Fração imprópria e número misto: o que são e como transformar um no outro

A receita pede 2 1/2 xícaras de farinha, e a única medida limpa na gaveta é a de 1/2 xícara. Seu filho conta as medidas: 1, 2, 3, 4, 5. Cinco meias xícaras são 5/2, e 5/2 é a mesma quantidade que 2 1/2, que é toda a ideia de fração imprópria e número misto numa contagem de medidas.

O que são fração imprópria e número misto?

A fração imprópria e o número misto são dois jeitos de escrever uma quantidade igual ou maior que 1. A fração imprópria 7/4 conta sete quartos; o número misto 1 3/4 diz a mesma coisa como um inteiro e três quartos de sobra.

Uma fração é própria quando o numerador é menor que o denominador, como 3/4, e imprópria quando o numerador é igual ou maior. O OpenStax Prealgebra define exatamente assim: a fração a/b é própria se a < b e imprópria se a ≥ b. O mesmo capítulo diz que um número misto é formado por um número inteiro e uma fração.

Os números inteiros cabem no mesmo desenho. Todo número inteiro pode ser escrito sobre 1, então 3 = 3/1, e uma fração imprópria cujo numerador é múltiplo do denominador é um número inteiro disfarçado: 8/4 = 2, porque oito quartos completam dois inteiros.

Por que a escola ensina as duas formas

A escola ensina as duas formas porque cada uma facilita um trabalho diferente. O número misto mostra o tamanho da quantidade numa olhada (1 3/4 fica entre 1 e 2), e a fração imprópria é mais fácil de multiplicar e dividir.

No Brasil, a BNCC pede no 5º ano "identificar e representar frações (menores e maiores que a unidade), associando-as ao resultado de uma divisão ou à ideia de parte de um todo, utilizando a reta numérica como recurso" (EF05MA03), e no 6º ano "compreender, comparar e ordenar frações" (EF06MA07). Nos Estados Unidos, os padrões do Common Core começam no 4º ano, com o exemplo 2 1/8 = 1 + 1 + 1/8 = 8/8 + 8/8 + 1/8 (4.NF.B.3b), e na Inglaterra o currículo nacional pede no Year 5 reconhecer números mistos e frações impróprias e passar de uma forma para a outra.

Como transformar fração imprópria em número misto, passo a passo

Transformar uma fração imprópria em número misto é uma divisão com resto. O traço da fração já quer dizer "dividido por", que é como o padrão 5.NF.B.3 do Common Core diz: interpretar a fração como a divisão do numerador pelo denominador (a/b = a ÷ b). Veja 17/5.

1. Divida o numerador pelo denominador. 17 ÷ 5 = 3 com resto 2, porque 3 × 5 = 15 e 17 − 15 = 2.
2. Escreva o quociente como parte inteira. O quociente é 3, então o número misto começa com 3.
3. Escreva o resto como novo numerador. O resto 2 vira o numerador da parte fracionária.
4. Mantenha o mesmo denominador. Os pedaços continuam sendo quintos, então o denominador fica 5, e 17/5 = 3 2/5.
5. Simplifique a parte fracionária. Para 22/6, 22 ÷ 6 = 3 com resto 4, o que dá 3 4/6, e 4/6 dividido por 2 dá 3 2/3.

A divisão do passo 1 é a mesma que a criança encontra na divisão com chave, em que o resto é a parte que não completa mais um grupo. Saber a tabuada da divisão deixa toda transformação mais rápida.

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O erro mais comum: mudar o denominador

O denominador nunca muda numa transformação, e mudá-lo é o erro mais comum. A criança que divide 17 por 5 às vezes escreve 3 2/3, pondo o quociente embaixo, ou 3 2/17, pondo ali o numerador antigo.

Pergunte qual é o tamanho dos pedaços. Dezessete quintos são quintos antes da transformação e quintos depois dela; juntar cinco deles em cada inteiro deixa todo pedaço como um quinto. Dizer as unidades em voz alta ("dezessete quintos são três inteiros e dois quintos") pega o deslize.

Como transformar número misto em fração imprópria

Transformar um número misto em fração imprópria faz a divisão de trás para frente: multiplique o inteiro pelo denominador, some o numerador e mantenha o denominador. Em 3 2/5, os três inteiros têm 3 × 5 = 15 quintos, mais 2 quintos dão 17 quintos, então 3 2/5 = (3 × 5 + 2)/5 = 17/5.

A farinha do começo funciona do mesmo jeito. Em 2 1/2 xícaras, as duas xícaras inteiras têm 2 × 2 = 4 meias xícaras, mais 1 meia xícara dá 5/2, que são cinco medidas de 1/2 xícara. O OpenStax lista os mesmos três movimentos: multiplicar o inteiro pelo denominador, somar o numerador ao produto e escrever a soma sobre o denominador original.

Por que transformar antes facilita a conta

Transformar o número misto em fração imprópria antes deixa a multiplicação segura, porque a parte inteira e a parte fracionária andam juntas. Multiplicar 2 1/2 × 2 parte por parte tenta a criança a esquecer a metade; 5/2 × 2 = 10/2 = 5 não deixa nada para esquecer. O guia de como multiplicar frações mostra o método completo com números mistos, e o guia de como subtrair frações mostra quando emprestar um inteiro de um número misto.

