Vinklar och olika sorters trianglar: en guide för föräldrar

Du skär en fyrkantig smörgås från hörn till hörn, och ditt barn i årskurs 4 undrar vad det är för trianglar de två halvorna är. Läxan vill ha två namn på varje triangel och en saknad vinkel, och spetsig, trubbig och likbent låter likadant efter en lång skoldag. Olika trianglar och vinklar får plats på en sida när du kan de två frågorna bakom varje namn: hur många sidor är lika långa, och hur stor är den största vinkeln?

Vilka sorters vinklar finns det?

De fem sorterna av vinklar är spetsig, rät, trubbig, rak och reflexvinkel, och var och en bestäms av sin storlek i grader. Common Core-standarden 4.MD.C.5 definierar själva graden: en vinkel som vrider sig 1/360 av ett varv kallas en vinkel på en grad, så ett helt varv är 360°.

• Spetsig vinkel: mindre än 90°. Visarna på en klocka bildar spetsiga vinklar klockan ett eller två (30° och 60°).
• Rät vinkel: exakt 90°, ett fyrkantigt hörn. Visarna bildar en klockan tre.
• Trubbig vinkel: mer än 90° och mindre än 180°. Visarna bildar 120° klockan fyra.
• Rak vinkel: exakt 180°, en rak linje. Visarna pekar åt motsatta håll klockan sex.
• Reflexvinkel: mer än 180° och mindre än 360°. Utsidan av vinkeln klockan fyra, den långa vägen runt, är 360° − 120° = 240°.

En dörr visar samma stege: öppnad på glänt bildar den en spetsig vinkel med karmen; öppnad rakt ut, en rät vinkel.

Så ser du vilken sorts vinkel det är utan gradskiva

Hörnet på ett vanligt skrivarpapper är en rät vinkel, och det sorterar vilken vinkel som helst på en sekund. Skjut in pappershörnet i vinkeln: om vinkeln göms inuti hörnet är den spetsig; om de passar exakt är den rät; om vinkeln öppnar sig bredare än papperet är den trubbig.

Den engelska läroplanen ber elever i Year 3 att avgöra om vinklar är större eller mindre än en rät vinkel, och elever i Year 5 att uppskatta och jämföra spetsiga, trubbiga och reflexvinklar.

Så bestämmer du vilken triangel det är, steg för steg

En triangel klassas efter sina sidor och efter sina vinklar, så ett fullständigt namn har två delar. Fyra steg ger båda.

1. Räkna de lika långa sidorna. Tre lika sidor ger en liksidig triangel, två lika sidor en likbent triangel och inga lika sidor en oliksidig triangel. På en ritning har lika sidor samma antal små markeringsstreck.
2. Hitta den största vinkeln. Den största vinkeln ligger mittemot den längsta sidan. Kontrollera den med pappershörnet från avsnittet ovan.
3. Ge vinkeln ett namn. Om den största vinkeln är mindre än 90° är triangeln spetsvinklig; om den är exakt 90° är triangeln rätvinklig; om den är mer än 90° är triangeln trubbvinklig.
4. Sätt ihop de två namnen. Din fyrkantiga smörgås, skuren hörn till hörn, ger två rätvinkliga likbenta trianglar: två lika sidor och vinklarna 90°, 45° och 45°. En rektangulär smörgås skuren på samma sätt ger två rätvinkliga oliksidiga trianglar.

Bilden visar de sex namnen i ordning. Den övre raden, från vänster till höger, är liksidig, likbent och oliksidig; den nedre raden är spetsvinklig (största vinkeln 70°), rätvinklig (90°) och trubbvinklig (120°).

Det många gör fel

En triangel kan bara ha en rät vinkel eller en trubbig vinkel, och barn ritar ofta en ”triangel” med två. Två räta vinklar blir redan 90° + 90° = 180°, summan för hela triangeln, så den tredje vinkeln skulle bli 0° och sidorna skulle löpa parallellt i all evighet.

Samma faktum betyder att varje triangel har minst två spetsiga vinklar, och därför beror namnet bara på den största vinkeln.

Olika trianglar sida vid sida

De sex sorterna av trianglar delas i två familjer om tre, en efter sidor och en efter vinklar. Varje triangel får ett namn ur varje familj.

