O que é razão e como achar razões equivalentes?

Uma razão compara duas quantidades, escrita 2 : 3, “2 para 3” ou 2/3, e quer dizer que para cada 2 da primeira há 3 da segunda. Para achar razões equivalentes, multiplique ou divida os dois termos pelo mesmo número: 2 : 3, 4 : 6, 6 : 9 e 8 : 12 são todas equivalentes. Duas razões são equivalentes quando se simplificam na mesma razão.

O que é razão em matemática?

Em matemática, razão é a comparação de duas quantidades que diz quanto há de uma para cada quantidade da outra. Uma tigela com 2 contas vermelhas para cada 3 contas azuis tem razão de vermelhas para azuis de 2 : 3, que também se escreve “2 para 3” ou 2/3. A ordem dos números segue a ordem das palavras.

Como saber se duas razões são equivalentes?

Duas razões são equivalentes quando se simplificam na mesma razão ou quando o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. Para 4 : 6 e 6 : 9, as duas se simplificam em 2 : 3, e os produtos também batem: 4 × 9 = 36 e 6 × 6 = 36. Para 3 : 4 e 5 : 6, os produtos são 18 e 20, então não formam proporção.

Como simplificar uma razão?

Uma razão se simplifica dividindo os dois termos pelo máximo divisor comum. Para 12 : 18, o MDC é 6, então 12 ÷ 6 = 2 e 18 ÷ 6 = 3, e a forma mais simples é 2 : 3. A razão está totalmente simplificada quando o único número que divide os dois termos é 1.

Qual a diferença entre razão e fração?

Uma razão compara duas quantidades, enquanto uma fração nomeia uma parte de um inteiro. A razão parte com parte de 2 vermelhas para 3 azuis se escreve 2 : 3, mas a fração das contas que são vermelhas é 2/5, porque o todo é 2 + 3 = 5. Uma razão parte com todo, como 2 : 5, carrega a mesma informação que a fração 2/5.

Razão e proporção: como simplificar razões

A receita de panqueca pede 3 xícaras de farinha para 2 xícaras de leite, a lição do 6º ano do seu filho pede razões equivalentes, e o frasco de produto de limpeza diz para diluir 3 : 1. As razões aparecem nas três situações, e todas seguem uma regra só: o que você faz com um termo, faz com o outro. Com essa regra firme, simplificar razões, achar razões equivalentes e ajustar uma receita viram o mesmo movimento.

O que é uma razão?

Uma razão é a comparação de duas quantidades que diz quanto há de uma para cada quantidade da outra. Se uma tigela tem 2 contas vermelhas para cada 3 contas azuis, a razão de vermelhas para azuis é 2 : 3.

A mesma razão tem três grafias comuns: 2 : 3 com dois-pontos, "2 para 3" por extenso e 2/3 como fração. As três querem dizer "para cada 2 do primeiro, há 3 do segundo", e o primeiro número sempre pertence à primeira coisa nomeada.

No Brasil, a BNCC começa a ideia no 5º ano, com a partilha de uma quantidade em duas partes desiguais "com compreensão da ideia de razão entre as partes e delas com o todo" (EF05MA13), retoma no 6º ano com "a razão entre as partes e entre uma das partes e o todo" (EF06MA15) e associa razão e fração no 7º ano (EF07MA09). O padrão 6.RP.A.1 do Common Core pede no 6º ano americano entender o conceito de razão e usar a linguagem de razão, com o exemplo de um viveiro em que a razão de asas para bicos é 2 : 1, porque para cada 2 asas há 1 bico.

Razão parte com parte e parte com o todo

Uma razão parte com parte compara uma parte com outra, e uma razão parte com o todo compara uma parte com o total. Na tigela de contas, vermelhas para azuis é 2 : 3 (parte com parte), enquanto vermelhas para todas as contas é 2 : 5 (parte com o todo), porque 2 + 3 = 5 porções formam o todo.

Essa diferença decide a fração. Com 2 vermelhas para cada 3 azuis, as vermelhas são 2/5 da tigela e as azuis são 3/5, ou seja, 40% e 60%. Ler 2 : 3 como "dois terços vermelhas" é o erro de razão mais comum.

Um diagrama de barras deixa as porções visíveis. Desenhe 2 caixas para as vermelhas e 3 para as azuis; se a tigela tem 10 contas, as 5 caixas repartem 10 igualmente, então cada caixa vale 2, as vermelhas são 2 × 2 = 4 e as azuis são 3 × 2 = 6.

Um diagrama de barras para a razão 2 para 3: duas caixas vermelhas e três caixas azuis ocupando um total de 10, cada caixa valendo 2, então 2 para 3 vira 4 para 6.

Como simplificar razões e achar razões equivalentes, passo a passo

Razões equivalentes descrevem a mesma relação, e você as acha multiplicando ou dividindo os dois termos pelo mesmo número. Simplificar é o sentido da divisão, e ampliar é o sentido da multiplicação.

