Comment construire une boîte à moustaches, la lire et calculer l'écart interquartile

Un bulletin indique que la médiane de la classe était de 73 et montre un petit graphique avec une boîte et deux traits qui en sortent. Ce graphique est une boîte à moustaches, aussi appelée diagramme en boîte, et le nombre qui fixe la largeur de sa boîte est l'écart interquartile. Vous pouvez en tracer une au crayon en cinq minutes environ, dès que vous savez quels cinq nombres chercher.

Ce que montre une boîte à moustaches : les cinq valeurs clés

Une boîte à moustaches montre où se trouve le milieu d'une série statistique et à quel point les valeurs sont dispersées, à l'aide de cinq nombres. Le manuel OpenStax Introductory Statistics 2e les énumère : « une boîte à moustaches se construit à partir de cinq valeurs : la valeur minimale, le premier quartile, la médiane, le troisième quartile et la valeur maximale ». Ensemble, elles forment le résumé en cinq nombres.

Les quartiles découpent la série rangée en quatre parts à peu près égales : environ un quart des valeurs sont inférieures ou égales à Q1, la moitié à la médiane M, et trois quarts à Q3. Si la médiane demande un rappel, le guide sur la moyenne, la médiane et le mode montre comment la trouver avec un nombre pair ou impair de valeurs.

En France, la boîte à moustaches est une notion de 3e. Le programme de mathématiques du cycle 4 demande en 3e de « donner les quartiles et la médiane d'une série » et de « construire et utiliser des boites à moustache », après l'étendue vue en 4e. Aux États-Unis, le standard Common Core 6.SP.B.4 place les boîtes à moustaches dès le grade 6, et le 6.SP.B.5c y ajoute l'écart interquartile comme mesure de dispersion.

Pourquoi l'écart interquartile résiste mieux que l'étendue à une valeur extrême

L'écart interquartile mesure la dispersion de la moitié centrale des données, donc une seule valeur extrême ne peut pas l'étirer. La section 2.3 d'OpenStax le décrit comme « un nombre qui indique la dispersion de la moitié centrale, ou des 50 % centraux, des données », et la formule est écart interquartile = Q3 − Q1.

Prenons 11 notes de contrôle sur 100 : 52, 61, 64, 68, 70, 73, 75, 78, 80, 84 et 95. L'étendue vaut 95 − 52 = 43 et l'écart interquartile 80 − 64 = 16. Si un élève avait raté son contrôle avec 31 au lieu de 52, l'étendue sauterait à 95 − 31 = 64, alors que Q1, la médiane et Q3 resteraient à 64, 73 et 80 : l'écart interquartile reste à 16.

Comment construire une boîte à moustaches étape par étape

Une boîte à moustaches se construit en six étapes, montrées ici avec les mêmes 11 notes.

1. Rangez les données. Écrivez les valeurs dans l'ordre croissant : 52, 61, 64, 68, 70, 73, 75, 78, 80, 84, 95. Il y en a 11.
2. Trouvez la médiane. Avec 11 valeurs, la médiane est la 6e valeur, car 5 valeurs se trouvent de chaque côté. La médiane vaut 73.
3. Trouvez Q1 et Q3. Pour Q1, calculez 11 × 0,25 = 2,75 et arrondissez à l'entier supérieur : Q1 est la 3e valeur, 64. Pour Q3, calculez 11 × 0,75 = 8,25 : Q3 est la 9e valeur, 80. L'écart interquartile vaut 80 − 64 = 16.
4. Notez le minimum et le maximum. Le minimum est 52 et le maximum 95, donc les cinq valeurs clés sont 52, 64, 73, 80, 95.
5. Tracez un axe gradué. Tracez un axe qui couvre toutes les valeurs, ici de 50 à 100, avec des pas réguliers de 5 ou de 10. Le lire demande la même compétence que lire une règle graduée.
6. Tracez la boîte et les moustaches. Tracez une boîte de 64 à 80 avec un trait vertical à 73. Puis tracez une moustache de 64 vers la gauche jusqu'à 52 et une de 80 vers la droite jusqu'à 95.

Un deuxième passage vérifie les quartiles en comptant. Deux notes sont sous Q1 (52 et 61), deux entre Q1 et la médiane (68 et 70), deux entre la médiane et Q3 (75 et 78) et deux au-dessus de Q3 (84 et 95). Des effectifs égaux dans les quatre intervalles montrent que les quartiles sont justes.

