Jak narysować wykres pudełkowy, odczytać go i obliczyć rozstęp międzykwartylowy

Wyniki próbnego testu pokazują medianę klasy 73 i mały wykres z pudełkiem, z którego wystają dwie kreski. Ten wykres to wykres pudełkowy, zwany też wykresem ramka-wąsy, a liczba, która wyznacza szerokość jego pudełka, to rozstęp międzykwartylowy. Narysujesz go ołówkiem w około pięć minut, jeśli wiesz, jakich pięciu liczb szukać.

Co pokazuje wykres pudełkowy: pięć liczb

Wykres pudełkowy pokazuje za pomocą pięciu liczb, gdzie leży środek zbioru danych i jak bardzo rozrzucone są wartości. Podręcznik OpenStax Introductory Statistics 2e wymienia je wprost: wykres pudełkowy buduje się z wartości najmniejszej, kwartyla pierwszego, mediany, kwartyla trzeciego i wartości największej. Razem tworzą tak zwane podsumowanie pięcioliczbowe.

Kwartyle dzielą uporządkowane dane na cztery części o mniej więcej równej liczebności: Q1 to środek dolnej połowy, mediana M to środek całego zbioru, a Q3 to środek górnej połowy. Jeśli mediana wymaga odświeżenia, poradnik o średniej, medianie i dominancie pokazuje, jak ją znaleźć przy parzystej i nieparzystej liczbie danych.

W USA wykres pudełkowy to temat klasy 6. Standard Common Core 6.SP.B.4 wymaga przedstawiania danych liczbowych na osi liczbowej, także na wykresach pudełkowych, a 6.SP.B.5c prosi o miary zmienności, w tym rozstęp międzykwartylowy. W Polsce podstawa programowa matematyki dla liceum i technikum w zakresie podstawowym wymaga, by uczeń „oblicza średnią arytmetyczną i średnią ważoną, znajduje medianę i dominantę”, a kwartyli ani wykresu pudełkowego w niej nie ma. Ten wykres spotkasz więc raczej na studiach, w raportach i w arkuszu kalkulacyjnym niż w szkolnym podręczniku.

Dlaczego rozstęp międzykwartylowy wygrywa z rozstępem, gdy jest wartość odstająca

Rozstęp międzykwartylowy mierzy rozrzut środkowej połowy danych, więc jedna skrajna wartość nie może go rozciągnąć. OpenStax w podrozdziale 2.3 opisuje IQR jako liczbę, która pokazuje rozrzut środkowej połowy, czyli środkowych 50% danych, a wzór to IQR = Q3 − Q1.

Weź 11 wyników testu: 52, 61, 64, 68, 70, 73, 75, 78, 80, 84 i 95. Rozstęp to 95 − 52 = 43, a IQR to 80 − 64 = 16. Gdyby jeden uczeń miał zły dzień i dostał 31 zamiast 52, rozstęp skoczyłby do 95 − 31 = 64, a Q1, mediana i Q3 zostałyby na 64, 73 i 80, więc IQR nadal wynosiłby 16.

Jak narysować wykres pudełkowy krok po kroku

Wykres pudełkowy rysuje się w sześciu krokach, tu na tych samych 11 wynikach testu.

1. Uporządkuj dane. Zapisz wartości od najmniejszej do największej: 52, 61, 64, 68, 70, 73, 75, 78, 80, 84, 95. Jest ich 11.
2. Znajdź medianę. Przy 11 wartościach mediana to 6. wartość, bo po każdej jej stronie leży 5 wartości. Mediana wynosi 73.
3. Znajdź Q1 i Q3. Q1 to mediana dolnej połowy 52, 61, 64, 68, 70, czyli 64. Q3 to mediana górnej połowy 75, 78, 80, 84, 95, czyli 80. Rozstęp międzykwartylowy to 80 − 64 = 16.
4. Zapisz wartość najmniejszą i największą. Najmniejsza to 52, a największa 95, więc pięć liczb to 52, 64, 73, 80, 95.
5. Narysuj skalę. Narysuj oś liczbową, która obejmuje wszystkie wartości, tu od 50 do 100, z równymi krokami co 5 lub co 10. Odczytywanie jej to ta sama umiejętność co odczytywanie linijki.
6. Narysuj pudełko i wąsy. Narysuj pudełko od 64 do 80 z pionową kreską przy 73. Potem narysuj jeden wąs od 64 w lewo do 52 i drugi od 80 w prawo do 95.

