Wat is een verhouding en hoe vind je gelijke verhoudingen?

Een verhouding vergelijkt twee hoeveelheden, geschreven als 2 : 3, "2 op 3" of 2/3, en betekent dat er bij elke 2 van het eerste 3 van het tweede horen. Gelijke verhoudingen vind je door beide delen met hetzelfde getal te vermenigvuldigen of erdoor te delen: 2 : 3, 4 : 6, 6 : 9 en 8 : 12 zijn allemaal gelijk. Gelijke verhoudingen vereenvoudigen tot dezelfde vorm.

Wat is een verhouding bij rekenen?

Een verhouding bij rekenen is een vergelijking van twee hoeveelheden die zegt hoeveel er van het ene is bij elke hoeveelheid van het andere. Een kom met 2 rode kralen op elke 3 blauwe heeft een verhouding rood tot blauw van 2 : 3, ook te schrijven als "2 op 3" of 2/3. De volgorde van de getallen volgt de volgorde van de woorden.

Hoe weet je of twee verhoudingen gelijk zijn?

Twee verhoudingen zijn gelijk als ze tot dezelfde verhouding vereenvoudigen of als hun kruislingse producten gelijk zijn. Bij 4 : 6 en 6 : 9 vereenvoudigen beide tot 2 : 3, en de kruislingse producten kloppen ook: 4 × 9 = 36 en 6 × 6 = 36. Bij 3 : 4 en 5 : 6 zijn de producten 18 en 20, dus die verhoudingen zijn niet gelijk.

Hoe vereenvoudig je een verhouding?

Je vereenvoudigt een verhouding door beide delen te delen door hun grootste gemene deler. Bij 12 : 18 is de grootste gemene deler 6, dus 12 gedeeld door 6 is 2 en 18 gedeeld door 6 is 3, en de eenvoudigste vorm is 2 : 3. Een verhouding is helemaal vereenvoudigd als 1 het enige getal is dat in beide delen past.

Wat is het verschil tussen een verhouding en een breuk?

Een verhouding vergelijkt twee hoeveelheden, terwijl een breuk een deel van één geheel noemt. Een verhouding deel tot deel van 2 rood op 3 blauw schrijf je als 2 : 3, maar het deel van de kralen dat rood is, is 2/5, want het geheel is 2 + 3 = 5. Een verhouding deel tot geheel zoals 2 : 5 draagt dezelfde informatie als de breuk 2/5.

Verhoudingen uitgelegd, met de verhoudingstabel

Een pannenkoekenrecept vraagt om 3 maatbekers bloem op 2 maatbekers melk, het huiswerk van je kind in groep 8 vraagt om gelijke verhoudingen, en op de fles schoonmaakmiddel staat "verdunnen 3 : 1". In alle drie zitten verhoudingen, en ze draaien op één regel: wat je met het ene deel doet, doe je ook met het andere. Zodra die regel vastzit, zijn verhoudingen vereenvoudigen, gelijke verhoudingen vinden en een recept omrekenen allemaal dezelfde beweging.

Wat is een verhouding?

Een verhouding is een vergelijking van twee hoeveelheden die zegt hoeveel er van het ene is bij elke hoeveelheid van het andere. Zitten er in een kom 2 rode kralen op elke 3 blauwe, dan is de verhouding rood tot blauw 2 : 3.

Dezelfde verhouding heeft drie gangbare schrijfwijzen: 2 : 3 met een dubbele punt, "2 op 3" in woorden, en 2/3 als breuk. Alle drie betekenen "bij elke 2 van het eerste horen 3 van het tweede", en het eerste getal hoort altijd bij het eerstgenoemde.

In Nederland lopen verhoudingen door de hele basisschool. De uitwerking van kerndoel 26 bij SLO begint in groep 3 en 4 met "verhoudingen in recepten" en "tafels van vermenigvuldiging als verhoudingstabel", noemt in groep 5 en 6 "verhoudingen en verhoudingentaal (1 op 5)" en "gebruik van de verhoudingstabel", en vraagt in groep 7 en 8 om "verhoudingen vergelijken" en "omzetten van verhoudingen in breuken en percentages en andersom". Standaard 6.RP.A.1 van de Amerikaanse Common Core vraagt in het zesde schooljaar, ruwweg groep 8, om "het begrip verhouding te begrijpen en verhoudingentaal te gebruiken". Het eigen voorbeeld is een vogelhuisje met een verhouding vleugels tot snavels van 2 : 1, "want bij elke 2 vleugels hoorde 1 snavel".