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Le point qui divise : plusieurs méthodes pour les quartiles

Les quartiles ne se calculent pas de la même façon partout. En France, les manuels de collège et de lycée définissent Q1 comme la plus petite valeur de la série telle qu'au moins 25 % des données lui soient inférieures ou égales, et Q3 de la même façon avec 75 %. Aux États-Unis, le glossaire du Common Core définit Q1 comme « la médiane des valeurs inférieures à M », et une note admet que « de nombreuses méthodes différentes de calcul des quartiles sont en usage ».

Avec nos 11 notes, la méthode française et la méthode des moitiés sans la médiane donnent toutes les deux 64 et 80. Si l'on inclut la médiane dans chaque moitié, la moitié basse devient 52, 61, 64, 68, 70, 73, donc Q1 = (64 + 68) : 2 = 66, et la moitié haute donne Q3 = (78 + 80) : 2 = 79. L'écart interquartile tombe à 13. La fonction QUARTILE.INCLURE d'un tableur et beaucoup de calculatrices renvoient ces valeurs, donc vérifiez la méthode de l'enseignant ou du manuel avant de dire qu'une réponse est fausse.

Étendue, écart interquartile, écart moyen et écart type comparés

L'étendue, l'écart interquartile, l'écart moyen absolu et l'écart type mesurent tous la dispersion, mais chacun regarde une partie différente des données. L'étendue n'utilise que les deux extrêmes, l'écart interquartile la moitié centrale, et les deux autres utilisent toutes les valeurs à travers leur distance à la moyenne.

Quelle mesure de dispersion choisir

L'écart interquartile est la mesure à associer à la médiane, et l'écart moyen absolu celle à associer à la moyenne. Prenez la médiane et l'écart interquartile quand la série contient une valeur aberrante, comme un contrôle où un élève absent a eu 0, et la moyenne avec l'écart moyen quand les valeurs n'ont pas d'extrêmes.

Comment lire et comparer deux boîtes à moustaches

Une boîte à moustaches se lit du centre vers l'extérieur : d'abord le trait de la médiane, puis la boîte, puis les moustaches. Chacune des quatre parties, les deux moustaches et les deux moitiés de la boîte, contient environ un quart des valeurs.

Les boîtes à moustaches montrent tout leur intérêt quand on en place deux sur le même axe. Le NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods les qualifie d'« excellent outil pour transmettre la position et la variation des données » et précise que la boîte « représente les 50 % centraux des données, le "corps" des données ».

La classe A a les cinq valeurs clés 52, 64, 73, 80, 95, et la classe B 58, 70, 76, 82, 90. La médiane de la classe B est 3 points plus haute, sa boîte mesure 12 points de large contre 16 pour la classe A, et son étendue vaut 32 contre 43. La classe B a eu des notes un peu plus hautes et beaucoup plus régulières.

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La règle : comparer les médianes, puis la largeur des boîtes

Deux boîtes à moustaches se comparent dans un ordre fixe : les médianes, puis la largeur des boîtes, puis les moustaches. Les médianes disent quel groupe est le plus haut dans un cas typique, et la largeur des boîtes dit quel groupe est le plus régulier.

La taille de l'écart compte autant que son sens. Le Common Core 7.SP.B.3 demande aux élèves de grade 7 de juger « le degré de recouvrement visuel de deux distributions » en « l'exprimant comme un multiple d'une mesure de dispersion ». Un écart de 3 points entre les médianes représente un quart de l'écart interquartile de la classe B, qui vaut 12, et les deux boîtes se recouvrent de 70 à 80 : la différence entre les classes est faible.

Comment vérifier les progrès sur les boîtes à moustaches

Cinq petites vérifications, faites sans notes, montrent si un élève a compris les boîtes à moustaches.