Drugie przejście sprawdza kwartyle przez liczenie. Dwa wyniki leżą poniżej Q1 (52 i 61), dwa między Q1 a medianą (68 i 70), dwa między medianą a Q3 (75 i 78) i dwa powyżej Q3 (84 i 95). Równe liczby w czterech przedziałach znaczą, że kwartyle są dobrze wyznaczone.

Zagraj za darmo w przeglądarceZnajdź średniąKlasa 4–6

Gdzie pojawia się błąd: mediana w połówkach czy poza nimi

Przy nieparzystej liczbie danych nie ma zgody, czy mediana należy do dolnej i górnej połowy. Common Core ją pomija: słownik standardów definiuje kwartyl pierwszy jako medianę wartości mniejszych od M, a przypis przyznaje, że w użyciu jest wiele różnych metod obliczania kwartyli. Ten poradnik stosuje metodę szkolną, która medianę pomija.

Jeśli włączysz medianę, dolna połowa to 52, 61, 64, 68, 70, 73, więc Q1 = (64 + 68) : 2 = 66, a górna połowa daje Q3 = (78 + 80) : 2 = 79. IQR maleje do 13. Takie wartości zwraca funkcja arkusza QUARTILE.INC (w polskim Excelu KWARTYL.PRZEDZ.ZAMK) i wiele kalkulatorów, więc sprawdź, jakiej metody używa nauczyciel lub podręcznik, zanim uznasz odpowiedź za błędną.

Rozstęp, rozstęp międzykwartylowy, odchylenie przeciętne i odchylenie standardowe

Rozstęp, rozstęp międzykwartylowy, odchylenie przeciętne i odchylenie standardowe mierzą rozrzut, ale każda z tych miar patrzy na inną część danych. Rozstęp korzysta tylko z dwóch skrajnych wartości, IQR ze środkowej połowy, a dwie pozostałe z każdej wartości przez jej odległość od średniej.

Którą miarę rozrzutu wybrać

Rozstęp międzykwartylowy to miara, którą łączy się z medianą, a odchylenie przeciętne to miara, którą łączy się ze średnią. Mediany i IQR użyj, gdy w danych jest wartość odstająca, na przykład w teście, w którym jeden nieobecny uczeń dostał 0 punktów, a średniej i odchylenia przeciętnego wtedy, gdy wartości nie mają skrajności.

Jak odczytać i porównać dwa wykresy pudełkowe

Wykres pudełkowy odczytuje się od środka na zewnątrz: najpierw kreska mediany, potem pudełko, na końcu wąsy. Każda z czterech części, dwa wąsy i dwie połowy pudełka, mieści około jednej czwartej wartości.

Wykresy pudełkowe pokazują swoją siłę, gdy postawisz dwa na jednej skali. Podręcznik NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods nazywa je doskonałym narzędziem do pokazania położenia i zmienności danych i pisze, że pudełko przedstawia środkowe 50% danych, czyli ich „trzon”.

Klasa A ma pięć liczb 52, 64, 73, 80, 95, a klasa B 58, 70, 76, 82, 90. Mediana klasy B jest o 3 punkty wyższa, jej pudełko ma szerokość 12 punktów wobec 16 w klasie A, a rozstęp wynosi 32 wobec 43. Klasa B wypadła trochę lepiej i dużo równiej.

Darmowa karta pracy do drukuDziałania mieszane — uczniów 6. klasyKarta pracy · PDF

Zasada: najpierw mediany, potem szerokość pudełek

Dwa wykresy pudełkowe porównuje się w stałej kolejności: mediany, potem szerokość pudełek, potem wąsy. Mediany mówią, która grupa ma wyższy typowy wynik, a szerokość pudełek, która grupa jest bardziej równa.

Wielkość różnicy liczy się tak samo jak jej kierunek. Common Core 7.SP.B.3 prosi uczniów klasy 7 o ocenę, jak bardzo dwa rozkłady danych nakładają się na siebie, przez wyrażenie różnicy jako wielokrotności miary zmienności. Różnica median równa 3 punktom to jedna czwarta IQR klasy B równego 12, a dwa pudełka nakładają się od 70 do 80, więc różnica między klasami jest mała.

Jak sprawdzić postępy z wykresami pudełkowymi

Pięć krótkich zadań, rozwiązanych bez notatek, pokazuje, czy uczeń rozumie wykresy pudełkowe.

