Eixos de simetria explicados: o que são e quantos cada figura tem

Seu filho do 4º ano dobra uma folha de papel ao meio, recorta meio coração junto da dobra e abre um coração perfeito. Aquela dobra responde "o que é eixo de simetria?", e a mesma ideia está por trás da atividade que pergunta quantos eixos de simetria uma figura tem. Achar os eixos de simetria pede uma dobra, um espelho e um hábito cuidadoso: conferir se as duas metades coincidem ponto por ponto.

O que é eixo de simetria?

Eixo de simetria é a linha que divide uma figura em duas metades que são o reflexo uma da outra. O padrão 4.G.A.3 do Common Core pede que alunos americanos do 4º ano "reconheçam um eixo de simetria de uma figura plana como uma linha que atravessa a figura de modo que ela possa ser dobrada nessa linha em partes que coincidem" e que "identifiquem figuras simétricas e tracem eixos de simetria".

O coração de papel tem um eixo de simetria, bem no meio. O quadrado tem quatro, e o triângulo escaleno não tem nenhum. No Brasil, a BNCC pede no 4º ano "reconhecer simetria de reflexão em figuras e em pares de figuras geométricas planas e utilizá-la na construção de figuras congruentes, com o uso de malhas quadriculadas e de softwares de geometria" (EF04MA19). Na Inglaterra, o currículo nacional do year 4 pede que o aluno "identifique eixos de simetria em figuras planas apresentadas em diferentes posições" e "complete uma figura simétrica simples em relação a um eixo dado".

O artigo da Wikipédia sobre simetria de reflexão traz "simetria de linha" e "simetria especular" como nomes da mesma ideia; o eixo de simetria também é chamado de linha de simetria ou eixo de reflexão.

Simetria de reflexão e simetria de rotação

Simetria de reflexão e simetria de rotação são duas propriedades diferentes, e as atividades dos anos seguintes perguntam pelas duas. Na BNCC, o 7º ano já trabalha "simetrias de translação, rotação e reflexão" (EF07MA21). Simetria de reflexão quer dizer que a figura se dobra sobre ela mesma. Simetria de rotação quer dizer que a figura fica igual depois de girar menos que uma volta inteira em torno do centro.

O quadrado tem as duas: ele se dobra sobre si mesmo de 4 jeitos e fica igual depois de um quarto de volta, 90°. Um paralelogramo sem ângulos retos tem simetria de rotação (coincide com ele mesmo depois de meia-volta, 180°), mas nenhum eixo de simetria. As letras maiúsculas S, N e Z se comportam do mesmo jeito.

Como achar os eixos de simetria, passo a passo

Os eixos de simetria se acham testando cada dobra possível, uma de cada vez, e contando só as dobras em que as duas metades coincidem exatamente. O método funciona para qualquer figura plana da lição de casa do 3º ao 5º ano.

1. Copie ou recorte a figura. Desenhe a figura em papel fino ou recorte-a de um papel de rascunho.
2. Teste a dobra vertical. Dobre a figura da esquerda para a direita e olhe contra a janela. Se cada borda de uma metade fica em cima da outra metade, a dobra é um eixo de simetria.
3. Teste a dobra horizontal. Abra o papel e dobre de cima para baixo, depois confira as bordas de novo.
4. Teste as dobras diagonais. Num polígono, teste as dobras de um canto ao canto oposto e do meio de um lado ao meio do lado oposto. Cada ponta de um eixo de simetria de um polígono fica num vértice ou no ponto médio de um lado.
5. Use o teste do espelho nos desenhos. Coloque um espelhinho em pé sobre a linha que você quer testar. Se a metade que você vê mais o reflexo dela parece a figura inteira, a linha é um eixo de simetria.
6. Trace e conte. Trace com régua cada linha aprovada, tracejada, e depois conte as linhas uma vez cada.

No 4º ano, a simetria divide o ano com a multiplicação e a divisão com números maiores, e o jogo de matemática para o 4º ano cobre essas contas.

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Onde quase todo mundo erra: as diagonais do retângulo

As diagonais do retângulo não são eixos de simetria, e essa é a resposta errada mais comum nas atividades de simetria. A diagonal corta o retângulo em dois triângulos do mesmo tamanho, o que parece contar. A dobra pela diagonal mostra a verdade: o triângulo dobrado cai torto, e dois cantos ficam sobrando para fora da outra metade.

As metades têm de ser reflexo uma da outra, então cada ponto de um lado tem um par à mesma distância do outro lado. O quadrado passa na dobra pela diagonal porque todos os lados são iguais, e é por isso que o quadrado tem 4 eixos e o retângulo tem 2.

Quantos eixos de simetria tem cada figura?

O número de eixos de simetria de cada figura comum é fixo, então a criança pode conferir a resposta da atividade numa lista só. A contagem considera a versão mais geral de cada figura: um retângulo que não é quadrado, um triângulo isósceles que não é equilátero e um losango que não é quadrado.

As linhas dos triângulos se ligam aos nomes de triângulos que a criança aprende nos mesmos anos, e o guia de tipos de triângulos e ângulos explica equilátero, isósceles e escaleno pelas medidas dos lados.

Por que um polígono regular de n lados tem n eixos

Um polígono regular tem n eixos de simetria quando tem n lados iguais e n ângulos iguais. Um polígono com número ímpar de lados, como o pentágono, tem um eixo de cada vértice até o meio do lado oposto, então 5 vértices dão 5 eixos. Um polígono com número par de lados, como o hexágono, tem n ÷ 2 eixos de vértice a vértice e n ÷ 2 eixos de ponto médio a ponto médio: 3 + 3 = 6.

