Compter par bonds : l'habitude de comptage qui mène à la multiplication

Votre enfant de CE1 aligne les chaussures près de la porte en les comptant à voix haute : « deux, quatre, six, huit ». C'est compter par bonds, et la fiche d'exercices avec le tableau de 100 et ses cases coloriées travaille la même compétence sur papier. Compter de 2 en 2, de 5 en 5 et de 10 en 10 est le premier pas vers les tables de multiplication, et quelques objets de la maison suffisent pour s'entraîner.

Que veut dire compter de 2 en 2 ?

Compter de 2 en 2, c'est compter par bonds égaux au lieu de compter un nombre à la fois. De 2 en 2, on dit 2, 4, 6, 8 ; de 5 en 5, on dit 5, 10, 15, 20 ; de 10 en 10, on dit 10, 20, 30, 40. La taille du bond reste la même, et seuls le point de départ et le sens peuvent changer.

En France, ce comptage commence dès le CP. Le programme de mathématiques du cycle 2 précise qu'au CP « l'élève sait compter, à l'oral et à l'écrit, de un en un, de deux en deux et de dix en dix en partant de n'importe quel nombre », jusqu'à cent. Aux États-Unis, le Common Core demande en maternelle de compter jusqu'à 100 de un en un et de dix en dix (K.CC.A.1), puis en grade 2, l'équivalent du CE1, de compter jusqu'à 1 000 de 5 en 5, de 10 en 10 et de 100 en 100 (2.NBT.A.2). Le comptage de 2 en 2 y apparaît la même année, pour dire si une collection est paire ou impaire « en appariant les objets ou en les comptant de 2 en 2 » (2.OA.C.3).

Le programme national anglais de mathématiques monte la même échelle un peu plus vite. La Year 1 compte en multiples de deux, de cinq et de dix, la Year 2 ajoute les bonds de 3, la Year 3 ajoute 4, 8, 50 et 100, et la Year 4 ajoute 6, 7, 9, 25 et 1 000.

Compter par bonds sur le tableau de 100

Le tableau des nombres de 1 à 100 transforme le comptage par bonds en image, car chaque comptage dessine son propre motif. Coloriez chaque nombre prononcé en comptant de 3 en 3 et des bandes en diagonale apparaissent, qui descendent vers la gauche : 3, 12, 21 forment une bande, et 30, 39, 48 commencent la suivante.

Les autres comptages dessinent des formes plus simples. Les bonds de 10 remplissent la dernière colonne, ceux de 5 remplissent deux colonnes terminées par 5 et 0, et ceux de 2 remplissent une colonne sur deux. Les bonds de 9 descendent une diagonale de 9 à 81, puis 90 et 99 terminent le comptage.

Comment apprendre à compter par bonds à la maison, étape par étape

Le comptage par bonds s'installe le plus vite quand votre enfant touche un objet à chaque nombre prononcé. Des chaussettes, des pièces ou des perles font l'affaire, et cinq minutes à la table de la cuisine suffisent pour une séance.

1. Commencez par des paires de chaussettes. Triez un panier de linge par paires et touchez une paire à chaque nombre : 2, 4, 6, 8. Six paires font 12 chaussettes, et votre enfant peut vérifier en comptant chaque chaussette une par une.
2. Passez aux mains et aux pièces de 5 centimes pour les bonds de 5. Posez les mains à plat sur la table et comptez les doigts de 5 en 5 : 5, 10, 15, 20. Remplacez ensuite les mains par des pièces de 5 centimes : quatre pièces font 20 centimes.
3. Utilisez des pièces de 10 centimes ou des fagots pour les bonds de 10. Les pièces de 10 centimes se comptent 10, 20, 30, tout comme des fagots de dix pailles tenus par un élastique. Le programme du cycle 2 travaille justement la monnaie avec des pièces de 1 € et des billets de 10 €.
4. Dites le comptage sans les objets. Quand le comptage est sûr avec les objets sur la table, faites-le avec les objets cachés. Un enfant qui bloque toujours sur le même nombre a besoin d'une semaine de plus avec les objets.
5. Coloriez le comptage sur un tableau de 100. Coloriez les bonds de 2, puis ceux de 5 sur un tableau neuf, et demandez quel motif apparaît. Chercher les colonnes donne une raison de regarder les nombres au lieu de les réciter.
6. Partez d'un autre nombre que zéro. Comptez de 10 en 10 à partir de 7 : 7, 17, 27, 37, 47. Le chiffre des unités reste 7, et c'est une leçon de numération déguisée.
7. Comptez à rebours. Descendez de 5 en 5 de 50 à 0, ou de 10 en 10 de 93 à 3. Le comptage à rebours prépare la soustraction par bonds égaux, puis la division.

