Så ritar du ett lådagram, läser av det och räknar ut kvartilavståndet

Ett omdöme från skolan säger att klassens median var 73 och visar ett litet diagram med en låda och två streck som sticker ut. Det diagrammet är ett lådagram, som också kallas boxplot, och talet som bestämmer lådans bredd är kvartilavståndet. Du kan rita ett med penna på ungefär fem minuter när du vet vilka fem tal du ska leta upp.

Vad ett lådagram visar: femtalssammanfattningen

Ett lådagram visar var mitten av en datamängd ligger och hur utspridda värdena är, med hjälp av fem tal. OpenStax Introductory Statistics 2e räknar upp dem: ett lådagram byggs av fem värden, nämligen minsta värdet, den första kvartilen, medianen, den tredje kvartilen och största värdet. Tillsammans kallas de femtalssammanfattningen.

Kvartilerna delar de sorterade värdena i fyra ungefär lika stora delar: Q1 är mitten av den nedre halvan, medianen M är mitten av hela mängden och Q3 är mitten av den övre halvan. Om medianen behöver repeteras visar guiden om medelvärde, median och typvärde hur du hittar den för både udda och jämnt antal värden.

I Sverige tar Lgr22:s kursplan i matematik upp lägesmåtten medelvärde, typvärde och median i årskurs 4–6 och ”lägesmått och spridningsmått” i årskurs 7–9. I USA hör lådagram till årskurs 6: Common Core-standarden 6.SP.B.4 kräver att eleverna visar numeriska data på en tallinje, bland annat i punktdiagram, histogram och lådagram, och 6.SP.B.5c tar upp spridningsmåtten kvartilavstånd och medelavvikelse.

Varför kvartilavståndet slår variationsbredden när det finns ett extremvärde

Kvartilavståndet mäter spridningen hos den mittersta halvan av värdena, så ett enda extremt värde kan inte töja ut det. OpenStax avsnitt 2.3 beskriver kvartilavståndet som ett tal som anger spridningen hos den mittersta halvan, de mittersta 50 procenten, av värdena, och formeln är Q3 − Q1.

Ta 11 provresultat: 52, 61, 64, 68, 70, 73, 75, 78, 80, 84 och 95. Variationsbredden är 95 − 52 = 43 och kvartilavståndet är 80 − 64 = 16. Om en elev hade en dålig dag och fick 31 i stället för 52 hoppar variationsbredden till 95 − 31 = 64, medan Q1, medianen och Q3 stannar på 64, 73 och 80, så kvartilavståndet stannar på 16.

Så ritar du ett lådagram steg för steg

Ett lådagram tar sex steg, här med samma 11 provresultat.

1. Sortera värdena. Skriv värdena från minst till störst: 52, 61, 64, 68, 70, 73, 75, 78, 80, 84, 95. De är 11 stycken.
2. Hitta medianen. Med 11 värden är medianen det 6:e värdet, eftersom 5 värden ligger på varje sida om det. Medianen är 73.
3. Hitta Q1 och Q3. Q1 är medianen av den nedre halvan, 52, 61, 64, 68, 70, alltså 64. Q3 är medianen av den övre halvan, 75, 78, 80, 84, 95, alltså 80. Kvartilavståndet är 80 − 64 = 16.
4. Skriv upp minsta och största värdet. Minsta värdet är 52 och största är 95, så femtalssammanfattningen är 52, 64, 73, 80, 95.
5. Rita en skala. Rita en tallinje som täcker alla värden, här 50 till 100, med lika steg om 5 eller 10. Att läsa av den är samma färdighet som att läsa av en linjal.
6. Rita lådan och morrhåren. Rita en låda från 64 till 80 med ett lodrätt streck vid 73. Rita sedan ett morrhår från 64 åt vänster till 52 och ett från 80 åt höger till 95.

Kontrollen gör du genom att räkna. Två resultat ligger under Q1 (52 och 61), två mellan Q1 och medianen (68 och 70), två mellan medianen och Q3 (75 och 78) och två över Q3 (84 och 95). Lika många värden i de fyra mellanrummen betyder att kvartilerna stämmer.