Escreva a razão na ordem das palavras. "Farinha para leite" é 3 : 2, e "leite para farinha" é 2 : 3.
Confira se os dois termos estão na mesma unidade. Trinta minutos para 2 horas vira 30 : 120 quando os dois estão em minutos.
Ache o MDC dos dois termos. Para 12 : 18, os divisores de 12 são 1, 2, 3, 4, 6 e 12, os de 18 são 1, 2, 3, 6, 9 e 18, e o maior que os dois têm é 6.
Divida os dois termos por esse número para simplificar. 12 ÷ 6 = 2 e 18 ÷ 6 = 3, então 12 : 18 se simplifica em 2 : 3.
Multiplique os dois termos pelo mesmo número para ampliar. 2 : 3 vezes 2 é 4 : 6, vezes 3 é 6 : 9 e vezes 4 é 8 : 12, e todas são equivalentes a 2 : 3.
Confira o resultado. Simplifique a resposta de novo; uma razão equivalente sempre volta à mesma forma mais simples.

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Como saber se duas razões formam uma proporção

Duas razões são equivalentes, ou seja, formam uma proporção, quando se simplificam na mesma razão, e um segundo teste dá o mesmo veredito numa linha: a propriedade fundamental das proporções, o produto dos meios igual ao produto dos extremos. Para a : b e c : d, multiplique a × d e b × c; se os dois produtos baterem, as razões são equivalentes.

Pegue 4 : 6 e 6 : 9. Simplificando, as duas dão 2 : 3, e os produtos concordam: 4 × 9 = 36 e 6 × 6 = 36. Agora pegue 3 : 4 e 5 : 6, em que 3 × 6 = 18 e 4 × 5 = 20, então não são equivalentes, mesmo que cada termo tenha crescido 2.

Multiplicar cruzado é rápido, mas esconde por que funciona. O guia de ensino de frações do What Works Clearinghouse recomenda que o professor desenvolva a compreensão das estratégias para problemas de razão, taxa e proporção antes de apresentar a multiplicação cruzada como procedimento, o que vale também para a regra de três.

Razão, fração ou porcentagem

Uma razão, uma fração e uma porcentagem podem descrever a mesma tigela de contas, mas cada uma responde a uma pergunta diferente. A razão compara as partes, a fração nomeia uma parte do todo, e a porcentagem leva essa fração para a base 100.

Forma	Tigela de contas (2 vermelhas, 3 azuis)	O que compara	Melhor para	Cuidado com
Razão, parte com parte	2 : 3 vermelhas para azuis	Uma parte com outra parte	Receitas, misturas, desenhos em escala	Ler como 2/3 do todo
Razão, parte com o todo	2 : 5 vermelhas para todas	Uma parte com o total	Probabilidade, fatias de um grupo	Esquecer de somar as partes primeiro
Fração	2/5 das contas são vermelhas	Uma parte de um inteiro	Medir, repartir, calcular	Usar os números da razão parte com parte
Porcentagem	40% vermelhas	Uma parte em cada 100	Comparar grupos de tamanhos diferentes	Arredondar antes do último passo

Transformar uma razão em porcentagem

Uma razão parte com parte vira porcentagem em dois movimentos: some as partes para achar o todo, depois divida a parte que você quer por esse todo. Para 2 : 3, o todo é 5 porções, as vermelhas são 2/5, e 2 ÷ 5 = 0,4, que é 40%.

O padrão 6.RP.A.3c do Common Core pede achar a porcentagem de uma quantidade como uma taxa por 100, que é uma razão com o segundo termo fixo em 100. O guia de como calcular porcentagem leva esse passo adiante, e o texto de frações para pais trata do lado parte de um inteiro.

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Tabelas de razões, taxa unitária e como ajustar uma receita

Uma tabela de razões lista razões equivalentes em linhas ou colunas, para você ler qualquer quantidade de que precisar. O 6º ano americano a usa como ferramenta principal: o padrão 6.RP.A.3 cita tabelas de razões equivalentes, diagramas de barras, retas numéricas duplas e equações como formas de resolver problemas de razão.

Comece a tabela com a razão original e depois multiplique os dois termos por 2, 3 e 4. Para 2 : 3, isso dá 4 : 6, 6 : 9 e 8 : 12, e toda coluna continua dando 2/3.

Uma tabela de razões com as colunas 2 para 3, 4 para 6, 6 para 9 e 8 para 12, com setas marcadas vezes 2, vezes 3 e vezes 4 a partir da primeira coluna, e cada coluna escrita como uma fração igual a dois terços.

A taxa unitária é a razão reduzida a uma unidade da segunda quantidade. Se 4 cadernos custam R$ 6, a taxa unitária é R$ 6 ÷ 4 = R$ 1,50 por caderno, e 10 cadernos custam 10 × R$ 1,50 = R$ 15. Os padrões americanos usam um exemplo de gramados: 4 gramados em 7 horas quer dizer que 35 horas, que é 5 × 7, cortam 5 × 4 = 20 gramados.

