Cómo hacer un diagrama de caja y bigotes, leerlo y hallar el rango intercuartílico

Un boletín de notas dice que la mediana de la clase fue 73 y muestra un pequeño gráfico con una caja y dos líneas que salen de ella. Ese gráfico es un diagrama de caja, también llamado diagrama de caja y bigotes, y el número que fija el ancho de la caja es el rango intercuartílico. Puedes dibujar uno con un lápiz en unos cinco minutos cuando sabes qué cinco números buscar.

Qué muestra un diagrama de caja: el resumen de cinco números

Un diagrama de caja muestra dónde está el centro de un conjunto de datos y lo dispersos que están los valores, con cinco números. El libro OpenStax Introductory Statistics 2e los enumera: «Un diagrama de caja se construye a partir de cinco valores: el valor mínimo, el primer cuartil, la mediana, el tercer cuartil y el valor máximo». Juntos forman el resumen de cinco números.

Los cuartiles dividen los datos ordenados en cuatro partes de tamaño parecido: Q1 es el centro de la mitad inferior, la mediana M es el centro de todo el conjunto y Q3 es el centro de la mitad superior. Si necesitas repasar la mediana, la guía de media, mediana y moda muestra cómo hallarla con una cantidad par o impar de datos.

En Estados Unidos, los diagramas de caja son un tema de 6.º grado (11 a 12 años). El estándar Common Core 6.SP.B.4 dice que el alumnado debe «representar datos numéricos en gráficos sobre una recta numérica, incluidos diagramas de puntos, histogramas y diagramas de caja», y el 6.SP.B.5c pide medidas de «variabilidad (rango intercuartílico y/o desviación media absoluta)». En España, el Real Decreto 217/2022 incluye en 1.º a 3.º de ESO (12 a 15 años) la «comparación de dos conjuntos de datos atendiendo a las medidas de localización y dispersión».

Por qué el rango intercuartílico es mejor que el rango cuando hay un valor atípico

El rango intercuartílico mide la dispersión de la mitad central de los datos, así que un valor extremo no puede estirarlo. La sección 2.3 de OpenStax describe el RIC como «un número que indica la dispersión de la mitad central, o del 50 % central, de los datos», y la fórmula es RIC = Q3 − Q1.

Toma 11 notas de un examen: 52, 61, 64, 68, 70, 73, 75, 78, 80, 84 y 95. El rango es 95 − 52 = 43 y el RIC es 80 − 64 = 16. Si un alumno tuvo un mal día y sacó 31 en lugar de 52, el rango salta a 95 − 31 = 64, mientras que Q1, la mediana y Q3 siguen en 64, 73 y 80, así que el RIC sigue en 16.

Cómo hacer un diagrama de caja paso a paso

Un diagrama de caja se hace en seis pasos, que aquí se muestran con las mismas 11 notas.

1. Ordena los datos. Escribe los valores de menor a mayor: 52, 61, 64, 68, 70, 73, 75, 78, 80, 84, 95. Hay 11.
2. Halla la mediana. Con 11 valores, la mediana es el 6.º valor, porque quedan 5 valores a cada lado. La mediana es 73.
3. Halla Q1 y Q3. Q1 es la mediana de la mitad inferior, 52, 61, 64, 68, 70, que es 64. Q3 es la mediana de la mitad superior, 75, 78, 80, 84, 95, que es 80. El rango intercuartílico es 80 − 64 = 16.
4. Anota el mínimo y el máximo. El mínimo es 52 y el máximo es 95, así que el resumen de cinco números es 52, 64, 73, 80, 95.
5. Dibuja una escala. Dibuja una recta numérica que abarque todos los valores, aquí de 50 a 100, con pasos iguales de 5 o de 10. Leerla es la misma habilidad que leer una regla.
6. Dibuja la caja y los bigotes. Dibuja una caja de 64 a 80 con una línea vertical en 73. Después dibuja un bigote desde 64 hacia la izquierda hasta 52 y otro desde 80 hacia la derecha hasta 95.