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L'étape que la plupart des parents expédient

L'étape 4 est celle qu'on expédie, et l'expédier transforme le comptage par bonds en comptine. Un enfant peut réciter « 5, 10, 15, 20 » sans savoir que chaque mot représente une main de plus ou une pièce de plus.

Gardez les objets en jeu jusqu'à ce que votre enfant réponde à « Combien de doigts sur quatre mains ? » en comptant 5, 10, 15, 20 et en s'arrêtant au bon endroit. S'arrêter au quatrième nombre est toute la compétence, et c'est le même geste que la multiplication. Une partie d'entraînement sur les multiples pose la même question à l'envers : est-ce que 35 fait partie des nombres qu'on dit en comptant de 5 en 5 ?

Compter de 2 en 2, de 5 en 5, de 10 en 10, de 3 en 3 et au-delà

Compter de 2, 5, 10, 3 ou 9 en 9 donne à chaque comptage son motif sur le tableau de 100, ses objets du quotidien et son rôle plus tard à l'école. Ces comptages ne sont pas tous aussi utiles, et les plus grands s'apprennent mieux autrement.

L'ordre suivi à l'école

L'école commence par les bonds de 10 et de 2, puis ceux de 5, et seulement ensuite ceux de 3 et de 4. Les bonds de 10 et de 5 s'appuient sur la numération et la monnaie, que les enfants manipulent déjà entre la grande section et le CE1.

Le même ordre se prolonge dans les tables de multiplication. L'ordre pour apprendre les tables de multiplication est 2, 10, 5, 4, 3, 9, 6, 8, 7 : un enfant qui compte de 2 en 2, de 5 en 5 et de 10 en 10 tient donc déjà les trois premières tables.

Comment compter par bonds mène à la multiplication

Compter par bonds mène à la multiplication, car le nombre de bonds est le nombre de groupes. Compter cinq fois de 4 en 4 mène à 20, et 5 groupes de 4 font 20, donc 5 × 4 = 20.

Le Common Core fait ce lien en deux temps. En grade 2, l'équivalent du CE1, l'enfant trouve le total d'une disposition rectangulaire de 5 lignes et 5 colonnes au plus et l'écrit comme une somme de termes égaux (2.OA.C.4), donc 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20. En grade 3, l'équivalent du CE2, il interprète 5 × 7 comme « le nombre total d'objets dans 5 groupes de 7 objets chacun » (3.OA.A.1). Le programme français fait le même chemin au CE1 : « 7 × 20 biscuits » correspond à ajouter 20 sept fois.

Compter par bonds explique aussi une régularité que les enfants doivent repérer en grade 3 : 4 fois un nombre est toujours pair (3.OA.D.9). Les bonds de 4 sur le tableau de 100 ne tombent jamais dans une colonne impaire, car chaque bond de 4 vaut deux bonds de 2.

Quand compter par bonds ne suffit plus

Compter par bonds ne suffit plus vers les tables de 6, 7 et 8, car le comptage devient trop long. Trouver 7 × 8 en comptant oblige à dire 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56 en suivant huit bonds, et une seule erreur fausse le résultat.

Le Common Core fixe la ligne d'arrivée : à la fin du grade 3, connaître de mémoire tous les produits de deux nombres à un chiffre (3.OA.C.7). En France, la mémorisation des tables commence au CE1 et se renforce au CE2. Un jeu des tables de multiplication est l'endroit où les résultats comptés deviennent des résultats mémorisés, et les raccourcis par les doubles des astuces de calcul mental qui marchent comblent l'écart pendant ce temps.

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Comment savoir que votre enfant est prêt à passer à la suite

Quatre signaux montrent si le comptage par bonds est solide et quand les tables doivent prendre le relais. Aucun ne demande d'interrogation écrite.

