Tipos de triângulos e tipos de ângulos: um guia para pais

Você corta um sanduíche quadrado de ponta a ponta, e seu filho do 6º ano pergunta que tipo de triângulo são as duas metades. A lição de casa pede dois nomes para cada triângulo e um ângulo que falta, e agudo, obtuso e isósceles soam todos parecidos depois da escola. Os tipos de triângulos e os tipos de ângulos cabem numa página quando você conhece as duas perguntas por trás de cada nome: quantos lados são iguais, e qual é o tamanho do maior ângulo?

Quais são os tipos de ângulos?

Os cinco tipos de ângulos são agudo, reto, obtuso, raso e côncavo, e cada um é definido pela medida em graus. O padrão 4.MD.C.5 do Common Core define o próprio grau: um ângulo que gira 1/360 de uma volta completa é um ângulo de um grau, então uma volta inteira tem 360°.

• Ângulo agudo: menor que 90°. Os ponteiros do relógio à 1h ou às 2h formam ângulos agudos (30° e 60°).
• Ângulo reto: exatamente 90°, um canto quadrado. Os ponteiros às 3h formam um.
• Ângulo obtuso: maior que 90° e menor que 180°. Os ponteiros às 4h formam 120°.
• Ângulo raso: exatamente 180°, uma linha reta. Os ponteiros às 6h apontam para lados opostos.
• Ângulo côncavo (ou reflexo): maior que 180° e menor que 360°. O lado de fora do ângulo das 4h, pelo caminho mais longo, mede 360° − 120° = 240°.

Uma porta mostra a mesma escada: entreaberta, forma um ângulo agudo com o batente; aberta em esquadro, um ângulo reto.

Como saber o tipo de ângulo sem transferidor

O canto de uma folha de papel sulfite é um ângulo reto, e ele classifica qualquer ângulo num segundo. Encaixe o canto do papel no ângulo: se o ângulo some dentro do canto, é agudo; se os dois coincidem, é reto; se o ângulo abre mais que o papel, é obtuso.

No Brasil, a BNCC pede no 4º ano "reconhecer ângulos retos e não retos em figuras poligonais com o uso de dobraduras, esquadros ou softwares de geometria" (EF04MA18), e o currículo nacional da Inglaterra (programmes of study) pede no Year 5 estimar e comparar ângulos agudos, obtusos e côncavos.

Como classificar um triângulo, passo a passo

Um triângulo é classificado pelos lados e pelos ângulos, então o nome completo tem duas palavras. Quatro passos dão os dois nomes.

1. Conte os lados iguais. Três lados iguais formam um triângulo equilátero, dois lados iguais formam um triângulo isósceles, e nenhum lado igual forma um triângulo escaleno. No desenho, os lados iguais levam o mesmo número de risquinhos.
2. Encontre o maior ângulo. O maior ângulo fica oposto ao maior lado. Confira-o com o canto do papel da seção anterior.
3. Dê o nome pelo ângulo. Se o maior ângulo é menor que 90°, o triângulo é acutângulo; se é exatamente 90°, o triângulo é retângulo; se é maior que 90°, o triângulo é obtusângulo.
4. Junte os dois nomes. O sanduíche quadrado, cortado de ponta a ponta, dá dois triângulos retângulos isósceles: dois lados iguais e ângulos de 90°, 45° e 45°. Um sanduíche retangular cortado do mesmo jeito dá dois triângulos retângulos escalenos.

O desenho mostra os seis nomes em ordem. A fileira de cima, da esquerda para a direita, é equilátero, isósceles e escaleno; a de baixo é acutângulo (maior ângulo de 70°), retângulo (90°) e obtusângulo (120°).

O erro mais comum

Um triângulo pode ter só um ângulo reto ou só um ângulo obtuso, e as crianças muitas vezes desenham um "triângulo" com dois. Dois ângulos retos já somam 90° + 90° = 180°, o total do triângulo inteiro, então o terceiro ângulo seria 0° e os lados correriam paralelos para sempre.

O mesmo fato faz todo triângulo ter pelo menos dois ângulos agudos, e é por isso que o nome depende só do maior ângulo.

