halvt hjärta längs vikningen och vecklar upp ett perfekt hjärta. Vecket svarar på frågan ”vad är en symmetrilinje?”, och samma idé ligger bakom arbetsbladet som frågar hur många symmetrilinjer en figur har. Att hitta symmetrilinjer kräver ett papper att vika, en spegel och en noggrann vana: kontrollera att de två halvorna passar punkt för punkt.

Vad är en symmetrilinje?

En symmetrilinje är en linje som delar en figur i två halvor som är spegelbilder av varandra. Figuren är då spegelsymmetrisk. I Sverige står symmetri i Lgr22:s centrala innehåll i matematik redan i årskurs 1–3 (”symmetri i vardagen och hur symmetri kan konstrueras”) och igen i årskurs 4–6 (”symmetri i planet och hur symmetri kan konstrueras”). Den amerikanska Common Core-standarden 4.G.A.3 beskriver linjen som en linje genom figuren där figuren kan vikas till två delar som passar ihop.

Pappershjärtat har en symmetrilinje, rakt ner genom mitten. En kvadrat har fyra, och en oliksidig triangel har ingen. I England kräver den nationella läroplanen för year 4 att eleverna hittar symmetrilinjer i tvådimensionella figurer som visas åt olika håll och att de fullbordar en enkel symmetrisk figur kring en given linje.

Wikipedias artikel om spegelsymmetri räknar upp linjesymmetri och spegelsymmetri som namn på samma idé; en symmetrilinje kallas också symmetriaxel eller spegellinje.

Spegelsymmetri och rotationssymmetri

Spegelsymmetri och rotationssymmetri är två olika egenskaper, och arbetsbladen i högre årskurser frågar om båda. Spegelsymmetri betyder att figuren kan vikas mot sig själv. Rotationssymmetri betyder att figuren ser likadan ut när du vrider den mindre än ett helt varv runt sin mittpunkt.

En kvadrat har båda: den kan vikas mot sig själv på 4 sätt, och den ser likadan ut efter ett kvarts varv på 90°. Ett parallellogram utan räta vinklar har rotationssymmetri (det passar sig självt efter ett halvt varv på 180°) men ingen symmetrilinje alls. Versalerna S, N och Z fungerar på samma sätt.

Så hittar du symmetrilinjer, steg för steg

Symmetrilinjer hittar du genom att testa varje möjlig vikning, en i taget, och bara räkna de vikningar där båda halvorna passar exakt. Metoden fungerar för varje plan figur på ett arbetsblad i lågstadiet och mellanstadiet.

1. Rita av eller klipp ut figuren. Rita figuren på tunt papper eller klipp ut den ur ett kladdpapper.
2. Testa den lodräta vikningen. Vik figuren från vänster till höger och håll upp den mot ett fönster. Ligger varje kant på den ena halvan ovanpå den andra halvan är vecket en symmetrilinje.
3. Testa den vågräta vikningen. Veckla upp pappret och vik det uppifrån och ner, och kontrollera kanterna igen.
4. Testa de sneda vikningarna. För en månghörning testar du vikningar från hörn till motstående hörn och från mitten av en sida till mitten av motstående sida. Varje ände av en symmetrilinje i en månghörning ligger i ett hörn eller i mittpunkten på en sida.
5. Använd spegeltestet på teckningar. Ställ en liten spegel upprätt på linjen du vill testa. Ser halvan du ser plus dess spegelbild ut som hela figuren är linjen en symmetrilinje.
6. Rita och räkna. Rita varje linje som klarade testet med linjal som en streckad linje, och räkna sedan linjerna en gång var.

I USA hör geometrin i årskurs 4 till samma läsår som multiplikation och division med flersiffriga tal (Common Core 4.NBT.B.5 och 4.NBT.B.6), och mattespelet för årskurs 4 tränar det taluppfattningsarbetet.