Spela gratis i webbläsarenHitta medelvärdetÅk 4–6

Där det oftast går fel: medianen med eller utan i halvorna

Vid ett udda antal värden är man inte överens om medianen ska räknas in i den nedre och den övre halvan. Common Core lämnar den utanför: ordlistan definierar den första kvartilen som medianen av de värden som är mindre än M, och en fotnot medger att många olika metoder för att räkna ut kvartiler används. Det här inlägget använder den metoden, där medianen utesluts.

Räknar du in medianen blir den nedre halvan 52, 61, 64, 68, 70, 73, så Q1 = (64 + 68) : 2 = 66, och den övre halvan ger Q3 = (78 + 80) : 2 = 79. Kvartilavståndet krymper till 13. Kalkylbladsfunktionen KVARTIL.INK och många miniräknare ger de värdena, så kontrollera vilken metod läraren eller läroboken använder innan du kallar ett svar fel.

Variationsbredd, kvartilavstånd, medelavvikelse och standardavvikelse

Variationsbredden, kvartilavståndet, medelavvikelsen och standardavvikelsen mäter alla spridning, men vart och ett tittar på en egen del av värdena. Variationsbredden använder bara de två ytterligheterna, kvartilavståndet använder den mittersta halvan och de två andra använder varje värde genom dess avstånd till medelvärdet.

Vilket spridningsmått du ska välja

Kvartilavståndet är spridningsmåttet som hör ihop med medianen, och medelavvikelsen hör ihop med medelvärdet. Använd median och kvartilavstånd när värdena har ett extremvärde, till exempel ett prov där en frånvarande elev fick 0, och medelvärde och medelavvikelse när värdena saknar ytterligheter.

Så läser och jämför du två lådagram

Ett lådagram läser du inifrån och ut: först medianstrecket, sedan lådan och sist morrhåren. Var och en av de fyra delarna, två morrhår och två halvor av lådan, rymmer ungefär en fjärdedel av värdena.

Lådagram gör mest nytta när du ritar två på samma skala. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods kallar dem ett utmärkt verktyg för att visa läge och spridning i datamängder och säger att lådan står för de mittersta 50 procenten av värdena, datamängdens ”kropp”.

Klass A har femtalssammanfattningen 52, 64, 73, 80, 95, och klass B har 58, 70, 76, 82, 90. Klass B:s median är 3 poäng högre, lådan är 12 poäng bred mot 16 för klass A, och variationsbredden är 32 mot 43. Klass B fick lite högre resultat och mycket jämnare.

Gratis övningsblad att skriva utBlandade räknesätt — elever i årskurs 6Arbetsblad · PDF

Regeln: jämför först medianerna, sedan lådornas bredd

Två lådagram jämförs i en bestämd ordning: medianerna, sedan lådornas bredd, sist morrhåren. Medianerna visar vilken grupp som ligger högre i ett typiskt fall, och lådornas bredd visar vilken grupp som är jämnast.

Hur stor skillnaden är spelar lika stor roll som åt vilket håll den går. Common Core 7.SP.B.3 ber amerikanska elever i årskurs 7 bedöma hur mycket två fördelningar överlappar varandra genom att uttrycka skillnaden som en multipel av ett spridningsmått. En skillnad på 3 poäng mellan medianerna är en fjärdedel av klass B:s kvartilavstånd på 12, och lådorna överlappar från 70 till 80, så skillnaden mellan klasserna är liten.

Så kontrollerar du framstegen med lådagram

Fem korta kontroller, gjorda utan anteckningar, visar om en elev förstår lådagram.

• Fem tal: kan du för 3, 5, 6, 8, 10, 11, 15 ange 3, 5, 8, 11, 15 och kvartilavståndet 11 − 5 = 6?
• Jämnt antal: kan du för 2, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 15 hitta medianen (7 + 9) : 2 = 8, Q1 = (4 + 5) : 2 = 4,5 och Q3 = (10 + 12) : 2 = 11?
• Avläsning: kan du titta på ett lådagram och säga hur stor del av värdena som ligger i lådan? Svaret är ungefär hälften.
• Jämförelse: kan du med två lådagram framför dig ange gruppen med högst median och den jämnaste gruppen, med en mening för varje?
• Förklaring: kan du säga varför kvartilavståndet knappt rör sig när det lägsta värdet sjunker mycket?