Vissa kombinationer finns aldrig. En liksidig triangel är alltid spetsvinklig, eftersom alla dess vinklar är 60°, så en ”rätvinklig liksidig” eller ”trubbvinklig liksidig” triangel kan inte finnas. Rätvinklig likbent (90°, 45°, 45°) och trubbvinklig likbent (120°, 30°, 30°) finns båda.

Vilka namn ditt barn behöver i vilken årskurs

I Sverige anger kursplanen i matematik i Lgr22 grundläggande tvådimensionella objekt, deras egenskaper och inbördes relationer i årskurs 1–3. Årskurs 4–6 lägger till mätning av vinkel med standardiserade måttenheter och metoder för att bestämma omkrets och area hos olika tvådimensionella figurer, och årskurs 7–9 tar upp geometriska satser och formler samt argumentation för deras giltighet.

I USA kommer vinkelnamnen och den första triangelkategorin i årskurs 4: Common Core 4.G.A.1 ber barnen rita räta, spetsiga och trubbiga vinklar, och 4.G.A.2 ber dem känna igen rätvinkliga trianglar som en egen kategori. Årskurs 5 lägger till att kategorier ligger inuti varandra (5.G.B.3 och 5.G.B.4), komplement- och supplementvinklar kommer i årskurs 7 (7.G.B.5) och det formella argumentet för vinkelsumman 180° väntar till årskurs 8 (8.G.A.5).

I England jämför och klassar elever i Year 4 geometriska figurer, bland annat fyrhörningar och trianglar, efter egenskaper och storlek, och elever i Year 6 räknar ut okända vinklar i trianglar, fyrhörningar och regelbundna månghörningar. Se vilken matte varje årskurs ska kunna för resten av varje år.

Regeln om 180° och saknade vinklar

Vinkelsumman i varje triangel är 180°. OpenStax Prealgebra säger det så: för varje triangel ABC är summan av vinklarnas storlek 180°.

En saknad vinkel är 180° minus de två vinklar du känner till. Med vinklarna 50° och 60° är den tredje vinkeln 180° − 50° − 60° = 70°. Kontrollera genom att addera: 50° + 60° + 70° = 180°.

En rätvinklig triangel behöver bara en känd vinkel. Den räta vinkeln tar 90°, så en rätvinklig triangel med en vinkel på 35° har den tredje vinkeln 180° − 90° − 35° = 55°.

Ytterligare två fakta om vinklar använder samma subtraktion. Komplementvinklar blir tillsammans 90°, så komplementvinkeln till 35° är 90° − 35° = 55°; supplementvinklar blir tillsammans 180°, så supplementvinkeln till 50° är 180° − 50° = 130°. OpenStax definierar dem på samma sätt: om summan av två vinklar är 180° är vinklarna supplementvinklar.

Att hitta den tredje vinkeln är tvåsiffrig subtraktion, ofta med växling, som i 180 − 65 = 115. Guiden om subtraktion med växling hjälper när nollan i 180 ställer till det.

Spela gratis i webbläsarenSubtrahera tvåsiffriga talÅk 1–2

Testet med avrivna hörn bevisar regeln om 180° hemma. Rita en triangel, färglägg hörnen, klipp ut den, riv av de tre hörnen och lägg spetsarna mot varandra längs en linjal: de fyller alltid en rak linje, alltså 180°. Common Core 8.G.A.5 föreslår samma idé: lägg tre kopior av samma triangel så att de tre vinklarna ser ut att bilda en linje.

Så räknar du ut arean av en triangel

Triangelns area är basen gånger höjden delat med 2: A = b × h / 2, vilket är samma sak som en halv gånger b × h. Höjden mäts i rät vinkel från basen till det motstående hörnet, så den är lika med en sida bara i en rätvinklig triangel.

Formeln kommer från en rektangel. Skär en rektangel på 8 cm gånger 5 cm från hörn till hörn som smörgåsen, så är varje halva en triangel med basen 8 cm och höjden 5 cm. Rektangeln täcker 8 × 5 = 40 cm², så varje triangel täcker 40 : 2 = 20 cm².