Verhoudingen deel tot deel en deel tot geheel

Een verhouding deel tot deel vergelijkt het ene deel met het andere, en een verhouding deel tot geheel vergelijkt één deel met het totaal. In de kralenkom is rood tot blauw 2 : 3 (deel tot deel), terwijl rood tot alle kralen 2 : 5 is (deel tot geheel), want 2 + 3 = 5 porties vormen het geheel.

Dat verschil bepaalt de breuk. Met 2 rode op elke 3 blauwe zijn de rode kralen 2/5 van de kom en de blauwe 3/5, en dat is 40% en 60%. 2 : 3 lezen als "twee derde rood" is de meest gemaakte fout met verhoudingen.

Een strookmodel maakt de porties zichtbaar. Teken 2 vakjes voor rood en 3 voor blauw; zitten er 10 kralen in de kom, dan delen de 5 vakjes de 10 eerlijk, dus elk vakje is 2 waard, rood is 2 × 2 = 4 en blauw is 3 × 2 = 6.

Een strookmodel voor de verhouding 2 op 3: twee rode vakjes en drie blauwe vakjes die samen 10 beslaan, elk vakje 2 waard, zodat 2 op 3 wordt 4 op 6.

Hoe je verhoudingen vereenvoudigt en gelijke verhoudingen vindt, stap voor stap

Gelijke verhoudingen zijn verhoudingen die dezelfde relatie beschrijven, en je vindt ze door beide delen met hetzelfde getal te vermenigvuldigen of erdoor te delen. Vereenvoudigen is de deelrichting, en opschalen is de vermenigvuldigrichting.

Schrijf de verhouding in de volgorde van de woorden. "Bloem tot melk" is 3 : 2, en "melk tot bloem" is 2 : 3.
Controleer of beide delen dezelfde eenheid hebben. Dertig minuten tot 2 uur wordt 30 : 120 zodra beide in minuten staan.
Zoek de grootste gemene deler van de twee delen. Bij 12 : 18 zijn de delers van 12 gelijk aan 1, 2, 3, 4, 6 en 12, de delers van 18 zijn 1, 2, 3, 6, 9 en 18, en de grootste die ze delen is 6.
Deel beide delen door die deler om te vereenvoudigen. 12 gedeeld door 6 is 2 en 18 gedeeld door 6 is 3, dus 12 : 18 vereenvoudigt tot 2 : 3.
Vermenigvuldig beide delen met hetzelfde getal om op te schalen. 2 : 3 keer 2 is 4 : 6, keer 3 is 6 : 9 en keer 4 is 8 : 12, en elk daarvan is gelijk aan 2 : 3.
Controleer de uitkomst. Vereenvoudig je antwoord nog eens; een gelijke verhouding komt altijd uit op dezelfde eenvoudigste vorm.

Gratis spelen in je browserVeelvouden-raceGroep 5–7

Hoe je nagaat of verhoudingen gelijk zijn

Twee verhoudingen zijn gelijk als ze tot dezelfde verhouding vereenvoudigen, en een tweede test, kruislings vermenigvuldigen, geeft hetzelfde oordeel in één regel. Bij a : b en c : d vermenigvuldig je a × d en b × c; zijn de twee producten gelijk, dan zijn de verhoudingen gelijk.

Neem 4 : 6 en 6 : 9. Vereenvoudigen geeft twee keer 2 : 3, en de kruislingse producten kloppen: 4 × 9 = 36 en 6 × 6 = 36. Neem nu 3 : 4 en 5 : 6, waar 3 × 6 = 18 en 4 × 5 = 20, dus die zijn niet gelijk, ook al groeide elk deel met 2.

Kruislings vermenigvuldigen is snel, maar het verstopt waarom het werkt. De praktijkgids over breukenonderwijs van de What Works Clearinghouse raadt leerkrachten aan "het begrip van leerlingen van strategieën voor verhoudings-, snelheids- en evenredigheidsproblemen te ontwikkelen voordat ze kruislings vermenigvuldigen als procedure aangereikt krijgen". Nederlandse methodes doen precies dat met de verhoudingstabel.

Verhouding, breuk of procent

Een verhouding, een breuk en een procent kunnen dezelfde kralenkom beschrijven, maar elk beantwoordt een andere vraag. De verhouding vergelijkt de delen, de breuk noemt één deel van het geheel, en het procent schaalt die breuk naar 100.