Ett test på fem minuter med riktiga data

Ett test på fem minuter använder tal från din egen vecka, till exempel 11 resultat från småprov eller 9 dagars stegräkning i tusental. Sortera dem, hitta femtalssammanfattningen, rita diagrammet och kontrollera fjärdedelarna genom att räkna.

Ge poäng för metoden först och räkningen sedan. Stämmer kvartilerna men en subtraktion blev fel sitter luckan i talfakta, och mattespelet för årskurs 6 eller mattespelet för vuxna bygger upp den snabbheten igen. Delar av värdena kan också läsas som procent: lådan rymmer ungefär 50 % och varje morrhår ungefär 25 %, vilket guiden om hur du räknar ut procent förklarar.

Vanliga fel och gränsfall med lådagram

Fyra fel ligger bakom de flesta felaktiga lådagram, och vart och ett har en snabb lösning.

• Fel: att hoppa över sorteringen. Mitten av en osorterad lista är ett slumpmässigt värde. Sortera först.
• Fel: att läsa ett långt morrhår som fler värden. Varje morrhår rymmer ungefär en fjärdedel av värdena; ett långt morrhår betyder att de är utspridda.
• Fel: en ojämn skala. Steg som 50, 60, 80, 100 töjer ut vissa delar av diagrammet. Använd lika steg, och börja nära minsta värdet i stället för vid 0.
• Fel: att blanda kvartilmetoder. Att räkna in medianen i den ena halvan och utesluta den ur den andra ger fel kvartilavstånd. Välj en metod och använd den för båda halvorna.

Gränsfall: extremvärden och gränsen vid 1,5 gånger kvartilavståndet

Ett extremvärde är ett värde som ligger långt från de andra, och regeln med 1,5 gånger kvartilavståndet ger ett test för det. OpenStax skriver att ett värde misstänks vara ett möjligt extremvärde om det ligger mer än 1,5 gånger kvartilavståndet under den första kvartilen eller över den tredje, och tillägger att möjliga extremvärden alltid behöver undersökas närmare.

Ta resultaten med 31 i stället för 52: Q1 är 64, Q3 är 80 och kvartilavståndet är 16. Då är 1,5 × 16 = 24, den nedre gränsen 64 − 24 = 40 och den övre gränsen 80 + 24 = 104. Resultatet 31 ligger under 40, så det är ett möjligt extremvärde, och inget värde ligger över 104.

I ett lådagram med gränser ritas extremvärdet som en punkt vid 31. Enligt NIST går morrhåret då till det minsta värdet som är större än den nedre gränsen, så det vänstra morrhåret slutar vid 61.

Din checklista för lådagram och nästa steg

• Sortera och räkna: skriv värdena från minst till störst och skriv upp antalet.
• Median: hitta mittvärdet, eller medelvärdet av de två mittersta vid ett jämnt antal.
• Kvartiler: ta medianen av varje halva, med själva medianen utanför vid ett udda antal.
• Kvartilavstånd och gränser: räkna Q3 − Q1 och leta sedan efter värden bortom 1,5 gånger kvartilavståndet.
• Rita: använd en skala med lika steg, en låda från Q1 till Q3, ett streck vid medianen och morrhår ut till ytterligheterna.
• Kontrollera: räkna värdena i varje fjärdedel; de fyra antalen ska vara lika eller nästan lika.

Det kostnadsfria spelet om att hitta medelvärdet i webbläsaren tränar medelvärdet, det andra lägesmåttet du möter bredvid varje lådagram, utan registrering.

MathIt är en gratis app för iOS och Android med ungefär 90 speltyper och anpassad svårighetsgrad, så några minuters daglig övning håller sorteringen, subtraktionen och halveringen bakom kvartilerna snabb.