Os tipos de triângulos lado a lado

Os seis tipos de triângulos se dividem em duas famílias de três, uma pelos lados e outra pelos ângulos. Todo triângulo recebe um nome de cada família.

Algumas combinações nunca acontecem. O triângulo equilátero é sempre acutângulo, porque todos os seus ângulos medem 60°, então um triângulo "equilátero retângulo" ou "equilátero obtusângulo" não existe. O retângulo isósceles (90°, 45°, 45°) e o obtusângulo isósceles (120°, 30°, 30°) existem.

Quais nomes seu filho precisa em cada ano

No Brasil, o 4º ano é quando a criança começa a separar ângulos retos e não retos (EF04MA18). No 5º ano, a BNCC pede "reconhecer, nomear e comparar polígonos, considerando lados, vértices e ângulos" (EF05MA17), e no 6º ano chega a classificação completa: "identificar características dos triângulos e classificá-los em relação às medidas dos lados e dos ângulos" (EF06MA19). O mesmo 6º ano mede ângulos com transferidor (EF06MA27).

O 7º ano verifica "que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°" (EF07MA24). Nos Estados Unidos, o Common Core 4.G.A.1 já pede no 4º ano americano desenhar ângulos retos, agudos e obtusos, os ângulos complementares e suplementares chegam no 7º ano (7.G.B.5), e a justificativa formal da soma de 180° fica para o 8º ano (8.G.A.5).

O padrão 5.G.B.3 acrescenta uma ideia útil: as características de uma categoria de figuras valem para todas as subcategorias dela. Veja o que a criança deve saber de matemática em cada ano para o resto de cada ano.

A regra dos 180° e o ângulo que falta

Os três ângulos internos de todo triângulo somam 180°. O OpenStax Prealgebra afirma que, em qualquer triângulo ABC, a soma das medidas dos ângulos é 180°.

O ângulo que falta é 180° menos os dois ângulos conhecidos. Com ângulos de 50° e 60°, o terceiro ângulo é 180° − 50° − 60° = 70°. Confira somando: 50° + 60° + 70° = 180°.

O triângulo retângulo precisa de um só ângulo conhecido. O ângulo reto ocupa 90°, então um triângulo retângulo com um ângulo de 35° tem o terceiro ângulo igual a 180° − 90° − 35° = 55°.

Mais dois fatos sobre ângulos usam a mesma subtração. Ângulos complementares somam 90°, então o complemento de 35° é 90° − 35° = 55°; ângulos suplementares somam 180°, então o suplemento de 50° é 180° − 50° = 130°. O OpenStax define da mesma forma: se a soma das medidas de dois ângulos é 180°, os ângulos são suplementares.

Achar o terceiro ângulo é uma subtração de dois ou três algarismos, muitas vezes com reagrupamento, como em 180 − 65 = 115. O guia de subtração com reagrupamento ajuda quando o zero do 180 atrapalha.

Jogue grátis no navegadorSubtrair números de dois algarismos1.º–2.º ano

O teste de rasgar os cantos prova a regra dos 180° em casa. Desenhe qualquer triângulo, pinte os cantos, recorte, rasgue os três cantos e alinhe as pontas junto a uma régua: eles sempre preenchem uma linha reta, que mede 180°. O Common Core 8.G.A.5 sugere a mesma ideia: arrumar três cópias do mesmo triângulo para que a soma dos três ângulos pareça formar uma linha.

Como calcular a área do triângulo

A área do triângulo é a metade da base vezes a altura: A = ½ × b × h, que é o mesmo que (b × h) ÷ 2. A altura é medida em ângulo reto da base até o vértice oposto, então só coincide com um lado no triângulo retângulo.

A fórmula vem do retângulo. Corte um retângulo de 8 cm por 5 cm de ponta a ponta, como o sanduíche, e cada metade é um triângulo com base de 8 cm e altura de 5 cm. O retângulo cobre 8 × 5 = 40 cm², então cada triângulo cobre 40 ÷ 2 = 20 cm².

