Slik lager og leser du et boksplott og finner kvartilbredden

På et resultatark står det at medianen i klassen var 73, og ved siden av er det en liten graf med en boks og to streker som stikker ut. Grafen er et boksplott, og tallet som bestemmer bredden på boksen, er kvartilbredden. Du kan tegne et boksplott med blyant på rundt fem minutter når du vet hvilke fem tall du skal finne.

Hva et boksplott viser: de fem tallene

Et boksplott viser hvor midten av et datasett ligger og hvor spredt verdiene er, ved hjelp av fem tall. OpenStax Introductory Statistics 2e lister dem opp: «Et boksplott bygges av fem verdier: minste verdi, første kvartil, medianen, tredje kvartil og største verdi.» Sammen kalles de femtallsoppsummeringen.

Kvartilene deler de sorterte dataene i fire deler av omtrent lik størrelse: Q1 er midten av den nedre halvdelen, medianen M er midten av hele datasettet, og Q3 er midten av den øvre halvdelen. Trenger du å friske opp medianen, viser guiden om gjennomsnitt, median og typetall hvordan du finner den for et oddetall og et partall verdier.

I Norge skal eleven etter 9. trinn kunne «regne på sentralmål og spredningsmål i egne og reelle datasett og bruke resultatene til å beskrive dataene», ifølge kompetansemålene etter 9. trinn i LK20. I USA hører boksplott til 6. klasse: Common Core-standarden 6.SP.B.4 ber elevene «vise tallmateriale i diagrammer på en tallinje, blant annet prikkdiagrammer, histogrammer og boksplott», og 6.SP.B.5c ber om mål for «variasjon (kvartilbredde og/eller gjennomsnittlig absoluttavvik)».

Hvorfor kvartilbredden slår variasjonsbredden når det finnes en uteligger

Kvartilbredden måler spredningen i den midterste halvdelen av dataene, så én ekstrem verdi kan ikke strekke den. OpenStax avsnitt 2.3 beskriver kvartilbredden som «et tall som viser spredningen i den midterste halvdelen eller de midterste 50 % av dataene», og formelen er kvartilbredde = Q3 − Q1.

Ta 11 prøvepoeng: 52, 61, 64, 68, 70, 73, 75, 78, 80, 84 og 95. Variasjonsbredden er 95 − 52 = 43, og kvartilbredden er 80 − 64 = 16. Hvis én elev hadde en dårlig dag og fikk 31 i stedet for 52, hopper variasjonsbredden til 95 − 31 = 64, mens Q1, medianen og Q3 blir værende 64, 73 og 80, så kvartilbredden er fortsatt 16.

Slik lager du et boksplott steg for steg

Et boksplott tar seks steg, her vist med de samme 11 prøvepoengene.

1. Sorter dataene. Skriv verdiene fra minst til størst: 52, 61, 64, 68, 70, 73, 75, 78, 80, 84, 95. Det er 11 verdier.
2. Finn medianen. Med 11 verdier er medianen verdi nummer 6, fordi 5 verdier ligger på hver side av den. Medianen er 73.
3. Finn Q1 og Q3. Q1 er medianen av den nedre halvdelen, 52, 61, 64, 68, 70, altså 64. Q3 er medianen av den øvre halvdelen, 75, 78, 80, 84, 95, altså 80. Kvartilbredden er 80 − 64 = 16.
4. Noter minste og største verdi. Minste verdi er 52 og største verdi er 95, så de fem tallene er 52, 64, 73, 80, 95.
5. Tegn en skala. Tegn en tallinje som dekker alle verdiene, her fra 50 til 100, med like steg på 5 eller 10. Å lese den er den samme ferdigheten som å lese en linjal.
6. Tegn boksen og værhårene. Tegn en boks fra 64 til 80 med en loddrett strek ved 73. Tegn så ett værhår fra 64 til venstre ut til 52 og ett fra 80 til høyre ut til 95.

Den andre runden sjekker kvartilene ved å telle. To poeng ligger under Q1 (52 og 61), to mellom Q1 og medianen (68 og 70), to mellom medianen og Q3 (75 og 78) og to over Q3 (84 og 95). Like mange verdier i de fire mellomrommene betyr at kvartilene er riktige.