Dicas da mesa da cozinha para fração imprópria e número misto

Objetos da cozinha deixam a fração imprópria e o número misto visíveis, porque a criança conta os pedaços e vê os inteiros se formando. Dez minutos com comida e um lápis valem mais que uma página de exercícios.

• Fatias de pizza: Corte duas pizzas em quartos e separe 7 fatias. Pergunte quantos quartos são (7/4), depois quantas pizzas inteiras dá para montar (1) e quantas fatias sobram (3).
• Xícaras medidoras: Encha uma tigela com 2 1/2 xícaras de arroz usando só a medida de 1/2 xícara e conte as medidas. Repita com a de 1/3 para 1 2/3 xícara, que leva 5 medidas, então 1 2/3 = 5/3.
• Uma reta numérica: Desenhe uma reta de 0 a 4 e marque cada quinto. Conte 17 quintos a partir do 0 e veja onde você para: 2 marcas depois do 3, então 17/5 = 3 2/5.

Diga as unidades em voz alta

Dizer o nome da unidade segura o denominador no lugar. "Nove meios são quatro inteiros e um meio" é mais fácil de acertar que "nove sobre dois é quatro e um sobre dois", e a versão falada mostra por que o número de baixo não pode mudar. O guia de frações explicadas para pais usa a mesma linguagem de contagem para numeradores e denominadores.

Como acompanhar o progresso com fração imprópria e número misto

Cinco perguntas curtas mostram se a fração imprópria e o número misto fizeram sentido. Peça que a criança diga cada passo, porque uma resposta certa por chute esconde uma lacuna.

• Transformação básica: Escreva 11/4 como número misto. A resposta é 2 3/4, porque 11 ÷ 4 = 2 com resto 3.
• De volta: Escreva 4 1/3 como fração imprópria. A resposta é 13/3, porque 4 × 3 + 1 = 13.
• Precisa simplificar: Escreva 14/4 como número misto. A resposta é 3 2/4, que se simplifica em 3 1/2.
• Comparar: Pergunte qual é maior, 9/4 ou 2 1/2. A fração 9/4 é 2 1/4, então 2 1/2 é maior.
• Localizar: Pergunte entre quais dois números inteiros fica 23/5. A fração 23/5 = 4 3/5, então fica entre 4 e 5.

Um teste de ida e volta

Um teste de ida e volta transforma a mesma quantidade nos dois sentidos numa página só: passe 19/6 para número misto (3 1/6) e depois volte a resposta. Se a volta dá 19/6, o método está firme. Repita toda semana com números novos e avance depois de duas semanas sem erro.

A página do jogo de matemática para o 4º ano reúne prática para a fase em que essa habilidade começa a ser preparada.

Erros comuns e casos especiais

Quatro erros causam a maioria das respostas erradas com fração imprópria e número misto.

• Mudar o denominador: Escrever 17/5 como 3 2/3 troca quintos por terços. Mantenha o denominador original.
• Somar em vez de multiplicar: Transformar 3 2/5 em (3 + 2)/5 = 5/5 conta cada inteiro como um quinto só. Multiplique primeiro: 3 × 5 + 2 = 17, então a resposta é 17/5.
• Esquecer de simplificar: Deixar 22/6 como 3 4/6 está certo, mas incompleto quando o enunciado pede a forma irredutível; 3 2/3 é a resposta esperada. O guia de como simplificar frações trata da parte fracionária.
• Perder o resto: Escrever 17/5 como 3 perde dois quintos. O resto é a parte fracionária, então precisa aparecer.

Casos especiais que valem um minuto

Os casos especiais aparecem quando o resto é 0 ou o número é negativo. Uma fração imprópria com resto 0 é um número inteiro: 12 ÷ 4 = 3 com resto 0, então 12/4 = 3, e ninguém escreve 3 0/4. É a fração que muitos livros brasileiros chamam de aparente.

Um número misto negativo põe o sinal de menos na frente da quantidade inteira. O número −1 1/2 quer dizer −(1 + 1/2), que é −3/2, e não −1 + 1/2, que daria −1/2. Transforme a parte positiva, 1 1/2 = 3/2, e devolva o sinal.

Sua lista de verificação e próximos passos com número misto

• Reconheça: uma fração é imprópria quando o numerador é igual ou maior que o denominador.
• Para número misto: divida; o quociente é a parte inteira e o resto é o novo numerador.
• Para fração imprópria: multiplique o inteiro pelo denominador e some o numerador.
• Mesmo denominador: o tamanho dos pedaços nunca muda, em nenhum sentido.
• Termine: simplifique a parte fracionária e leia no enunciado qual forma ele pede.

A divisão com resto carrega cada um desses passos, então uma prática diária curta compensa. O MathIt é um app gratuito para iOS e Android com cerca de 90 tipos de jogos, dificuldade adaptativa e prática diária em 33 idiomas, além de batalhas em tempo real de 2 a 5 jogadores para a família. Vinte e dois dos jogos rodam de graça no navegador sem cadastro, e 30 folhas de exercícios para imprimir vêm com gabarito.