• Pięć liczb: czy dla 3, 5, 6, 8, 10, 11, 15 podasz 3, 5, 8, 11, 15 i IQR równy 11 − 5 = 6?
• Parzysta liczba danych: czy dla 2, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 15 znajdziesz medianę (7 + 9) : 2 = 8, Q1 = (4 + 5) : 2 = 4,5 i Q3 = (10 + 12) : 2 = 11?
• Odczytywanie: czy patrząc na wykres pudełkowy, powiesz, jaka część wartości leży w pudełku? Odpowiedź: mniej więcej połowa.
• Porównywanie: czy przy dwóch wykresach pudełkowych wskażesz w jednym zdaniu grupę z wyższą medianą, a w drugim grupę bardziej równą?
• Wyjaśnianie: czy powiesz, dlaczego IQR prawie się nie zmienia, gdy najniższa wartość mocno spada?

Pięciominutowy test na prawdziwych danych

Pięciominutowy test korzysta z liczb z twojego tygodnia, na przykład 11 wyników kartkówek albo 9 dziennych liczb kroków w tysiącach. Uporządkuj je, znajdź pięć liczb, narysuj wykres i sprawdź ćwiartki przez liczenie.

Najpierw oceniaj metodę, potem rachunki. Jeśli kwartyle są dobre, ale odejmowanie się nie zgadza, luka leży w faktach liczbowych, a gra matematyczna dla szóstej klasy albo gra matematyczna dla dorosłych odbudowuje to tempo. Części danych da się też odczytać jako procenty: pudełko mieści około 50%, a każdy wąs około 25%, co wyjaśnia poradnik o tym, jak obliczać procenty.

Typowe błędy przy wykresie pudełkowym i przypadki szczególne

Cztery błędy odpowiadają za większość złych wykresów pudełkowych, a każdy ma szybkie rozwiązanie.

• Błąd: pominięcie porządkowania. Środek nieuporządkowanej listy to przypadkowa wartość. Najpierw uporządkuj dane.
• Błąd: odczytanie długiego wąsa jako większej liczby danych. Każdy wąs mieści około jednej czwartej wartości; długi znaczy tylko, że są bardziej rozrzucone.
• Błąd: nierówna skala. Kroki 50, 60, 80, 100 rozciągają niektóre części wykresu. Używaj równych kroków i zaczynaj blisko wartości najmniejszej, a nie od 0.
• Błąd: mieszanie metod wyznaczania kwartyli. Włączenie mediany do jednej połowy i pominięcie jej w drugiej daje zły IQR. Wybierz jedną metodę i stosuj ją do obu połówek.

Przypadek szczególny: obserwacje odstające i granica 1,5 × IQR

Obserwacja odstająca to wartość leżąca daleko od reszty, a reguła 1,5 × IQR daje dla niej test. OpenStax podaje, że wartość podejrzewa się o bycie obserwacją odstającą, gdy leży o więcej niż 1,5 × IQR poniżej kwartyla pierwszego albo o więcej niż 1,5 × IQR powyżej kwartyla trzeciego, i dodaje, że taka wartość zawsze wymaga dalszego sprawdzenia.

Weź wyniki z 31 zamiast 52: Q1 to 64, Q3 to 80, a IQR to 16. Wtedy 1,5 × 16 = 24, dolna granica to 64 − 24 = 40, a górna 80 + 24 = 104. Wynik 31 leży poniżej 40, więc to możliwa obserwacja odstająca, a powyżej 104 nie ma niczego.

Na wykresie pudełkowym z granicami obserwację odstającą rysuje się jako kropkę przy 31. NIST podaje, że wąs sięga wtedy do najmniejszego punktu większego od dolnej granicy, więc lewy wąs kończy się na 61.

Twoja lista kontrolna wykresu pudełkowego i następne kroki

• Porządkowanie i liczenie: zapisz wartości od najmniejszej do największej i policz je.
• Mediana: znajdź środkową wartość albo średnią dwóch środkowych przy parzystej liczbie danych.
• Kwartyle: weź medianę każdej połowy, przy nieparzystej liczbie danych bez samej mediany.
• IQR i granice: odejmij Q3 − Q1, potem sprawdź wartości dalsze niż 1,5 × IQR.
• Rysunek: użyj skali z równymi krokami, pudełka od Q1 do Q3, kreski przy medianie i wąsów do wartości skrajnych.
• Sprawdzenie: policz wartości w każdej ćwiartce; cztery liczby powinny być równe albo prawie równe.

Darmowa gra w obliczanie średniej w przeglądarce ćwiczy bez zakładania konta średnią arytmetyczną, drugą miarę środka, którą spotkasz obok każdego wykresu pudełkowego.

MathIt to darmowa aplikacja na iOS i Android z około 90 rodzajami gier i adaptacyjnym poziomem trudności, więc kilka minut codziennych ćwiczeń utrzymuje w formie porządkowanie, odejmowanie i dzielenie na pół, na których opierają się kwartyle.