O ângulo de giro segue o mesmo padrão: um polígono regular de n lados fica igual depois de um giro de 360° ÷ n. O hexágono coincide com ele mesmo a cada 360 ÷ 6 = 60°, e o pentágono a cada 360 ÷ 5 = 72°. Esses ângulos são fatos de divisão.

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Atividades de simetria em casa

As atividades de simetria em casa transformam a definição em algo que a criança pode ver e tocar. Cada uma leva uns dez minutos com coisas que você já tem.

• Letras do alfabeto: Escreva as letras maiúsculas numa fonte simples e teste cada uma com um espelho. Numa fonte como a Arial, A, M, T, U, V, W e Y têm um eixo vertical; B, C, D, E e K têm um eixo horizontal; e H, I, O e X têm os dois.
• Borboletas e folhas: Compare a figura de uma borboleta com uma folha do jardim. As duas são quase reflexos perfeitos, o que abre uma boa conversa sobre o que "exato" quer dizer em matemática.
• Pintura de borrão: Dobre uma folha, abra, pingue tinta de um lado da dobra e aperte as metades uma contra a outra. A pintura sai simétrica em relação à dobra todas as vezes.
• Figuras recortadas: Dobre o papel uma vez, recorte uma figura junto da dobra e peça para a criança adivinhar como ela vai ficar aberta.

Dobrar uma figura ao meio também mostra metades no sentido das frações: cada parte é 1/2 do todo, e o guia de frações para os pais parte da mesma dobra.

Desenho espelhado

O desenho espelhado é a atividade que combina com a meta de completar "uma figura simétrica simples" e com as malhas quadriculadas da BNCC. Desenhe metade de uma casa em papel quadriculado ao lado de uma linha reta e peça para a criança desenhar a outra metade, com cada canto à mesma quantidade de quadradinhos da linha.

Um espelho de mão sobre a linha deixa a criança conferir o desenho sozinha. Passe de uma linha vertical para uma horizontal e depois para uma diagonal: é a parte das "diferentes posições" do currículo.

Como acompanhar o progresso com a simetria

Cinco perguntas curtas mostram se a criança entende os eixos de simetria ou chuta pela aparência da figura.

• O quadrado e o retângulo: Pergunte o número de eixos de cada um. As respostas são 4 e 2, e a criança deve explicar por que as diagonais do retângulo não valem.
• Os três triângulos: Mostre um triângulo equilátero, um isósceles e um escaleno. As respostas são 3, 1 e 0.
• A figura virada: Desenhe um triângulo isósceles deitado de lado. A criança que ainda acha o eixo único cumpriu a meta das "diferentes posições".
• As letras: Pergunte quais destas têm eixo de simetria: H, E, S e A. H, E e A têm; S não tem nenhum.
• A meia figura: Dê metade de uma figura ao lado de uma linha e peça o resto.

Um teste de cinco minutos na mesa da cozinha

Um teste de simetria de cinco minutos usa três figuras recortadas: um quadrado, um retângulo e um paralelogramo. Peça para a criança prever o número de eixos de cada uma e depois dobrar para conferir.

As previsões devem ser 4, 2 e 0, e a criança que prevê 4 para o retângulo caiu na armadilha da diagonal. O jogo de matemática para o 3º ano e o panorama do que a criança deve saber de matemática em cada ano mostram onde a simetria fica ao lado do resto do conteúdo do ano.

Erros comuns com eixos de simetria

Quatro erros causam a maioria das respostas erradas nas atividades de simetria, e cada um tem uma correção curta.

• Contar as diagonais do retângulo: O retângulo fica com 4 eixos em vez de 2. Dobre um retângulo de papel pela diagonal e deixe os cantos mostrarem a resposta.
• Contar as diagonais do paralelogramo: O paralelogramo fica com 2 eixos em vez de 0. Cada diagonal o divide em dois triângulos iguais, mas nenhuma dobra coincide.
• Contar um eixo duas vezes: A criança conta a metade de cima e a metade de baixo do mesmo eixo como dois eixos. Trace cada eixo uma vez de borda a borda e depois conte os eixos traçados.
• Não ver um eixo inclinado: Uma figura impressa torta esconde os eixos. Gire a folha e teste de novo.

Caso especial: o círculo e os polígonos regulares

O círculo tem infinitos eixos de simetria, porque toda reta que passa pelo centro dobra o círculo sobre ele mesmo. O artigo da Wikipédia sobre simetria de reflexão afirma que "o círculo tem infinitos eixos de simetria", então "infinitos" é a resposta esperada.

Um polígono regular de n lados tem exatamente n eixos, então o octógono regular tem 8 e o polígono regular de 12 lados tem 12. A regra vale só para polígonos regulares.

Na álgebra, a mesma ideia volta como o eixo de simetria de um gráfico. O OpenStax Elementary Algebra 2e dá o eixo de simetria de y = ax² + bx + c como a reta x = −b ÷ 2a, então o gráfico de y = x² − 6x + 8 se dobra sobre si mesmo em x = 3. O guia de área e perímetro cobre as outras medidas de figuras dos mesmos anos.

Sua lista de verificação de eixos de simetria e próximos passos

• Teste da dobra: dobre uma cópia de papel e confira se cada borda fica em cima do seu par.
• Todas as direções: teste a dobra vertical, a horizontal e as duas diagonais antes de contar.
• Armadilha do retângulo: lembre que o retângulo tem 2 eixos e que as diagonais dele não contam.
• Figuras regulares: um polígono regular de n lados tem n eixos, e o círculo tem infinitos.
• Conte uma vez: trace cada eixo de borda a borda e depois conte os eixos traçados.
• Dois tipos: não misture simetria de reflexão (dobra) com simetria de rotação (giro).

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