Vorm	Kralenkom (2 rood, 3 blauw)	Wat het vergelijkt	Het best voor	Let op
Verhouding, deel tot deel	2 : 3 rood tot blauw	Eén deel met een ander deel	Recepten, mengsels, schaaltekeningen	Het lezen als 2/3 van het geheel
Verhouding, deel tot geheel	2 : 5 rood tot alles	Eén deel met het totaal	Kansen, aandelen in een groep	Vergeten eerst de delen op te tellen
Breuk	2/5 van de kralen is rood	Eén deel van één geheel	Meten, verdelen, rekenen	De getallen van deel tot deel gebruiken
Procent	40% rood	Een deel per 100	Groepen van verschillende grootte vergelijken	Afronden vóór de laatste stap

Een verhouding omzetten in een procent

Een verhouding deel tot deel wordt in twee bewegingen een procent: tel de delen op om het geheel te krijgen, en deel daarna het deel dat je wilt door dat geheel. Bij 2 : 3 is het geheel 5 porties, rood is 2/5, en 2 gedeeld door 5 is 0,4, dus 40%.

Standaard 6.RP.A.3c vraagt leerlingen "een procent van een hoeveelheid te vinden als een aantal per 100", en dat is een verhouding met het tweede deel vast op 100. De gids over procenten berekenen zet die stap verder, en de uitleg over breuken voor ouders behandelt de kant van het deel van een geheel.

Gratis spelen in je browserProcentenGroep 7+

De verhoudingstabel, prijs per stuk en een recept omrekenen

Een verhoudingstabel zet gelijke verhoudingen in rijen of kolommen, zodat je elke hoeveelheid die je nodig hebt kunt aflezen. In Nederland is dit hét gereedschap vanaf groep 5, en in de Amerikaanse groep 8 ook: standaard 6.RP.A.3 noemt "tabellen van gelijke verhoudingen, strookmodellen, dubbele getallenlijnen of vergelijkingen" als manieren om verhoudingsproblemen op te lossen.

Begin de tabel met de oorspronkelijke verhouding en vermenigvuldig beide delen met 2, 3 en 4. Bij 2 : 3 geeft dat 4 : 6, 6 : 9 en 8 : 12, en elke kolom deelt nog steeds tot 2/3.

Een verhoudingstabel met de kolommen 2 op 3, 4 op 6, 6 op 9 en 8 op 12, met pijlen keer 2, keer 3 en keer 4 vanaf de eerste kolom, en elke kolom geschreven als een breuk gelijk aan twee derde.

Een prijs per stuk is de verhouding teruggebracht tot één van de tweede hoeveelheid. Kosten 4 schriften €6, dan is de prijs per stuk €6 : 4 = €1,50 per schrift, en 10 schriften kosten 10 × €1,50 = €15. De standaarden gebruiken een voorbeeld met gazons: 4 gazons in 7 uur betekent dat 35 uur, en dat is 5 × 7, goed is voor 5 × 4 = 20 gazons.

Een recept omrekenen

Een recept omrekenen betekent de factor vinden van de oude hoeveelheid naar de nieuwe en die op elk ingrediënt toepassen. Een recept met 3 maatbekers bloem op 2 maatbekers melk levert 12 pannenkoeken; voor 18 pannenkoeken is de factor 18 : 12 = 1,5.

Bloem wordt 3 × 1,5 = 4,5 maatbekers en melk wordt 2 × 1,5 = 3 maatbekers, dus de nieuwe hoeveelheid is 4,5 : 3. Die verhouding vereenvoudigt terug tot 3 : 2, en dat bevestigt dat het beslag hetzelfde smaakt. In een verhoudingstabel zet je het in drie kolommen: 12 pannenkoeken, 6 pannenkoeken (de helft), 18 pannenkoeken (samen).

Dezelfde beweging mengt verf. Voor een groen van 2 delen geel op 1 deel blauw heeft een emmer van 9 liter 2 + 1 = 3 delen, elk deel is 9 : 3 = 3 liter, en je hebt 6 liter geel en 3 liter blauw nodig. De gids over kommagetallen voor ouders helpt als er een factor als 1,5 of 0,75 opduikt.

Hoe je nagaat of verhoudingen zijn ingedaald

Vijf korte controles laten zien of een kind of een volwassene verhoudingen begrijpt.

Verhoudingentaal: Vraag wat 3 : 1 betekent bij een mengsel van ranja en water in de verhouding 3 : 1. "Drie bekers ranja op elke beker water" is het antwoord waar je naar luistert.
Eenvoudigste vorm: Geef 15 : 25. Het antwoord is 3 : 5, gevonden door beide delen door 5 te delen.
Een gelijke verhouding: Vraag om een verhouding gelijk aan 2 : 3 met 12 als eerste deel. Het antwoord is 12 : 18, want 12 gedeeld door 2 is 6 en 3 × 6 = 18.
Een vraag deel tot geheel: Met 12 jongens en 15 meisjes in een klas vraag je welk deel meisje is. Het antwoord is 15/27, en dat vereenvoudigt tot 5/9.
Een prijs per stuk: Vraag wat 7 artikelen kosten als 4 stuks €6 kosten. Het antwoord is €10,50, via een prijs per stuk van €1,50.