OpenStax skriver formeln som A = ½bh, där b är basen och h är höjden. Att halvera och att multiplicera med ½ är samma steg (se bråk förklarat för föräldrar). I Sverige hör area hos olika tvådimensionella figurer till årskurs 4–6 i Lgr22, och Common Core lägger triangelns area i årskurs 6 (6.G.A.1), efter arbetet med rektanglar i area och omkrets.

Så kontrollerar du framstegen med trianglar och vinklar

Fem snabba frågor visar om ett barn kan namnen eller gissar.

• Klockfrågan: Vilken vinkel bildar visarna klockan tre, sex och två? Rät (90°), rak (180°) och spetsig (60°).
• Frågan om två namn: Vilka två namn har en triangel med vinklarna 90°, 45° och 45°? Rätvinklig och likbent.
• Den saknade vinkeln: En triangel har vinklarna 40° och 75°. Den tredje är 180° − 40° − 75° = 65°.
• Den omöjliga triangeln: Kan en triangel ha vinklarna 100° och 90°? Nej, eftersom 100° + 90° = 190° redan är mer än 180°.
• Areafrågan: En triangel har basen 10 cm och höjden 6 cm. Arean är 10 × 6 : 2 = 30 cm².

Ett test på fem minuter vid köksbordet

Ett test på fem minuter vid köksbordet fungerar bäst med riktiga saker. Vik en servett, skär en brödskiva, håll upp en klädgalge och fråga efter två namn på varje triangel, med pappershörnet som enda verktyg.

Om namnen sitter men de saknade vinklarna tar stopp är luckan subtraktion från 180. Mattespel för årskurs 4 drillar den årskursens räknande, och mattespel för föräldrar och barn gör övningen till en match ni kan spela tillsammans.

Vanliga fel och gränsfall

Fyra fel orsakar de flesta felsvaren på frågor om trianglar och vinklar.

• Att namnge efter utseendet: En triangel som ser rätvinklig ut kallas rätvinklig utan kontroll. Använd pappershörnet eller den givna vinkeln, eftersom 85° och 90° ser likadana ut.
• Att läsa ”spetsvinklig triangel” som en spetsig vinkel: Varje triangel har minst två spetsiga vinklar. En spetsvinklig triangel behöver alla tre under 90°.
• Att subtrahera från 360°: Ett barn räknar ut en saknad vinkel i en triangel som 360° − 50° − 60° = 250°. Vinkelsumman i en triangel är 180°; 360° är summan runt en punkt.
• Att använda den sneda sidan som höjd: I en spetsvinklig eller trubbvinklig triangel är höjden en rak linje i 90° mot basen, och den är kortare än den sneda sidan.

Är en liksidig triangel också likbent?

En liksidig triangel är också likbent enligt den inkluderande definitionen, som säger att en likbent triangel har minst två lika sidor. Läroböcker skiljer sig: vissa definierar likbent som exakt två lika sidor, och OpenStax säger att en likbent triangel har två sidor med samma längd. Kontrollera vilken definition ditt barns lärobok använder. Den inkluderande läsningen stämmer med idén att en underkategori behåller alla egenskaper hos sin kategori.

Din checklista för trianglar och vinklar och nästa steg

• Pappershörnet: ha ett papper till hands som kontroll av räta vinklar.
• Två frågor: räkna de lika sidorna i varje triangel och hitta sedan den största vinkeln.
• Två namn: säg båda, till exempel rätvinklig oliksidig eller trubbvinklig likbent.
• Kontroll mot 180°: addera de tre vinklarna efter varje svar på en saknad vinkel.
• Halvera arean: multiplicera basen med höjden, dela med 2 och skriv svaret i kvadratenheter.
• Textuppgifter: när en vinkelfråga kommer som en berättelse hjälper stegen i så löser du textuppgifter i matte dig att välja räknesätt.

MathIt är en gratis app för iOS och Android med ungefär 90 speltyper, anpassad svårighetsgrad och en kort daglig övning som håller subtraktion, multiplikation och halvering snabba för uppgifter med saknade vinklar och area. Barn kan också utmana 1 till 4 vänner eller familjemedlemmar i matteduell i realtid, på något av 33 språk.