Gratis övningsblad att skriva utMultiplikation — elever i årskurs 4Arbetsblad · PDF

Där det oftast går fel: rektangelns diagonaler

En rektangels diagonaler är inte symmetrilinjer, och det är det vanligaste felsvaret på arbetsblad om symmetri. En diagonal delar rektangeln i två lika stora trianglar, så det ser ut som om den borde räknas. Vikningen längs diagonalen avslöjar sanningen: den vikta triangeln hamnar snett, och två hörn sticker ut förbi den andra halvan.

Halvorna måste vara spegelbilder, så varje punkt på ena sidan har en partner på samma avstånd på andra sidan. En kvadrat klarar diagonalvikningen eftersom alla dess sidor är lika långa, och därför har en kvadrat 4 linjer och en rektangel 2.

Hur många symmetrilinjer har varje figur?

Antalet symmetrilinjer för varje vanlig figur är bestämt, så ett barn kan kontrollera svaret på ett arbetsblad mot en enda lista. Antalen gäller den mest allmänna versionen av varje figur: en rektangel som inte är en kvadrat, en likbent triangel som inte är liksidig och en romb som inte är en kvadrat.

Triangelraderna hänger ihop med de triangelnamn barnen lär sig samma år, och guiden om olika trianglar och vinklar förklarar liksidig, likbent och oliksidig med sidlängder.

Varför en regelbunden månghörning med n sidor har n linjer

En regelbunden månghörning har n symmetrilinjer när den har n lika långa sidor och n lika stora vinklar. En månghörning med ett udda antal sidor, som femhörningen, har en linje från varje hörn till mitten av motstående sida, så 5 hörn ger 5 linjer. En månghörning med ett jämnt antal sidor, som sexhörningen, har n : 2 linjer från hörn till hörn och n : 2 linjer från mittpunkt till mittpunkt: 3 + 3 = 6.

Vridningsvinkeln följer samma mönster: en regelbunden månghörning med n sidor ser likadan ut efter en vridning på 360° : n. En sexhörning passar sig själv var 360 : 6 = 60:e grad, och en femhörning var 360 : 5 = 72:a grad. De vinklarna är divisionsfakta.

Spela gratis i webbläsarenDivisionsfaktaÅk 3+

Symmetriaktiviteter hemma

Symmetriaktiviteter hemma gör definitionen till något ditt barn kan se och ta på. Var och en tar ungefär tio minuter med saker du redan har.

• Alfabetets bokstäver: Skriv versalerna i ett enkelt typsnitt och testa var och en med en spegel. I ett typsnitt som Arial har A, M, T, U, V, W och Y en lodrät linje; B, C, D, E och K har en vågrät linje; och H, I, O och X har båda.
• Fjärilar och löv: Jämför en bild på en fjäril med ett löv från trädgården. Båda är nästan spegelbilder, vilket öppnar för ett bra samtal om vad ”exakt” betyder i matte.
• Klecksmålning: Vik ett papper, veckla upp det, droppa färg på ena sidan av vecket och tryck ihop halvorna. Avtrycket är symmetriskt kring vecket varje gång.
• Utklippta figurer: Vik ett papper en gång, klipp en figur längs vecket och gissa hur den ser ut uppvecklad.

Att vika en figur på mitten visar också halvor i bråkbemärkelse: varje del är 1/2 av helheten, och guiden om bråk för föräldrar bygger vidare på samma vikning.

Spegelritning

Spegelritning är aktiviteten som passar målet att konstruera symmetri, både i Lgr22 och i den engelska läroplanen. Rita halva ett hus på rutat papper bredvid en rak linje och be ditt barn rita den andra halvan, med varje hörn lika många rutor från linjen.

En handspegel på linjen låter ditt barn kontrollera teckningen på egen hand. Byt från en lodrät linje till en vågrät och sedan till en sned: det är just ”figurer som visas åt olika håll” som läroplanen nämner.

Så kontrollerar du framstegen med symmetri

Fem korta frågor visar om ett barn förstår symmetrilinjer eller gissar utifrån hur figuren ser ut.

