Wie berechnet man den Interquartilsabstand?

Den Interquartilsabstand berechnen Sie in vier Schritten: Daten der Größe nach ordnen, den Median suchen, dann Q1 (den Median der unteren Hälfte) und Q3 (den Median der oberen Hälfte) bestimmen und Q3 − Q1 rechnen. Für die Testergebnisse 52, 61, 64, 68, 70, 73, 75, 78, 80, 84 und 95 ist Q1 = 64 und Q3 = 80, also beträgt der Interquartilsabstand 16.

Was ist der Interquartilsabstand?

Der Interquartilsabstand ist der Abstand zwischen dem unteren Quartil Q1 und dem oberen Quartil Q3 eines Datensatzes, also Q3 − Q1. Er misst, wie weit die mittlere Hälfte der Werte streut. Weil er das unterste und das oberste Viertel nicht berücksichtigt, ändert ihn ein einzelner sehr hoher oder sehr niedriger Wert kaum.

Ein Boxplot ist ein Diagramm, das einen Datensatz mit fünf Zahlen auf einem Zahlenstrahl zeigt: Minimum, Q1, Median, Q3 und Maximum. Eine Box reicht von Q1 bis Q3 mit einem Strich beim Median, und zwei Antennen reichen bis zum kleinsten und größten Wert. Im bayerischen Gymnasium steht der Boxplot im Lehrplan der 7. Klasse.

Was ist eine Kastengrafik oder ein Box-Whisker-Plot?

Eine Kastengrafik ist dasselbe Diagramm wie ein Boxplot, und auch Box-Whisker-Plot meint dasselbe. Die Box zeigt die mittlere Hälfte der Daten von Q1 bis Q3, und die Antennen (englisch „whiskers“) sind die Linien, die bis zum Minimum und zum Maximum reichen.

Wie liest man einen Boxplot ab?

Ein Boxplot wird von der Mitte nach außen gelesen. Der Strich in der Box ist der Median, die Box enthält die mittlere Hälfte der Werte, und jede Antenne enthält etwa ein Viertel. Eine lange Antenne oder eine lange Boxhälfte bedeutet, dass die Werte in diesem Viertel weit streuen, nicht dass es dort mehr Werte gibt.

Wie findet man Ausreißer mit dem Interquartilsabstand?

Ausreißer findet man mit der Regel 1,5 · IQR. Multiplizieren Sie den Interquartilsabstand mit 1,5, ziehen Sie das Ergebnis von Q1 ab und addieren Sie es zu Q3; jeder Wert außerhalb dieser beiden Grenzen ist ein möglicher Ausreißer. Mit Q1 = 64, Q3 = 80 und einem Abstand von 16 liegen die Grenzen bei 40 und 104.

Boxplot zeichnen und Interquartilsabstand berechnen

Die Auswertung einer Klassenarbeit nennt einen Median von 73 Punkten und zeigt eine kleine Grafik mit einem Kasten und zwei Linien, die links und rechts herausragen. Diese Grafik ist ein Boxplot, auch Kastengrafik genannt, und die Zahl, die die Breite des Kastens festlegt, ist der Interquartilsabstand. Mit einem Bleistift zeichnen Sie einen Boxplot in etwa fünf Minuten, sobald Sie wissen, welche fünf Zahlen Sie suchen.

Was ein Boxplot zeigt: die Fünf-Zahlen-Zusammenfassung

Ein Boxplot zeigt mit fünf Zahlen, wo die Mitte eines Datensatzes liegt und wie weit die Werte streuen. OpenStax Introductory Statistics 2e zählt sie auf: Ein Boxplot wird aus dem Minimum, dem unteren Quartil, dem Median, dem oberen Quartil und dem Maximum gebaut. Zusammen bilden sie die Fünf-Zahlen-Zusammenfassung.

Die Quartile teilen die geordneten Daten in vier etwa gleich große Teile: Q1 ist die Mitte der unteren Hälfte, der Median M die Mitte des ganzen Datensatzes und Q3 die Mitte der oberen Hälfte. Wenn der Median eingerostet ist, zeigt der Leitfaden zu Mittelwert, Median und Modus, wie man ihn bei einer geraden und einer ungeraden Anzahl findet.