Een toets van vijf minuten

Een toets van vijf minuten met drie gemengde vragen (vereenvoudigen, gelijkheid, recept) laat meer zien dan een lang werkblad van één soort, zolang je om de uitwerking vraagt.

Het nationale curriculum van Engeland verwacht dezelfde vaardigheden op een vergelijkbare leeftijd. De leerplannen wiskunde vragen leerlingen in Year 6, ongeveer groep 8, om "problemen op te lossen over de relatieve grootte van 2 hoeveelheden", en de eerste jaren van het voortgezet onderwijs voegen "verhoudingsnotatie gebruiken, inclusief vereenvoudigen tot de eenvoudigste vorm" toe.

De tafels dragen elk van deze controles, en het werkblad vermenigvuldigen voor groep 8 geeft printbare oefening met een antwoordblad.

Veelgemaakte fouten met verhoudingen en de randgevallen

Vier fouten veroorzaken de meeste foute antwoorden bij verhoudingsopgaven, en elk heeft een oplossing van één regel.

Optellen in plaats van vermenigvuldigen: Van 2 : 3 een 4 : 5 maken door bij elk deel 2 op te tellen, verandert het mengsel, want 2/3 is ongeveer 0,67 en 4/5 is 0,8. Vermenigvuldig beide delen met hetzelfde getal: 2 : 3 wordt 4 : 6.
De volgorde omdraaien: Jongens tot meisjes 12 : 15 vereenvoudigt tot 4 : 5, en meisjes tot jongens is 5 : 4. Lees de vraag nog eens en schrijf de eerstgenoemde hoeveelheid eerst.
Deel tot deel lezen als deel tot geheel: Een mengsel van 2 : 3 rood tot blauw is 2/5 rood, en het 2/3 rood noemen overschat het rode deel. Tel de delen op om het geheel te vinden voordat je een breuk opschrijft.
Eenheden door elkaar: 30 minuten tot 2 uur is 30 : 120 = 1 : 4, en 30 : 2 schrijven laat de minuten groter lijken dan de uren. Zet beide delen in dezelfde eenheid voordat je vereenvoudigt.

Randgeval: verdunningsetiketten en kaartschalen

Een etiket met "verdunnen 3 : 1" gebruikt verhoudingentaal, dus lees welk deel eerst komt voordat je schenkt. Bedoelt het etiket 3 delen water op 1 deel concentraat, dan heeft een emmer van 2 liter 3 + 1 = 4 delen, elk deel is 2.000 : 4 = 500 ml, en je doet 1.500 ml water bij 500 ml concentraat, zodat het concentraat 25% van het mengsel is.

Een kaartschaal is een verhouding met beide delen in dezelfde eenheid. Op een kaart van 1 : 25.000 staat 4 cm op papier voor 4 × 25.000 = 100.000 cm in het echt, en dat is 1 km.

Je checklist voor verhoudingen en de volgende stappen

Volgorde: schrijf de verhouding in de volgorde van de woorden.
Eenheden: zet eerst beide delen in dezelfde eenheid.
Vereenvoudigen: deel beide delen door de grootste gemene deler.
Opschalen: vermenigvuldig of deel beide delen door hetzelfde getal, tel nooit op.
Controleren: vereenvoudig beide verhoudingen, of vergelijk de kruislingse producten.
Geheel: tel de delen op voordat je een verhouding omzet in een breuk of een procent.

Volwassenen die hun getalgevoel weer opbouwen, kunnen beginnen met de gids over als volwassene beter worden in rekenen of het rekenspel voor vlot rekenen voor volwassenen. Ouders van kinderen in groep 8 vinden oefening op niveau op de pagina met het rekenspel voor groep 8.

MathIt is een gratis app voor iOS en Android met ongeveer 90 speltypen, een moeilijkheid die pas omhooggaat als de makkelijkere sommen goed gaan, en dagelijkse oefening in 33 talen. Tweeëntwintig van de spellen spelen gratis in de browser, zonder account.

Oefen het in de MathIt-app

Ongeveer 90 soorten rekenspellen met meegroeiende moeilijkheid, dagelijkse oefening en duels met 2 tot 5 spelers — gratis voor iOS en Android.

Verhoudingen uitgelegd: wat een verhouding is en hoe je gelijke verhoudingen vindt

In het kort