La segunda pasada comprueba los cuartiles contando. Hay dos notas por debajo de Q1 (52 y 61), dos entre Q1 y la mediana (68 y 70), dos entre la mediana y Q3 (75 y 78) y dos por encima de Q3 (84 y 95). Si los cuatro huecos tienen la misma cantidad, los cuartiles están bien.

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El paso que más se falla: la mediana dentro o fuera de las mitades

Con una cantidad impar de datos, no todo el mundo está de acuerdo en si la mediana entra en la mitad inferior y en la superior. Common Core la deja fuera: su glosario define el primer cuartil como «la mediana de los valores menores que M», y una nota a pie de página admite que «se usan muchos métodos distintos para calcular los cuartiles». Esta guía usa el método escolar, que excluye la mediana.

Si incluyes la mediana, la mitad inferior pasa a ser 52, 61, 64, 68, 70, 73, así que Q1 = (64 + 68) ÷ 2 = 66, y la mitad superior da Q3 = (78 + 80) ÷ 2 = 79. El RIC baja a 13. La función CUARTIL.INC de una hoja de cálculo y muchas calculadoras devuelven esos valores, así que comprueba qué método usa el profesor o el libro de texto antes de dar una respuesta por mala.

Rango, rango intercuartílico, desviación media y desviación típica

El rango, el rango intercuartílico, la desviación media absoluta y la desviación típica (o estándar) miden la dispersión, pero cada uno mira una parte distinta de los datos. El rango usa solo los dos extremos, el RIC usa la mitad central y los otros dos usan todos los valores a través de su distancia a la media.

Qué medida de dispersión elegir

El rango intercuartílico es la medida que acompaña a la mediana, y la desviación media absoluta es la que acompaña a la media. Usa la mediana y el RIC cuando los datos tienen un valor atípico, como un examen en el que un alumno ausente sacó un 0, y la media y la desviación media cuando los valores no tienen extremos.

Cómo leer y comparar dos diagramas de caja

Un diagrama de caja se lee del centro hacia fuera: primero la línea de la mediana, después la caja y por último los bigotes. Cada una de las cuatro partes, los dos bigotes y las dos mitades de la caja, contiene más o menos una cuarta parte de los valores.

Los diagramas de caja demuestran su valor cuando pones dos sobre la misma escala. El NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods los llama «una herramienta excelente para transmitir información de posición y de variación en conjuntos de datos», y dice que la caja «representa el 50 % central de los datos, el "cuerpo" de los datos».

La clase A tiene el resumen de cinco números 52, 64, 73, 80, 95, y la clase B tiene 58, 70, 76, 82, 90. La mediana de la clase B es 3 puntos más alta, su caja mide 12 puntos de ancho frente a 16 en la clase A, y su rango es 32 frente a 43. La clase B sacó notas un poco más altas y mucho más parejas.

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La regla: compara primero las medianas y después el ancho de las cajas

Dos diagramas de caja se comparan en un orden fijo: las medianas, después el ancho de las cajas y después los bigotes. Las medianas dicen qué grupo está más alto en un caso típico, y el ancho de las cajas dice qué grupo es más regular.

El tamaño de la diferencia importa tanto como su dirección. El estándar Common Core 7.SP.B.3 pide al alumnado de 7.º grado (12 a 13 años) valorar «el grado de solapamiento visual de dos distribuciones de datos numéricos» y «expresarlo como un múltiplo de una medida de variabilidad». Una diferencia de 3 puntos entre medianas es una cuarta parte del RIC de 12 de la clase B, y las dos cajas se solapan de 70 a 80, así que la diferencia entre las clases es pequeña.

Cómo comprobar los avances con los diagramas de caja

Cinco comprobaciones cortas, hechas sin apuntes, muestran si un alumno entiende los diagramas de caja.