In Deutschland regelt jedes Bundesland den Lehrplan selbst. Im bayerischen LehrplanPLUS für das Gymnasium, 7. Klasse bestimmen die Schülerinnen und Schüler „Spannweite und Quartile als weitere Kenngrößen der beschreibenden Statistik“ und „erstellen Boxplots“. In den USA ist der Boxplot Stoff der 6. Klasse: Der Common-Core-Standard 6.SP.B.4 verlangt Boxplots auf dem Zahlenstrahl, und 6.SP.B.5c fragt nach Streuungsmaßen wie dem Interquartilsabstand oder der mittleren absoluten Abweichung.

Warum der Interquartilsabstand bei einem Ausreißer besser ist als die Spannweite

Der Interquartilsabstand misst die Streuung der mittleren Hälfte der Daten, also kann ein einzelner Extremwert ihn nicht dehnen. OpenStax, Abschnitt 2.3 beschreibt ihn als die Zahl, die die Streuung der mittleren 50 % der Daten angibt. Die Formel lautet Q3 − Q1, auf Englisch kurz IQR (interquartile range).

Nehmen Sie 11 Testergebnisse: 52, 61, 64, 68, 70, 73, 75, 78, 80, 84 und 95. Die Spannweite ist 95 − 52 = 43, der Interquartilsabstand 80 − 64 = 16. Hatte ein Kind einen schlechten Tag und 31 statt 52 Punkte, springt die Spannweite auf 95 − 31 = 64, während Q1, der Median und Q3 bei 64, 73 und 80 bleiben, also bleibt der Interquartilsabstand bei 16.

Die 11 geordneten Testergebnisse von 52 bis 95 als Kacheln, mit Q1 unter 64, M unter 73 und Q3 unter 80, gestrichelte Linien hinunter zu einem Boxplot auf einer Skala von 50 bis 100 und ein Pfeil für den Interquartilsabstand von 16.

Einen Boxplot Schritt für Schritt erstellen

Ein Boxplot entsteht in sechs Schritten, hier mit denselben 11 Testergebnissen.

Daten ordnen. Schreiben Sie die Werte vom kleinsten zum größten auf: 52, 61, 64, 68, 70, 73, 75, 78, 80, 84, 95. Es sind 11 Werte.
Den Median finden. Bei 11 Werten ist der Median der 6. Wert, denn auf jeder Seite stehen 5 Werte. Der Median ist 73.
Q1 und Q3 finden. Q1 ist der Median der unteren Hälfte 52, 61, 64, 68, 70, also 64. Q3 ist der Median der oberen Hälfte 75, 78, 80, 84, 95, also 80. Der Interquartilsabstand ist 80 − 64 = 16.
Minimum und Maximum notieren. Das Minimum ist 52, das Maximum 95, also lautet die Fünf-Zahlen-Zusammenfassung 52, 64, 73, 80, 95.
Eine Skala zeichnen. Zeichnen Sie einen Zahlenstrahl, der alle Werte abdeckt, hier von 50 bis 100, in gleichen Schritten von 5 oder 10. Das Ablesen ist dieselbe Fähigkeit wie das Ablesen eines Lineals.
Box und Antennen zeichnen. Zeichnen Sie eine Box von 64 bis 80 mit einem senkrechten Strich bei 73. Dann zeichnen Sie eine Antenne von 64 nach links bis 52 und eine von 80 nach rechts bis 95.

Ein zweiter Durchgang prüft die Quartile durch Zählen. Zwei Ergebnisse liegen unter Q1 (52 und 61), zwei zwischen Q1 und dem Median (68 und 70), zwei zwischen dem Median und Q3 (75 und 78) und zwei über Q3 (84 und 95). Gleiche Anzahlen in den vier Lücken bedeuten, dass die Quartile stimmen.

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Die häufigste Fehlerquelle: Median in den Hälften oder nicht

Bei einer ungeraden Anzahl gibt es zwei Meinungen dazu, ob der Median zur unteren und oberen Hälfte gehört. Common Core lässt ihn weg: Das Glossar definiert das untere Quartil als Median der Werte, die kleiner als M sind, und eine Fußnote räumt ein, dass viele verschiedene Methoden zur Berechnung von Quartilen im Gebrauch sind. Dieser Beitrag nutzt die Schulmethode, die den Median ausschließt.

Wenn Sie den Median mitzählen, wird die untere Hälfte zu 52, 61, 64, 68, 70, 73, also Q1 = (64 + 68) : 2 = 66, und die obere Hälfte ergibt Q3 = (78 + 80) : 2 = 79. Der Interquartilsabstand schrumpft auf 13. Die Excel-Funktion QUARTILE.INKL und viele Taschenrechner liefern diese Werte, also prüfen Sie, welche Methode die Lehrkraft oder das Schulbuch verwendet, bevor Sie eine Antwort für falsch erklären.