O OpenStax escreve a fórmula como A = ½bh, em que b é a base e h é a altura. Dividir por 2 e multiplicar por ½ são o mesmo passo (veja frações explicadas para pais). A BNCC pede no 7º ano "estabelecer expressões de cálculo de área de triângulos e de quadriláteros" (EF07MA31), depois do trabalho com retângulos em área e perímetro.

Como acompanhar o progresso com triângulos e ângulos

Cinco perguntas rápidas mostram se a criança sabe os nomes ou está chutando.

• A pergunta do relógio: Que ângulo os ponteiros formam às 3h, às 6h e às 2h? Reto (90°), raso (180°) e agudo (60°).
• A pergunta dos dois nomes: Quais são os dois nomes de um triângulo com ângulos de 90°, 45° e 45°? Retângulo isósceles.
• O ângulo que falta: Um triângulo tem ângulos de 40° e 75°. O terceiro é 180° − 40° − 75° = 65°.
• O triângulo impossível: Um triângulo pode ter ângulos de 100° e 90°? Não, porque 100° + 90° = 190° já passa de 180°.
• A pergunta da área: Um triângulo tem base de 10 cm e altura de 6 cm. A área é 10 × 6 ÷ 2 = 30 cm².

Um teste de cinco minutos na mesa da cozinha

Um teste de cinco minutos na mesa da cozinha funciona melhor com objetos de verdade. Dobre um guardanapo, corte uma torrada, mostre um cabide e peça dois nomes para cada triângulo, com o canto do papel como única ferramenta.

Se os nomes estão firmes mas os ângulos que faltam travam, a lacuna é a subtração a partir de 180. O jogo de matemática para o 4º ano treina os cálculos desse ano, e o jogo de matemática para pais e filhos transforma a prática numa partida para jogar junto.

Erros comuns e casos especiais

Quatro erros causam a maioria das respostas erradas sobre triângulos e ângulos.

• Dar o nome só pela aparência: Um triângulo que parece retângulo é chamado de retângulo sem conferir. Use o canto do papel ou o ângulo dado, porque 85° e 90° parecem iguais.
• Ler "acutângulo" como um ângulo agudo só: Todo triângulo tem pelo menos dois ângulos agudos. O triângulo acutângulo precisa dos três menores que 90°.
• Subtrair de 360°: A criança calcula o ângulo que falta como 360° − 50° − 60° = 250°. Os ângulos de um triângulo somam 180°; 360° é a volta completa em torno de um ponto.
• Usar o lado inclinado como altura: No triângulo acutângulo ou obtusângulo, a altura é uma linha reta a 90° da base, mais curta que o lado inclinado.

O triângulo equilátero também é isósceles?

O triângulo equilátero também é isósceles pela definição inclusiva, que diz que o triângulo isósceles tem pelo menos dois lados iguais. Os livros didáticos diferem: alguns definem isósceles como exatamente dois lados iguais, e o OpenStax diz que o triângulo isósceles tem dois lados de mesma medida. Confira qual definição o livro do seu filho usa. A leitura inclusiva combina com a ideia de que uma subcategoria mantém todas as características da sua categoria.

Sua lista de verificação de triângulos e ângulos e próximos passos

• Canto do papel: deixe uma folha de papel à mão para conferir ângulos retos.
• Duas perguntas: em todo triângulo, conte os lados iguais e depois encontre o maior ângulo.
• Dois nomes: diga os dois, como retângulo escaleno ou obtusângulo isósceles.
• Conferência dos 180°: some os três ângulos depois de cada ângulo que falta.
• Área pela metade: multiplique a base pela altura, divida por 2 e escreva a resposta em unidades quadradas.
• Problemas: quando a pergunta de ângulo vem como uma história, os passos de como resolver problemas de matemática ajudam a escolher a operação.

O MathIt é um app gratuito para iOS e Android com cerca de 90 tipos de jogos, dificuldade adaptativa e uma prática diária curta que mantém a subtração, a multiplicação e a divisão por 2 rápidas para os problemas de ângulos e de área. A criança também pode desafiar de 1 a 4 amigos ou familiares em batalhas de matemática em tempo real, em qualquer um dos 33 idiomas.