• Kvadraten och rektangeln: Fråga efter antalet linjer i varje figur. Svaren är 4 och 2, och barnet ska kunna förklara varför rektangelns diagonaler inte fungerar.
• De tre trianglarna: Visa en liksidig, en likbent och en oliksidig triangel. Svaren är 3, 1 och 0.
• Den vridna figuren: Rita en likbent triangel som ligger på sidan. Ett barn som ändå hittar den enda linjen klarar figurer som visas åt olika håll.
• Bokstäverna: Fråga vilka av H, E, S och A som har en symmetrilinje. H, E och A har det; S har ingen.
• Halva bilden: Ge en halv figur bredvid en linje och be om resten.

Ett test på fem minuter vid köksbordet

Ett symmetritest på fem minuter använder tre utklippta figurer: en kvadrat, en rektangel och ett parallellogram. Be ditt barn gissa antalet linjer för varje figur och sedan vika för att kontrollera.

Gissningarna ska bli 4, 2 och 0, och ett barn som gissar 4 för rektangeln har gått i diagonalfällan. Mattespelet för årskurs 3 och översikten över vilken matte varje årskurs ska kunna visar var symmetri hör hemma bredvid resten av årets arbete.

Vanliga fel med symmetrilinjer

Fyra fel orsakar de flesta felsvaren på arbetsblad om symmetri, och vart och ett har en snabb lösning.

• Att räkna rektangelns diagonaler: En rektangel får 4 linjer i stället för 2. Vik en pappersrektangel längs en diagonal och låt hörnen visa svaret.
• Att räkna parallellogrammets diagonaler: Ett parallellogram får 2 linjer i stället för 0. Varje diagonal delar det i två lika trianglar, men ingen av vikningarna passar.
• Att räkna en linje två gånger: Barnet räknar övre och nedre halvan av samma linje som två linjer. Rita varje linje en gång från kant till kant och räkna sedan de ritade linjerna.
• Att missa en sned linje: En figur som är tryckt snett döljer sina linjer. Vrid arbetsbladet och testa igen.

Gränsfall: cirkeln och de regelbundna månghörningarna

En cirkel har oändligt många symmetrilinjer, eftersom varje linje genom medelpunkten viker den mot sig själv. Wikipedias artikel om spegelsymmetri slår fast att en cirkel har oändligt många symmetriaxlar, så ”oändligt många” är det förväntade svaret.

En regelbunden månghörning med n sidor har exakt n linjer, så en regelbunden åttahörning har 8 och en regelbunden tolvhörning har 12. Regeln gäller bara regelbundna månghörningar.

I algebran kommer samma idé tillbaka som symmetrilinjen för en graf. OpenStax Elementary Algebra 2e anger symmetrilinjen för y = ax² + bx + c som linjen x = −b : 2a, så grafen till y = x² − 6x + 8 viks mot sig själv längs x = 3. Guiden om area och omkrets tar upp de andra måtten på figurer från samma årskurser.

Din checklista för symmetrilinjer och nästa steg

• Vikningstestet: vik en papperskopia och kontrollera att varje kant ligger ovanpå sin partner.
• Alla riktningar: testa den lodräta, den vågräta och båda sneda vikningarna innan du räknar.
• Rektangelfällan: kom ihåg att en rektangel har 2 linjer och att diagonalerna inte räknas.
• Regelbundna figurer: en regelbunden månghörning med n sidor har n linjer, och en cirkel har oändligt många.
• Räkna en gång: rita varje linje från kant till kant och räkna sedan de ritade linjerna.
• Två sorter: håll isär spegelsymmetri (vika) och rotationssymmetri (vrida).

MathIt är en gratis app för iOS och Android med ungefär 90 speltyper, anpassad svårighetsgrad och en kort daglig övning för de talfakta som hör ihop med geometrin i skolan. Föräldrar och barn kan också spela matteduell i realtid med 2 till 5 spelare, och sidan om mattespel för föräldrar och barn visar hur en familjerunda går till.