Spannweite, Interquartilsabstand, mittlere absolute Abweichung und Standardabweichung im Vergleich

Spannweite, Interquartilsabstand, mittlere absolute Abweichung und Standardabweichung messen alle die Streuung, doch jedes Maß schaut auf einen anderen Teil der Daten. Die Spannweite nutzt nur die zwei Extremwerte, der Interquartilsabstand die mittlere Hälfte, und die beiden anderen nutzen jeden Wert über seinen Abstand zum Mittelwert.

Maß	Was es misst	Stört ein einzelner Ausreißer?	Wo es unterrichtet wird (Common Core, USA)
Spannweite	Maximum − Minimum	Ja, stark	Zusammen mit Mittelwert, Median und Modus
Interquartilsabstand	Q3 − Q1, die mittlere Hälfte	Kaum	6. Klasse (6.SP.B.5c)
Mittlere absolute Abweichung	Durchschnittlicher Abstand zum Mittelwert	Etwas	6. Klasse (6.SP.B.5c)
Standardabweichung	Ein typischer Abstand zum Mittelwert, aus quadrierten Abständen	Ja	Highschool (S-ID.A.2)

Welches Streuungsmaß Sie wählen

Der Interquartilsabstand gehört zum Median, und die mittlere absolute Abweichung gehört zum Mittelwert. Nehmen Sie Median und Interquartilsabstand, wenn die Daten einen Ausreißer haben, etwa eine Arbeit, bei der ein fehlendes Kind 0 Punkte bekam, und Mittelwert und mittlere absolute Abweichung, wenn es keine Extremwerte gibt.

Zwei Boxplots ablesen und vergleichen

Ein Boxplot wird von der Mitte nach außen gelesen: zuerst der Median-Strich, dann die Box, dann die Antennen. Jeder der vier Teile, zwei Antennen und zwei Boxhälften, enthält etwa ein Viertel der Werte.

Ihren Nutzen zeigen Boxplots, wenn zwei auf derselben Skala stehen. Das NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods nennt sie ein ausgezeichnetes Werkzeug, um Lage und Streuung von Datensätzen zu zeigen, und sagt, die Box stelle die mittleren 50 % der Daten dar, den „Körper“ der Daten.

Zwei Boxplots auf einer Skala von 50 bis 100: Boxplot A mit Antennen von 52 bis 95, einer Box von 64 bis 80 und einem Median von 73, Boxplot B mit Antennen von 58 bis 90, einer Box von 70 bis 82 und einem Median von 76.

Klasse A hat die Fünf-Zahlen-Zusammenfassung 52, 64, 73, 80, 95, Klasse B hat 58, 70, 76, 82, 90. Der Median von Klasse B liegt 3 Punkte höher, ihre Box ist 12 Punkte breit statt 16 bei Klasse A, und ihre Spannweite beträgt 32 statt 43. Klasse B hat etwas besser und deutlich gleichmäßiger abgeschnitten.

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Die Regel: erst die Mediane, dann die Boxbreiten

Zwei Boxplots vergleicht man in einer festen Reihenfolge: die Mediane, dann die Boxbreiten, dann die Antennen. Die Mediane zeigen, welche Gruppe im typischen Fall höher liegt, und die Boxbreiten zeigen, welche Gruppe einheitlicher ist.

Die Größe des Unterschieds zählt so viel wie seine Richtung. Common Core 7.SP.B.3 verlangt in der 7. Klasse, die sichtbare Überlappung zweier Verteilungen als Vielfaches eines Streuungsmaßes auszudrücken, und der bayerische Lehrplan verlangt in der 7. Klasse vergleichende Aussagen über Datensätze. Ein Unterschied von 3 Punkten bei den Medianen ist ein Viertel des Interquartilsabstands 12 von Klasse B, und die Boxen überlappen von 70 bis 80, also ist der Unterschied zwischen den Klassen klein.

Den Lernstand mit Boxplots prüfen

Fünf kurze Aufgaben ohne Notizen zeigen, ob Ihr Kind Boxplots verstanden hat.