• Cinq valeurs : pour 3, 5, 6, 8, 10, 11, 15, trouvez-vous 3, 5, 8, 11, 15 et un écart interquartile de 11 − 5 = 6 ?
• Effectif pair : pour 2, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 15, trouvez-vous la médiane (7 + 9) : 2 = 8, Q1 = 4 (2e valeur, car 8 × 0,25 = 2) et Q3 = 10 (6e valeur, car 8 × 0,75 = 6) ? La méthode des moitiés donne 4,5 et 11.
• Lecture : devant une boîte à moustaches, savez-vous dire quelle part des valeurs se trouve dans la boîte ? La réponse est environ la moitié.
• Comparaison : devant deux boîtes, savez-vous nommer le groupe à la médiane la plus haute et le groupe le plus régulier, en une phrase chacun ?
• Explication : savez-vous dire pourquoi l'écart interquartile bouge à peine quand la plus petite valeur descend beaucoup ?

Un test de cinq minutes avec de vraies données

Un test de cinq minutes utilise des nombres de votre semaine, comme 11 notes d'interrogation ou 9 nombres de pas quotidiens en milliers. Rangez-les, trouvez les cinq valeurs clés, tracez la boîte et vérifiez les quarts en comptant.

Notez la méthode, puis le calcul. Si les quartiles sont justes mais qu'une soustraction est fausse, le manque porte sur les faits numériques, et le jeu de maths pour la 6e ou le jeu de maths pour adultes redonne cette rapidité. Les parties de la série se lisent aussi en pourcentages : la boîte contient environ 50 % des valeurs et chaque moustache environ 25 %, ce que le guide sur comment calculer un pourcentage explique.

Erreurs fréquentes et cas particuliers sur les boîtes à moustaches

Quatre erreurs causent la plupart des boîtes à moustaches fausses, et chacune se corrige vite.

• Erreur : oublier de ranger. Le milieu d'une liste non rangée est une valeur au hasard. Rangez d'abord.
• Erreur : lire une longue moustache comme plus de données. Chaque moustache contient environ un quart des valeurs ; une longue moustache veut dire qu'elles sont étalées.
• Erreur : un axe irrégulier. Des graduations 50, 60, 80, 100 étirent certaines parties du graphique. Gardez des pas égaux et commencez près du minimum plutôt qu'à 0.
• Erreur : mélanger les méthodes. Calculer Q1 avec une méthode et Q3 avec une autre donne un écart interquartile faux. Choisissez une méthode et gardez-la pour les deux quartiles.

Cas particulier : les valeurs aberrantes et la borne à 1,5 fois l'écart interquartile

Une valeur aberrante est une valeur très éloignée des autres, et la règle de 1,5 fois l'écart interquartile permet de la repérer. OpenStax indique qu'« une valeur est soupçonnée d'être aberrante si elle est inférieure de plus de 1,5 × l'écart interquartile au premier quartile ou supérieure de plus de 1,5 × l'écart interquartile au troisième quartile », et ajoute que « les valeurs aberrantes possibles demandent toujours une vérification ».

Reprenez les notes avec 31 à la place de 52 : Q1 vaut 64, Q3 vaut 80 et l'écart interquartile 16. Alors 1,5 × 16 = 24, la borne basse vaut 64 − 24 = 40 et la borne haute 80 + 24 = 104. La note 31 est sous 40, donc c'est une valeur aberrante possible, et aucune note ne dépasse 104.

Sur une boîte à moustaches avec bornes, la valeur aberrante se dessine par un point à 31. Le NIST précise que la moustache va alors « jusqu'au plus petit point supérieur » à la borne basse, donc la moustache gauche s'arrête à 61.

Votre liste de contrôle pour la boîte à moustaches et la suite

• Ranger et compter : écrivez les valeurs dans l'ordre croissant et notez l'effectif.
• Médiane : trouvez la valeur du milieu, ou la moyenne des deux valeurs du milieu pour un effectif pair.
• Quartiles : multipliez l'effectif par 0,25 et par 0,75, arrondissez à l'entier supérieur si le résultat n'est pas entier, et lisez les valeurs à ces rangs.
• Écart interquartile et bornes : calculez Q3 − Q1, puis cherchez les valeurs au-delà de 1,5 fois cet écart.
• Tracer : prenez un axe aux pas réguliers, une boîte de Q1 à Q3, un trait à la médiane et des moustaches jusqu'aux extrêmes.
• Vérifier : comptez les valeurs dans chaque quart ; les quatre effectifs doivent être égaux ou presque.

Le jeu de la moyenne, gratuit dans le navigateur et sans inscription, entraîne le calcul de la moyenne, l'autre mesure du centre que vous croiserez à côté de chaque boîte à moustaches.

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