Spill gratis i nettleserenFinn gjennomsnittet4.–6. trinn

Delen mange gjør feil: medianen med eller uten i halvdelene

Med et oddetall verdier er folk uenige om medianen hører med i den nedre og den øvre halvdelen. Common Core holder den utenfor: ordlisten definerer første kvartil som «medianen av dataverdiene som er mindre enn M», og en fotnote innrømmer at «mange ulike metoder for å regne ut kvartiler er i bruk». Denne guiden bruker skolemetoden, som holder medianen utenfor.

Tar du med medianen, blir den nedre halvdelen 52, 61, 64, 68, 70, 73, så Q1 = (64 + 68) : 2 = 66, og den øvre halvdelen gir Q3 = (78 + 80) : 2 = 79. Kvartilbredden krymper til 13. Regnearkfunksjonen KVARTIL.INK og mange kalkulatorer gir de verdiene, så sjekk hvilken metode læreren eller læreboka bruker før du kaller et svar feil.

Variasjonsbredde, kvartilbredde, gjennomsnittlig absoluttavvik og standardavvik

Variasjonsbredden, kvartilbredden, det gjennomsnittlige absoluttavviket og standardavviket måler alle spredning, men hvert mål ser på en annen del av dataene. Variasjonsbredden bruker bare de to ytterverdiene, kvartilbredden bruker den midterste halvdelen, og de to andre bruker hver verdi gjennom avstanden til gjennomsnittet.

Hvilket spredningsmål du skal velge

Kvartilbredden er spredningsmålet som hører sammen med medianen, og det gjennomsnittlige absoluttavviket hører sammen med gjennomsnittet. Bruk median og kvartilbredde når dataene har en uteligger, som en prøve der én elev som var borte, fikk 0, og gjennomsnitt og absoluttavvik når verdiene ikke har ekstreme verdier.

Slik leser og sammenligner du to boksplott

Et boksplott leser du fra midten og utover: først medianstreken, så boksen, så værhårene. Hver av de fire delene, to værhår og to halvdeler av boksen, rommer omtrent en fjerdedel av verdiene.

Boksplott gjør mest nytte når du setter to av dem på samme skala. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods kaller dem «et utmerket verktøy for å vise plassering og variasjon i datasett», og sier at boksen «representerer de midterste 50 % av dataene, selve kroppen av dataene».

Klasse A har de fem tallene 52, 64, 73, 80, 95, og klasse B har 58, 70, 76, 82, 90. Medianen i klasse B er 3 poeng høyere, boksen er 12 poeng bred mot 16 i klasse A, og variasjonsbredden er 32 mot 43. Klasse B fikk litt høyere poeng og mye jevnere resultater.

Gratis utskriftsarkBlandede regnearter — 6.-klassingerArbeidsark · PDF

Regelen: sammenlign medianene først, så breddene på boksene

To boksplott sammenligner du i en fast rekkefølge: medianene, så breddene på boksene, så værhårene. Medianene forteller hvilken gruppe som ligger høyest i et typisk tilfelle, og breddene på boksene forteller hvilken gruppe som er jevnest.

Størrelsen på forskjellen betyr like mye som retningen. Common Core 7.SP.B.3 ber elever i 7. klasse i USA vurdere «graden av visuell overlapp mellom to tallfordelinger» ved å «uttrykke den som et multiplum av et variasjonsmål». En forskjell på 3 poeng i medianene er en fjerdedel av kvartilbredden 12 i klasse B, og de to boksene overlapper fra 70 til 80, så forskjellen mellom klassene er liten.

Slik sjekker du framgangen med boksplott

Fem korte sjekker, gjort uten notater, viser om en elev forstår boksplott.