Fünf Zahlen: Kann Ihr Kind für 3, 5, 6, 8, 10, 11, 15 die Zahlen 3, 5, 8, 11, 15 und einen Interquartilsabstand von 11 − 5 = 6 angeben?
Gerade Anzahl: Findet es für 2, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 15 den Median (7 + 9) : 2 = 8, Q1 = (4 + 5) : 2 = 4,5 und Q3 = (10 + 12) : 2 = 11?
Ablesen: Kann es an einem Boxplot sagen, welcher Anteil der Werte in der Box liegt? Die Antwort ist etwa die Hälfte.
Vergleichen: Kann es bei zwei Boxplots in je einem Satz die Gruppe mit dem höheren Median und die einheitlichere Gruppe nennen?
Erklären: Kann es sagen, warum sich der Interquartilsabstand kaum bewegt, wenn der kleinste Wert weit nach unten fällt?

Ein Fünf-Minuten-Test mit echten Daten

Ein Fünf-Minuten-Test nutzt Zahlen aus Ihrer eigenen Woche, etwa 11 Ergebnisse aus kurzen Tests oder 9 Tageswerte der Schrittzahl in Tausend. Ordnen, Fünf-Zahlen-Zusammenfassung bestimmen, den Boxplot zeichnen und die Viertel durch Zählen prüfen.

Bewerten Sie zuerst die Methode, dann das Rechnen. Stimmen die Quartile, aber eine Subtraktion nicht, liegt die Lücke bei den Grundrechenarten, und das Mathespiel für die 6. Klasse oder das Mathespiel für Erwachsene bringt das Tempo zurück. Teile der Daten lassen sich auch als Prozente lesen: Die Box enthält etwa 50 % und jede Antenne etwa 25 %, wie der Leitfaden zur Prozentrechnung erklärt.

Häufige Fehler beim Boxplot und Sonderfälle

Vier Fehler verursachen die meisten falschen Boxplots, und jeder hat eine schnelle Lösung.

Fehler: nicht ordnen. Die Mitte einer ungeordneten Liste ist ein zufälliger Wert. Zuerst ordnen.
Fehler: eine lange Antenne als mehr Daten lesen. Jede Antenne enthält etwa ein Viertel der Werte; eine lange Antenne heißt, dass sie weit streuen.
Fehler: eine ungleichmäßige Skala. Schritte wie 50, 60, 80, 100 verzerren Teile des Diagramms. Nehmen Sie gleiche Schritte und beginnen Sie nahe beim Minimum statt bei 0.
Fehler: Quartilmethoden mischen. Den Median in der einen Hälfte mitzuzählen und in der anderen nicht, ergibt einen falschen Interquartilsabstand. Wählen Sie eine Methode und nutzen Sie sie für beide Hälften.

Sonderfall: Ausreißer und die Grenze 1,5 · IQR

Ein Ausreißer ist ein Wert weit weg vom Rest, und die Regel 1,5 · IQR liefert dafür einen Test. OpenStax schreibt, ein Wert gelte als möglicher Ausreißer, wenn er mehr als 1,5 · IQR unter dem unteren Quartil oder mehr als 1,5 · IQR über dem oberen Quartil liegt, und fügt hinzu, dass mögliche Ausreißer immer genauer untersucht werden müssen.

Nehmen Sie die Ergebnisse mit 31 statt 52: Q1 ist 64, Q3 ist 80 und der Interquartilsabstand 16. Dann ist 1,5 · 16 = 24, die untere Grenze 64 − 24 = 40 und die obere Grenze 80 + 24 = 104. Das Ergebnis 31 liegt unter 40, ist also ein möglicher Ausreißer, und über 104 liegt nichts.

In einem Boxplot mit Grenzen wird der Ausreißer als Punkt bei 31 gezeichnet. Laut NIST reicht die Antenne dann bis zum kleinsten Wert, der größer als die untere Grenze ist, also endet die linke Antenne bei 61.

Ihre Boxplot-Checkliste und die nächsten Schritte

Ordnen und zählen: Werte vom kleinsten zum größten aufschreiben und die Anzahl notieren.
Median: den mittleren Wert finden, bei gerader Anzahl den Mittelwert der beiden mittleren Werte.
Quartile: den Median jeder Hälfte nehmen, bei ungerader Anzahl ohne den Median selbst.
Interquartilsabstand und Grenzen: Q3 − Q1 rechnen, dann Werte jenseits von 1,5 · IQR prüfen.
Zeichnen: eine gleichmäßige Skala, eine Box von Q1 bis Q3, ein Strich beim Median und Antennen bis zu den Extremwerten.
Prüfen: die Werte in jedem Viertel zählen; die vier Anzahlen sollten gleich oder fast gleich sein.

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Einen Boxplot erstellen, ablesen und den Interquartilsabstand bestimmen

Das Wichtigste in Kürze