• Un point d'arrêt précis. Demandez « Quel est le 6e nombre quand on compte de 5 en 5 ? ». Un enfant sûr de lui compte 5, 10, 15, 20, 25, 30 et s'arrête à 30 sans dépasser.
• N'importe quel point de départ. Demandez de compter de 10 en 10 à partir de 34. La réponse 34, 44, 54, 64 doit venir aussi facilement que 10, 20, 30.
• À rebours comme en avant. Descendez de 2 en 2 à partir de 20. Un enfant qui réussit en avant mais bloque à rebours a appris une comptine plus qu'une régularité.
• Des bonds de 2, 5 et 10 fluides. Comptez de 5 en 5 jusqu'à 50 sans pause ni reprise. Quand c'est acquis, commencez les bonds de 3 et de 4.

Le guide du What Works Clearinghouse Assisting Students Struggling with Mathematics recommande de consacrer environ 10 minutes de chaque séance de soutien à la récupération rapide des faits numériques de base. De courtes séances quotidiennes conviennent de la même façon au comptage par bonds.

Un test de deux minutes à la table de la cuisine

Donnez à votre enfant 30 pièces de 1 centime et demandez le total, sans dire comment compter. Un enfant qui les pousse en groupes de 5 ou de 10 et compte les groupes utilise le comptage par bonds comme un outil. Un enfant qui compte chaque pièce une par une a appris la comptine sans son utilité.

Les erreurs fréquentes quand on compte par bonds

La plupart des difficultés viennent de la façon dont l'entraînement est mené. Quatre erreurs reviennent sans cesse.

• Toujours partir de zéro. Un enfant qui sait seulement dire 10, 20, 30 est bloqué quand un problème commence à 26. Le programme de CP demande de compter de deux en deux et de dix en dix en partant de n'importe quel nombre, alors mélangez tôt des départs comme 3, 26 et 41.
• Réciter sans objets. Un comptage récité sonne bien et prouve peu. Gardez les chaussettes, les pièces ou le tableau de 100 sur la table jusqu'à ce que votre enfant s'arrête au bon nombre sans eux.
• Compter de 7 en 7 indéfiniment. Compter de 7 en 7 pour trouver 7 × 6 marche, mais reste lent et source d'erreurs. Quand les bonds de 2, 5 et 10 sont sûrs, passez les grandes tables à la mémorisation.
• Perdre le lien avec les groupes égaux. Compter 4, 8, 12 ne devient une multiplication que quand votre enfant voit trois groupes de 4. Montrez les groupes à chaque fois, ou dessinez la disposition rectangulaire.

Compter à rebours et au-delà de 100

Compter à rebours est le cas limite que la plupart des enfants trouvent difficile, car chaque pas demande une soustraction. Entraînez-le d'abord à partir de points de départ faciles : 50 de 5 en 5, 100 de 10 en 10, 20 de 2 en 2.

Dépasser 100 est l'autre point délicat. Les enfants disent souvent « quatre-vingt-dix, cent, deux-cents » en comptant de 10 en 10, ce qui saute de 110 à 190.

Compter des pièces de 10 centimes au-delà d'un euro, ou des fagots de dix pailles à côté d'un gros fagot de cent, montre pourquoi 110 vient ensuite. Les compléments à 10 aident aussi pour les comptages à rebours, car 10 − 3 = 7 est le même geste que 37 − 3 = 34.

Votre pense-bête et la suite

Un pense-bête court garde l'entraînement sur les rails, de la première paire de chaussettes à la première table de multiplication.

• Les objets d'abord. Des chaussettes pour les bonds de 2, des mains et des pièces de 5 centimes pour les bonds de 5, des pièces de 10 centimes pour les bonds de 10.
• Un tableau de 100 par comptage. Coloriez-le, puis nommez le motif à voix haute.
• Un départ différent à chaque séance. Zéro, puis 7, puis 26.
• À rebours à chaque séance. Un comptage en avant, un comptage à rebours.
• S'arrêter au bon nombre. « Compte cinq fois de 4 en 4 » est la question qui devient 5 × 4.
• Les résultats mémorisés à partir de la table de 6. Compter est le pont, la mémorisation est la destination.

La fiche de multiplication pour le CE1 propose 30 calculs à imprimer sur les tables jusqu'à 10, avec le corrigé, et un jeu de maths pour le CE1 entretient la routine les jours chargés. L'application MathIt ajoute un entraînement quotidien à difficulté adaptative : les comptages ne se corsent qu'au rythme que permettent les réponses de votre enfant.