• Fem tall: for 3, 5, 6, 8, 10, 11, 15, kan du gi 3, 5, 8, 11, 15 og kvartilbredden 11 − 5 = 6?
• Partall verdier: for 2, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 15, kan du finne medianen (7 + 9) : 2 = 8, Q1 = (4 + 5) : 2 = 4,5 og Q3 = (10 + 12) : 2 = 11?
• Lesing: når du ser på et boksplott, kan du si hvor stor del av verdiene som ligger inne i boksen? Svaret er omtrent halvparten.
• Sammenligning: med to boksplott foran deg, kan du nevne gruppen med høyest median og den jevneste gruppen med én setning hver?
• Forklaring: kan du si hvorfor kvartilbredden nesten ikke endrer seg når den laveste verdien synker langt?

En test på fem minutter med ekte data

En test på fem minutter bruker tall fra din egen uke, som 11 prøveresultater eller 9 dager med skritt talt i tusen. Sorter dem, finn de fem tallene, tegn plottet og sjekk fjerdedelene ved å telle.

Gi poeng for metoden først og regningen etterpå. Er kvartilene riktige, men en subtraksjon feil, ligger hullet i tallfaktaene, og mattespillet for 6. trinn eller mattespillet for voksne bygger opp den farten igjen. Delene av dataene kan også leses som prosent: boksen rommer omtrent 50 % og hvert værhår omtrent 25 %, som guiden om prosentregning forklarer.

Vanlige feil og spesialtilfeller med boksplott

Fire feil står bak de fleste gale boksplott, og hver av dem har en rask løsning.

• Feil: å hoppe over sorteringen. Midten av en usortert liste er en tilfeldig verdi. Sorter først.
• Feil: å lese et langt værhår som flere data. Hvert værhår rommer omtrent en fjerdedel av verdiene; et langt værhår betyr at de er spredt.
• Feil: en ujevn skala. Steg som 50, 60, 80, 100 strekker deler av plottet. Bruk like steg, og start nær minste verdi i stedet for ved 0.
• Feil: å blande kvartilmetoder. Tar du med medianen i den ene halvdelen og holder den utenfor den andre, får du feil kvartilbredde. Velg én metode og bruk den for begge halvdelene.

Spesialtilfelle: uteliggere og grensen på 1,5 × kvartilbredden

En uteligger er en verdi som ligger langt unna resten, og regelen med 1,5 × kvartilbredden gir en test for den. OpenStax skriver at «en verdi mistenkes å være en mulig uteligger hvis den ligger mer enn 1,5 × kvartilbredden under første kvartil eller over tredje kvartil», og legger til at «mulige uteliggere alltid krever nærmere undersøkelse».

Bruk poengene med 31 i stedet for 52: Q1 er 64, Q3 er 80, og kvartilbredden er 16. Da er 1,5 × 16 = 24, den nedre grensen er 64 − 24 = 40, og den øvre grensen er 80 + 24 = 104. Poenget 31 ligger under 40, så det er en mulig uteligger, og ingenting ligger over 104.

I et boksplott med grenser tegnes uteliggeren som en prikk ved 31. NIST sier at værhåret da går «til det minste punktet som er større enn» den nedre grensen, så det venstre værhåret stopper ved 61.

Sjekklisten din for boksplott og neste steg

• Sorter og tell: skriv verdiene fra minst til størst, og noter hvor mange det er.
• Median: finn den midterste verdien, eller gjennomsnittet av de to midterste ved et partall verdier.
• Kvartiler: ta medianen av hver halvdel, med selve medianen utenfor ved et oddetall verdier.
• Kvartilbredde og grenser: regn ut Q3 − Q1, og se etter verdier utenfor 1,5 × kvartilbredden.
• Tegn: bruk en skala med like steg, en boks fra Q1 til Q3, en strek ved medianen og værhår ut til ytterverdiene.
• Kontroll: tell verdiene i hver fjerdedel; de fire tallene skal være like eller nesten like.

Det gratis gjennomsnittsspillet i nettleseren øver på gjennomsnittet, det andre sentralmålet du møter ved siden av hvert boksplott, uten registrering.

MathIt er en gratis app for iOS og Android med rundt 90 spilltyper og adaptiv vanskegrad, så noen minutter med daglig øving holder sorteringen, subtraksjonen og halveringen bak kvartilene rask.