• Cinco números: para 3, 5, 6, 8, 10, 11, 15, ¿sabes dar 3, 5, 8, 11, 15 y un RIC de 11 − 5 = 6?
• Cantidad par: para 2, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 15, ¿sabes hallar la mediana (7 + 9) ÷ 2 = 8, Q1 = (4 + 5) ÷ 2 = 4,5 y Q3 = (10 + 12) ÷ 2 = 11?
• Lectura: mirando un diagrama de caja, ¿sabes decir qué fracción de los valores queda dentro de la caja? La respuesta es más o menos la mitad.
• Comparación: con dos diagramas de caja, ¿sabes nombrar el grupo con la mediana más alta y el grupo más regular, con una frase para cada uno?
• Explicación: ¿sabes decir por qué el RIC apenas se mueve cuando el valor más bajo baja mucho?

Una prueba de cinco minutos con datos reales

Una prueba de cinco minutos usa números de tu propia semana, como 11 notas de controles o los pasos diarios de 9 días en miles. Ordénalos, halla el resumen de cinco números, dibuja el diagrama y comprueba las cuartas partes contando.

Puntúa primero el método y después las cuentas. Si los cuartiles están bien pero falla una resta, la carencia está en el cálculo básico, y el juego de matemáticas para 6.º grado o el juego de matemáticas para adultos recuperan esa rapidez. Las partes de los datos también se leen como porcentajes: la caja contiene más o menos el 50 % y cada bigote el 25 %, como explica la guía de cómo calcular porcentajes.

Errores frecuentes en los diagramas de caja y casos límite

Cuatro errores explican la mayoría de los diagramas de caja mal hechos, y cada uno tiene un remedio rápido.

• Error: no ordenar. El centro de una lista sin ordenar es un valor al azar. Ordena primero.
• Error: leer un bigote largo como más datos. Cada bigote contiene más o menos una cuarta parte de los valores; uno largo significa que están más dispersos.
• Error: una escala desigual. Pasos de 50, 60, 80, 100 estiran algunas partes del diagrama. Usa pasos iguales y empieza cerca del mínimo en lugar de en 0.
• Error: mezclar métodos de cuartiles. Incluir la mediana en una mitad y excluirla de la otra da un RIC incorrecto. Elige un método y úsalo en las dos mitades.

Caso límite: los valores atípicos y el límite de 1,5 × RIC

Un valor atípico es un valor alejado del resto, y la regla de 1,5 × RIC da una prueba para detectarlo. OpenStax indica que «se sospecha que un valor es un posible valor atípico si está más de (1,5)(RIC) por debajo del primer cuartil o más de (1,5)(RIC) por encima del tercer cuartil», y añade que «los posibles valores atípicos siempre requieren una investigación más a fondo».

Usa las notas con 31 en lugar de 52: Q1 es 64, Q3 es 80 y el RIC es 16. Entonces 1,5 × 16 = 24, el límite inferior es 64 − 24 = 40 y el límite superior es 80 + 24 = 104. La nota 31 está por debajo de 40, así que es un posible valor atípico, y ninguna nota pasa de 104.

En un diagrama de caja con límites, el valor atípico se dibuja como un punto en 31. El NIST dice que el bigote llega entonces «hasta el punto más pequeño que sea mayor que» el límite inferior, así que el bigote izquierdo se detiene en 61.

Tu lista de comprobación del diagrama de caja y siguientes pasos

• Ordena y cuenta: escribe los valores de menor a mayor y anota cuántos hay.
• Mediana: halla el valor central, o la media de los dos valores centrales si la cantidad es par.
• Cuartiles: toma la mediana de cada mitad, dejando fuera la mediana si la cantidad es impar.
• RIC y límites: resta Q3 − Q1 y busca valores más allá de 1,5 × RIC.
• Dibuja: usa una escala con pasos iguales, una caja de Q1 a Q3, una línea en la mediana y bigotes hasta los extremos.
• Comprueba: cuenta los valores de cada cuarta parte; las cuatro cantidades deben coincidir o casi.

El juego de hallar la media, gratis en el navegador y sin registro, practica la media, la otra medida de centralización que aparece junto a cada diagrama de caja.

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