Como ajustar uma receita

Ajustar uma receita é achar o multiplicador da receita antiga para a nova e aplicá-lo a todo ingrediente. Uma receita com 3 xícaras de farinha para 2 xícaras de leite rende 12 panquecas; para 18 panquecas, o multiplicador é 18 ÷ 12 = 1,5.

A farinha vira 3 × 1,5 = 4,5 xícaras e o leite vira 2 × 1,5 = 3 xícaras, então a nova receita é 4,5 : 3. Essa razão se simplifica de volta em 3 : 2, o que confirma que a massa vai ter o mesmo gosto.

O mesmo movimento mistura tinta. Para um verde feito de 2 partes de amarelo para 1 parte de azul, uma lata de 9 litros tem 2 + 1 = 3 partes, cada parte é 9 ÷ 3 = 3 litros, e você precisa de 6 litros de amarelo e 3 litros de azul. O guia de números decimais para pais ajuda quando aparece um multiplicador como 1,5 ou 0,75.

Como saber se a razão foi entendida

Cinco testes rápidos mostram se uma criança ou um adulto entende razões.

A linguagem da razão: Pergunte o que 3 : 1 quer dizer num suco misturado na razão 3 : 1 de suco para água. "Três copos de suco para cada copo de água" é a resposta a ouvir.
Forma mais simples: Dê 15 : 25. A resposta é 3 : 5, dividindo os dois termos por 5.
Uma razão equivalente: Peça uma razão equivalente a 2 : 3 com 12 no primeiro termo. A resposta é 12 : 18, porque 12 ÷ 2 = 6 e 3 × 6 = 18.
Uma pergunta parte com o todo: Numa turma com 12 meninos e 15 meninas, pergunte que fração são meninas. A resposta é 15/27, que se simplifica em 5/9.
Uma taxa: Pergunte quanto custam 7 itens a 4 por R$ 6. A resposta é R$ 10,50, pela taxa unitária de R$ 1,50.

Um teste de cinco minutos

Um teste de cinco minutos com três perguntas misturadas (simplificar, equivalência, receita) mostra mais do que uma folha longa de um tipo só, desde que você peça o raciocínio.

O currículo nacional da Inglaterra espera as mesmas habilidades numa idade parecida. Os programas de estudo de matemática pedem no Year 6 resolver problemas sobre os tamanhos relativos de 2 quantidades, e o key stage 3 acrescenta a notação de razão, incluindo a simplificação até a forma mais simples.

A tabuada sustenta cada um desses testes, e a folha de multiplicação para o 6º ano traz treino para imprimir, com gabarito.

Erros comuns com razões e casos especiais

Quatro erros causam a maioria das respostas erradas em problemas de razão, e cada um tem um conserto de uma linha.

Somar em vez de multiplicar: Transformar 2 : 3 em 4 : 5 somando 2 a cada termo muda a mistura, porque 2/3 é cerca de 0,67 e 4/5 é 0,8. Multiplique os dois termos pelo mesmo número: 2 : 3 vira 4 : 6.
Trocar a ordem: Meninos para meninas 12 : 15 se simplifica em 4 : 5, e meninas para meninos é 5 : 4. Leia a pergunta de novo e escreva primeiro a quantidade nomeada primeiro.
Ler parte com parte como parte com o todo: Uma mistura 2 : 3 de vermelho para azul tem 2/5 de vermelho, e chamar de 2/3 exagera a parte vermelha. Some as partes para achar o todo antes de escrever uma fração.
Misturar unidades: 30 minutos para 2 horas é 30 : 120 = 1 : 4, e escrever 30 : 2 faz os minutos parecerem maiores que as horas. Passe os dois termos para a mesma unidade antes de simplificar.

Caso especial: rótulos de diluição e escalas de mapa

Um rótulo que diz "diluir 3 : 1" usa a linguagem da razão, então leia qual parte vem primeiro antes de despejar. Se o rótulo quer dizer 3 partes de água para 1 parte de concentrado, um balde de 2 litros tem 3 + 1 = 4 partes, cada parte é 2.000 ÷ 4 = 500 ml, e você junta 1.500 ml de água a 500 ml de concentrado, o que faz do concentrado 25% da mistura.

A escala de um mapa é uma razão com os dois termos na mesma unidade. Num mapa de escala 1 : 25.000, 4 cm no papel representam 4 × 25.000 = 100.000 cm no terreno, que é 1 km.

Sua lista de conferência de razões e os próximos passos

Ordem: escreva a razão na ordem das palavras.
Unidades: ponha os dois termos na mesma unidade primeiro.
Simplificar: divida os dois termos pelo MDC.
Ampliar: multiplique ou divida os dois termos pelo mesmo número, nunca some.
Conferir: simplifique as duas razões, ou compare o produto dos meios com o dos extremos.
Todo: some as partes antes de transformar uma razão em fração ou porcentagem.

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